2007年高考数学试题汇编——立体几何（一）

2007年高考数学试题汇编——立体几何（一）

　　一、选择题

 

　　1．（全国Ⅰ?理?7题）如图，正四棱柱中，，则异面直线所成角的余弦值为（ D ）

 

　　　　　　　　　　　

 

　　A．          B．         C．        D．

 

　　【解答】如图，连接BC1，A1C1，∠A1BC1是异面直线与所成的角，设AB=a，AA1=2a，∴ A1B=C1B=a，A1C1=a，∠A1BC1的余弦值为，选D。

 

　　2．（全国Ⅱ?理?7题）已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于（ A ）

 

　　A．          B．      C．      D．

 

　　【解答】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，取A1C1的中点D1，连接BD1，AD1，∠B1AD1是AB1与侧面ACC1A1所成的角，，选A。

 

　　3．（北京?理?3题）平面平面的一个充分条件是（　D　）

 

　　A．存在一条直线          B．存在一条直线

 

　　C．存在两条平行直线

 

　　D．存在两条异面直线

 

　　【解答】平面平面的一个充分条件是“存在两条异面直线”，选D。

 

　　4．（安徽?理?2题）设，，均为直线，其中，在平面内，“”是且“”的（　　）

 

　　A．充分不必要条件  B．必要不充分条件  C．充分必要条件  D．既不充分也不必要条件

 

　　【解答】设l,m,n均为直线，其中m,n在平面内，“l”，则“lm且ln”，反之若“lm且ln”，当m//n时，推不出“l”，∴ “l”是“lm且ln”的充分不必要条件，选A。

 

　　5．（安徽?理?8题）半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，则与两点间的球面距离为（   ）

 

　　A．   B．     C．      D．

 

　　【解答】半径为1的球面上的四点是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=，BP=a，由解得，∴ 由余弦定理得∠AOB=arcos(－)，∴ 与两点间的球面距离为，选C。

 

　　6．（福建?理?8题）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（   D ）

 

　　A．    B．

 

　　C．                 D．

 

　　【解答】A中m、n少相交条件，不正确；B中分别在两个平行平面的两条直线不一定平行，不正确；C中n可以在内，不正确，选D

 

　　7．（福建?理?10题）顶点在同一球面上的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离为（  B  ）

 

　　A．       B．      C ．     D．

 

　　【解答】正四棱柱的对角线为球的直径，由4R2=1+1+2=4得R=1，AC=，所以∠AOC=（其中O为球心）A、C两点间的球面距离为，选B

 

　　8．（湖北?理?4题）平面外有两条直线和，如果和在平面内的射影分别是和，给出下列四个命题：

 

　　①⊥⊥；                       ②⊥⊥；

 

　　③与相交与相交或重合；     ④与平行与平行或重合；

 

　　其中不正确的命题个数是（ D  ）

 

　　A.1                B.2                C.3                    D.4

 

　　　　　　　

 

　　【解答】由射影的概念以及线线垂直关系的判定方法，可知①②③④均错, 具体可观察如图的正方体：

 

　　但不垂直，故①错；但在底面上的射影都是

 

　　故②错；相交，但异面，故③错；但异面，故④错

 

　　点评：本题主要考察空间线面之间位置关系，以及射影的意义理解。关键是要理解同一条直线在不同平面上的射影不同；线在面内，线面平行，线面相交的不同位置下，射影也不相同。要从不用的方向看三垂线定理，充分发挥空间想象力。

 

　　易错点：空间想象力不够，容易误判③、④正确，而错选Ｂ或Ｃ

 

　　9．（湖南?理?8题）棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，分别是棱，的中点，则直线被球截得的线段长为（  D  ）

 

　　A．         B．                  C．             D．

 

　　【解答】正方体对角线为球直径，所以，在过点E、F、O的球的大圆中，由已知得d=，，所以EF=2r=。

 

　　10．（江苏?理?4题）已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题：

 

　　①       ②

 

　　③        ④

 

　　其中正确命题的序号是（ C  ）

 

　　A．①③       B．②④      C．①④      D．②③

 

　　【解答】用线面垂直的性质和面面平行的性质可判断①④  正确，②中m,n可以平行或异面③中n可以在内     选C

 

　　11．如图，正方体的棱长为，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是（　　）

 

　　Ａ．点是的垂心        Ｂ．垂直平面

 

　　Ｃ．的延长线经过点        Ｄ．直线和所成角为

 

　　　　　　

 

　　【解答】因为三棱锥A—是正三棱锥，故顶点A在底面的射映是底面中心，A正确；面∥面，而AH垂直平面，所以AH垂直平面，B正确；根据对称性知C正确。选D

 

　　12．（辽宁?理?7题）若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（    ）

 

　　A．若，则      B．若，，则

 

　　C．若，，则     D．若，，则

 

　　【解答】由有关性质排除A、B、D，选C

 

　　13．（陕西?理?6题）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ B ）

 

　　A．      B．        C．        D．

 

　　【解答】正三棱锥的高为1，由平面几何知识知底面边长为，体积为，选C

 

　　14．（四川?理?4题）如图，为正方体，下面结论错误的是（　　）

 

　　　　　　　　

 

　　（A）平面             （B）

 

　　（C）平面            （D）异面直线与所成的角为

 

　　【解答】选D．显然异面直线与所成的角为

 

　　15．(宁夏?理?8题) 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（　B　）

 

　　　　　　　　　

 

　　Ａ．      Ｂ．      Ｃ．      Ｄ．

 

　　【解答】如图，

 

　　　　　　　　　

 

　　16．（四川?理?6题）设球O的半径是1，A、B、C是球面上三点，已知A到B、C两点的球面距离都是，且三面角B-OA-C的大小为，则从A点沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是（ C  ）

 

　　　　　　　　　　

 

　　A．      B．      C．      D．

 

　　【解答】选C．．本题考查球面距离．

 

　　17．（天津?理?6题）设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（　D　）

 

　　Ａ．若与所成的角相等，则     Ｂ．若，，则

 

　　Ｃ．若，则     Ｄ．若，，则

 

　　【解答】对于A当与均成时就不一定；对于B只需找个，且即可满足题设但不一定平行；对于C可参考直三棱柱模型排除，故选D

 

　　18．（浙江?理?6题）若P是两条异面直线外的任意一点，则（  B  ）

 

　　A．过点P有且仅有一条直线与都平行      B．过点P有且仅有一条直线与都垂直

 

　　C．过点P有且仅有一条直线与都相交      D．过点P有且仅有一条直线与都异面

 

　　【解答】设过点P的直线为，若与l、m都平行，则l、m平行，与已知矛盾，故选项A错误。由于l、m只有惟一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确。对于选项C、D可参考右图的正方体，设AD为直线l，为直线m;若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误。若P在点，则由图中可知直线均与l、m异面，故选项D错误。