两道高考压轴题的统一引申与推广

2013-12-08  720815
两道高考压轴题的统一引申与推广
湖北省阳新县高级中学 邹生书

2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题:

 

文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)证明:曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值。

 

理科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。(1)求的解析式;(2)证明:函数的图象是一个中心对称图形,并求其对称中心;(3)证明:曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值。

 

文科题答案:(1;(2)三角形面积为定值6。理科题答案:(1;(2)对称中心;(3)三角形面积为定值2

 

这两道题都是以“双勾函数”为背景的压轴题,实际上也就是以函数形式给出的双曲线方程,题目中的两条直线就是给双曲线“保驾护航”的两条渐近线。两题重点考查待定系数法、导数应用、函数的图象与性质,以及定值问题等。笔者对这两道高考题进行归纳、引申与推广得出这类“双勾函数”有如下性质:

 

定理1  已知函数,则(1)曲线是以直线为渐近线原点为中心的对称图形;(2)曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值,其值为;(3)曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点,则的中点;(4)若直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,则

             

证明1)由,所以直线轴是函数图象的一条渐近线。又当时,,所以直线是该函数图象的另一条渐近线。显然图象是以原点为中心的对称图形。

 

2)设点是曲线上任意一点,则。因,所以,设曲线在点处的切线方程为,设切线与轴相交于点与直线相交于点。在①中令①中令,所以曲线在点处切线与两渐近线所围成的的面积为

 

3)由(2)知,所以,由此知点的中点。

 

4)当时,,渐近线是两坐标轴。因为直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,所以直线的斜率存在且不为零,设直线的方程为,将其代入曲线方程化简整理得,。因为是此方程的两个根,由根与系数关系得,。又将直线的方程代入曲线的渐近线方程得,,则是方程的两个根,由根与系数关系得。由①②知,线段中点的横坐标相同,所以

 

时,因为直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,所以直线的斜率存在,设直线的方程为,将其代入曲线方程化简整理得,,因为是方程的两个根,由根与系数关系得,。又将直线的方程为代入曲线的渐近线方程得,,则是方程的两个根,由根与系数关系得

 

由③④知,线段中点的横坐标相同,故两线段有相同的中点,所以

 

由此可见,当直线与曲线相切时,性质(4)就是性质(3)。

 

由平移的有关知识不难得出如下更一般性的结论:

 

定理2  已知函数,则(1)曲线是以直线为渐近线以点为中心的对称图形;(2)曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值,其值为;(3)曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点,则的中点;(4)若直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,则

 

对于双曲线的标准方程我们有如下性质:

 

定理3  已知双曲线,(1)若在点处的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点,则的中点且;(2)若直线与两渐近线分别相交于两点,与曲线相交于两点,则

             

证明  1)设,则曲线在点处的切线方程为,因为,故代入渐近线方程得,

 

又点在曲线上,所以有,代入上式化简得,因为是此方程的两个根,则,由此知点是线段中点。

 

又由根与系数关系得,所以。在①中令得切线与轴交点的横坐标为,于是

 

2)当直线斜率不存在时,设直线的方程为,由对称性知线段有相同的中点,所以当直线斜率存在时,设直线的方程为,将其代入为双曲线方程,为两渐近线方程)整理得,。因直线与双曲线有两个公共点,所以,所以。当时,是方程的两个根;时,是方程的两个根。由根与系数的关系得,由此知线段中点的纵坐标相同,故两线段有相同的中点,所以

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