两道高考压轴题的统一引申与推广

两道高考压轴题的统一引申与推广

湖北省阳新县高级中学　邹生书

2008年高考宁夏、海南数学文理卷有如下两道姊妹压轴题：

 

文科压轴题  设函数,曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

 

理科压轴题  设函数，曲线在点处的切线方程为。（1）求的解析式；（2）证明：函数的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；（3）证明：曲线上任意一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值。

 

文科题答案：（1）；（2）三角形面积为定值6。理科题答案：（1）；（2）对称中心；（3）三角形面积为定值2。

 

这两道题都是以“双勾函数”为背景的压轴题，实际上也就是以函数形式给出的双曲线方程，题目中的两条直线就是给双曲线“保驾护航”的两条渐近线。两题重点考查待定系数法、导数应用、函数的图象与性质，以及定值问题等。笔者对这两道高考题进行归纳、引申与推广得出这类“双勾函数”有如下性质：

 

定理1  已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线原点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

　　　　　　　　　　　　　

证明（1）由知，所以直线即轴是函数图象的一条渐近线。又当时，，所以直线是该函数图象的另一条渐近线。显然图象是以原点为中心的对称图形。

 

（2）设点是曲线上任意一点，则。因，所以，设曲线在点处的切线方程为①，设切线与轴相交于点与直线相交于点。在①中令得，在①中令得，所以曲线在点处切线与两渐近线所围成的的面积为。

 

（3）由（2）知，所以，由此知点为的中点。

 

（4）当时，，渐近线是两坐标轴。因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，。因为是此方程的两个根，由根与系数关系得，①。又将直线的方程代入曲线的渐近线方程得，，则是方程的两个根，由根与系数关系得②。由①②知，线段中点的横坐标相同，所以。

 

当时，因为直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，所以直线的斜率存在，设直线的方程为，将其代入曲线方程化简整理得，，因为是方程的两个根，由根与系数关系得，③。又将直线的方程为代入曲线的渐近线方程得，，则是方程的两个根，由根与系数关系得④。

 

由③④知，线段中点的横坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。

 

由此可见，当直线与曲线相切时，性质（4）就是性质（3）。

 

由平移的有关知识不难得出如下更一般性的结论：

 

定理2  已知函数，则（1）曲线是以直线和为渐近线以点为中心的对称图形；（2）曲线上任意一点的切线与两渐近线所围成的三角形的面积为定值，其值为；（3）曲线在任意一点处的切线与两渐近线分别相交于两点，则为的中点；（4）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

 

对于双曲线的标准方程我们有如下性质：

 

定理3  已知双曲线，（1）若在点处的切线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，则为的中点且；（2）若直线与两渐近线分别相交于两点，与曲线相交于两点，则。

　　　　　　　　　　　　　

证明  （1）设，则曲线在点处的切线方程为①，因为，故，代入渐近线方程得，。

 

又点在曲线上，所以有，代入上式化简得，因为是此方程的两个根，则，由此知点是线段中点。

 

又由根与系数关系得，所以。在①中令得切线与轴交点的横坐标为，于是。

 

（2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，由对称性知线段有相同的中点，所以。当直线斜率存在时，设直线的方程为，将其代入（为双曲线方程，为两渐近线方程）整理得，②。因直线与双曲线有两个公共点，所以，所以。当时，是方程②的两个根；当时，是方程②的两个根。由根与系数的关系得，由此知线段中点的纵坐标相同，故两线段有相同的中点，所以。