2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（六）

2007年高考数学试题汇编——圆锥曲线（六）

　　46、（本小题满分12分）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于两点．

 

　　（I）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；

 

　　（II）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

 

　　【解答】由条件知，，设，．

 

　　解法一：（I）设，则则，，

 

　　，由得

 

　　即

 

　　于是的中点坐标为．

 

　　当不与轴垂直时，，即．

 

　　又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

 

　　，即．

 

　　将代入上式，化简得．

 

　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

 

　　所以点的轨迹方程是．

 

　　（II）假设在轴上存在定点，使为常数．

 

　　当不与轴垂直时，设直线的方程是．

 

　　代入有．

 

　　则是上述方程的两个实根，所以，，

 

　　于是

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　因为是与无关的常数，所以，即，此时=．

 

　　当与轴垂直时，点的坐标可分别设为，，

 

　　此时．

 

　　故在轴上存在定点，使为常数．

 

　　解法二：（I）同解法一的（I）有

 

　　当不与轴垂直时，设直线的方程是．

 

　　代入有．

 

　　则是上述方程的两个实根，所以．

 

　　．

 

　　由①②③得．…………………④

 

　　．……………………………⑤

 

　　当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

 

　　．整理得．

 

　　当时，点的坐标为，满足上述方程．

 

　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

 

　　故点的轨迹方程是．

 

　　（II）假设在轴上存在定点点，使为常数，

 

　　当不与轴垂直时，由（I）有，．

 

　　以上同解法一的（II）．

 

　　47、（湖南文）设分别是椭圆（）的左、右焦点，是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是（    ）

 

　　A．                  B．                   C．                  D．

 

　　【解答】由已知P（），所以化简得

 

　　48、（湖南文）（本小题满分13分）已知双曲线的右焦点为，过点的动直线与双曲线相交于两点，点的坐标是．

 

　　（I）证明，为常数；

 

　　（II）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程．

 

　　【解答】由条件知，设，．

 

　　（I）当与轴垂直时，可设点的坐标分别为，，

 

　　此时．

 

　　当不与轴垂直时，设直线的方程是．

 

　　代入，有．

 

　　则是上述方程的两个实根，所以，，

 

　　于是

 

　　

 

　　

 

　　．

 

　　综上所述，为常数．

 

　　（II）解法一：设，则，，

 

　　，，由得：

 

　　即

 

　　于是的中点坐标为．

 

　　当不与轴垂直时，，即．

 

　　又因为两点在双曲线上，所以，，两式相减得

 

　　，即．

 

　　将代入上式，化简得．

 

　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

 

　　所以点的轨迹方程是．

 

　　解法二：同解法一得……………………①

 

　　当不与轴垂直时，由（I） 有．……………②

 

　　．………………③

 

　　由①②③得．…………………………④

 

　　．…………………………………⑤

 

　　当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有

 

　　．整理得．

 

　　当时，点的坐标为，满足上述方程．

 

　　当与轴垂直时，，求得，也满足上述方程．

 

　　故点的轨迹方程是．

 

　　49、（湖北理）双曲线的左准线为，左焦点和右焦点分别为和；抛物线的准线为，焦点为与的一个交点为，则等于（    ）

 

　　A．                 B．                    C．                D．

 

　　【解答】由题设可知点同时满足双曲线和抛物线的定义，且在双曲线右支上,故 由定义可得

 

　　

 

　　故原式 ，选A

 

　　

 

　　点评：本题主要考察双曲线和抛物线的定义和性质，几何条件列方程组，消元后化归曲线的基本量的计算，体现数形结合方法的重要性。

 

　　易错点：由于畏惧心理而胡乱选择，不能将几何条件有机联系转化，缺乏消元意识。

 

　　50、（湖北理）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（    ）

 

　　A．60条               B．66条               C．72条               D．78条

 

　　【解答】可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为，，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A

 

　　点评：本题主要考察直线与圆的概念，以及组合的知识，既要数形结合，又要分类考虑，要结合圆上点的对称性来考虑过点的直线的特征。是较难问题

 

　　易错点：不能准确理解题意，甚至混淆。对直线截距式方程认识不明确，认识不到三类特殊直线不能用截距式方程表示；对圆上的整数点探索不准确，或分类不明确，都会导致错误，胡乱选择。

2007