2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（五）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（五）

　　37、（江西理）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）

 

　　Ａ．必在圆内                Ｂ．必在圆上

 

　　Ｃ．必在圆外                Ｄ．以上三种情形都有可能

 

　　【解答】由=得a=2c，b=，所以，所以点到圆心（0，0）的距离为，所以点P在圆内，选A

 

　　38、（江西理）（本小题满分12分）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

 

　　（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

 

　　（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点．

 

　                　

 

　　【解答】解法一：（1）在中，，即，

 

　　，即（常数），

 

　　点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线．

 

　　方程为：．

 

　　（2）设，

 

　　①当垂直于轴时，的方程为，，在双曲线上．

 

　　即，因为，所以．

 

　　②当不垂直于轴时，设的方程为．

 

　　由得：，

 

　　由题意知：，

 

　　所以，．

 

　　于是：．

 

　　因为，且在双曲线右支上，所以

 

　　．

 

　　由①②知，．

 

　　解法二：（1）同解法一

 

　　（2）设，，的中点为．

 

　　①当时，，

 

　　因为，所以；

 

　　②当时，．

 

　　又．所以；

 

　　由得，由第二定义得

 

　　．

 

　　所以．

 

　　于是由得

 

　　因为，所以，又，

 

　　解得：．由①②知．

 

　　39、（江西文）连接抛物线的焦点与点所得的线段与抛物线交于点，设点为坐标原点，则三角形的面积为（　　）

 

　　Ａ．                     Ｂ．                Ｃ．          Ｄ．

 

　　【解答】线段所在直线方程与抛物线交于则：

 

　　，选B

 

　　40、（江西文）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（　　）

 

　　Ａ．必在圆上                Ｂ．必在圆外

 

　　Ｃ．必在圆内                Ｄ．以上三种情形都有可能

 

　　【解答】由=得a=2c，b=，所以，

 

　　所以点到圆心（0，0）的距离为

 

　　，

 

　　所以点P在圆内，选C.

 

　　41、（江西文）（本小题满分14分）设动点到点和的距离分别为和，，且存在常数，使得．

 

　　（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

 

　　（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于两点．问：是否存在，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

 

            　　

 

　　【解答】（1）在中，

 

　　

 

　　

 

　　（小于的常数）

 

　　故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．

 

　　方程为．

 

　　（2）方法一：在中，设，，，．

 

　　假设为等腰直角三角形，则

 

　　

 

　　由②与③得，

 

　　则

 

　　由⑤得，

 

　　

 

　　，

 

　　

 

　　故存在满足题设条件．

 

　　方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

 

　　

 

　　所以，．

 

　　则．①

 

　　由，可设，

 

　　则，．

 

　　则．②

 

　　由①②得．③

 

　　根据双曲线定义可得，．

 

　　平方得：．④

 

　　由③④消去可解得，

 

　　故存在满足题设条件．

 

　　42、(江苏理)在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为

 

　　A．             B．              C．            D．

 

　　【解答】由  ，  选A

 

　　43、(江苏理)在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则　　　　.

 

　　【解答】利用椭圆定义和正弦定理 得    b=2*4=8

 

　　

 

　　44、(江苏理)（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系中，过轴正方向上一点任作一直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线交于，

 

　　（1）若，求的值；（5分）

 

　　（2）若为线段的中点，求证：为此抛物线的切线；（5分）

 

　　（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

 

　                    　

 

　　【解答】（1）设过C点的直线为，所以，即，设A，=，，因为，所以

 

　　，即，

 

　　所以，即所以

 

　　（2）设过Q的切线为，，所以，即，它与的交点为M，又，所以Q，因为,所以，所以M,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。

 

　　（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q，因为PQ轴，所以

 

　　因为，所以P为AB的中点。

 

　　45、（湖南理）设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在 使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是（    ）

 

　　A．        B．         C．         D．

 

　　【解答】由已知P，所以的中点Q的坐标为，由

 

　　       

 

　　       

 

　　        当时，不存在，此时为中点，

 

　　        综上得