【原】抛物线的切线

切线在圆锥曲线综合题中高频率地出现，举个栗子如下.

配图如下.

研究圆锥曲线的切线，有两个方法.

1. 联立直线方程与圆锥曲线的方程，利用判别式等于零；

2. 利用导数的几何意义求解切线.

本题第1问涉及到切点的横坐标，所以我们采用方法2来处理.

所以，A,M,B三点的横坐标成等差数列.

第2问给出弦长，需要利用弦长公式建立方程.为求弦长，就必须准备计算出x1+x2,x1x2，还有直线的斜率.

在抛物线中，弦所在直线的斜率计算也是有技巧的，与弦中点的坐标息息相关.

上面用到了“方程的思想”，即当两个量都满足同一个等式时，我们可以把这两个量看作方程的两根，从而简化运算.

第3问属于探究式问题.

这一问信息量很大，大家理解意思了吗？

我们首先要捋清各量之间的关系.

点M的位置决定了AB的方程，同时决定了点A,B的坐标.根据向量OA和向量OB的和决定了点C的位置，点C关于直线AB作对称点得到点D，然后判断点D是否有可能在抛物线上.

就是这么个事儿.

为此我们需要做下面几件事.

1. 写出AB的方程

2. 求出C点坐标

3. 求出C点关于直线AB的对称点D

4. 判断点D有无可能在抛物线上

下面开始执行.

如何写AB的方程呢？

通过上面的计算，我们知道，AB的斜率能够用M点的坐标来表示.

如果我们利用点斜式来表示直线AB的话，我们发现，用A点或用B点代入点斜式方程，都不利于方程的简化.

在已知x1+x2,x1x2的情况下，我们建议代入AB的中点，这样有利于简化方程.这就是技巧所在.

再求C点关于AB的对称点.

此处注意分类讨论，因为求对称点要用到两直线斜率相乘等于-1，但是也有斜率不存在的情况.

你是不是觉得运算量好大？

欢迎聪明的你提出更优化的解法.