空间几何体外接球的解题研究

空间几何体外接球问题往往是高中的重点和难点，各种模拟考试甚至高考也是非常热衷于考这种类型的题目，常常作为选填题的压轴题，比如2019年全国卷Ⅰ理科就在选择题第12题出现了与球相关的题，之前的全国卷中也多次出现和球相关的题，根据难易程度，一般都在选择题10，11，12题的位置，这就意味着，想要取得好成绩，必须攻克这种类型的题目.但是往往这种题目变换多样，大部分学生经常摸不着头脑，晕头转向，甚至对这种题目产生畏惧心理，最终选择放弃，导致对数学失去兴趣，失去信心.根据教学经验，笔者认为，这种题目是有一定规律可循的，因此，对外接球问题的常见题型和考点做一个总结是非常有必要的，如果学生已经了解出题人大概会从哪些方面去考查外接球问题，那么学生就能在平时有意识地加强练习，以便能够熟练掌握和应用，再看到这类题，就不会担心没有思路，也不会担心算不出来了.对于高中生而言，事先知道外接球问题的考点，打有准备之仗，非常必要.

一、外接球问题常见题型

题型一 找出球心位置

找出球心位置这种题型是考查得最多的，然而这种题型不具有巧妙解法，只能通过球心位置的确定，利用勾股定理找到一些关系式，列方程求解.

例1 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为

( )

解：如图，设O1为O在平面ABC内的投影，设三棱锥S-ABC的高为h.

∵OA=OB=OC，∴O1为△ABC的外心，∴O1C为△ABC的外接圆半径，

∵SC=2,SC为直径，∴OC=1，在Rt△OO1C中，由勾股定理得

∵O为SC中点，又

故选A.

例2 已知三棱锥D-ABC的四个顶点都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，DB⊥平面ABC，DB=12，则球O的半径为________.

解：如图，设球O的半径为R，

∵O为球心，∴O到四点的距离相等，∵AB⊥AC，

∴△ABC为直角三角形，

∴△ABC的外心应该在斜边BC的中点O1处,那么球心应该在过O1且垂直于平面ABC的直线上，∵DB⊥平面ABC，∴DB⊥BC，∴△DBC为直角三角形，则球心在过△DBC斜边中点且垂直于平面DBC的直线上，因此球心是以上两条直线的公共点，那就是△DBC斜边中点，∴球心O就是DC中点，即DC是直径，在Rt△ABC中，由勾股定理得BC=5,在Rt△DBC中，由勾股定理得

例3 已知两个圆锥有公共底面,且底面半径r=1，两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，两个圆锥中体积较小者的高与体积较大者的高的比值为则球的半径R为________.

解：由题意，如图，两圆锥的高所在直线必过球心O，且AB⊥O1C,

设体积较小的圆锥的高为h，则体积较大的圆锥的高为3h，即|AB|=4h.

在Rt△OO1C中，由勾股定理得(2h)2=h2+1，解得

例4 一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为

( )

解：由题意，如图，六棱柱的底面是正六边形，其外接圆半径r=1，六棱柱的高h=1，

∴球的半径

故选D.

以上四个例题都可以找到球心的大致位置，利用球心的性质，把球心投影到底面，其投影都是底面多边形的外心或是底面圆的圆心，然后用勾股定理列出关系式进行求解，从而得到答案.

题型二 已知线面垂直，构造矩形模型

例5 已知三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD,△BCD是边长为2的正三角形，AB=2，则三棱锥的外接球体积为________.

解：如图，设其外接球球心为O，其在底面BCD的投影为O1，取AB中点E,连接O1B,OE，

∵OD=OB=OC，∴O1为△BCD的外心，

∵OO1⊥底面BCD,AB⊥底面BCD，∴OO1∥AB,

∴O，O1，A，B四点共面，

∵|OA|=|OB|,E为AB中点，∴OE⊥AB，∴∠OEB=∠OO1B=∠O1BE=90°，

∴四边形OO1BE为矩形，∴|OO1|=|EB|==1，

在Rt△OO1B中，由勾股定理得

∴外接球半径

例6 三棱锥P-ABC内接于半径为2的球中,PA⊥平面则三棱锥P-ABC体积的最大值是

( )

解：如图，设其外接球球心为O，其在底面ABC的投影为O1，取PA中点D,连接O1A,OD,

由例5，易证O1为△ABC的外心，四边形OO1AD为矩形(这里不再赘述)，

∴|O1A|=1，∵|OA|=2，在Rt△OO1A中，由勾股定理得

设|AB|=c,|AC|=b，在△ABC中，由余弦定理得

即当且仅当b=c时取等，

故选C.

以上两个例题，有个共同特点，就是空间几何体都具有线面垂直的特点，这样，我们可以大致假设一个球心O的位置，并将其投影到底面于O1，从而构造一个矩形，得到空间几何体的高h与|OO1|的关系是h=2|OO1|，再利用勾股定理得到关系式，进而求解出答案.

题型三 三个两两垂直的墙角模型，补形成长方体或正方体

例7 侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的三个侧面都是直角三角形，且四个顶点都在同一个球的球面上，则该球的表面积为

( )

解：∵正三棱锥P-ABC三个侧面都是直角三角形,说明此正三棱锥中具有三个两两垂直的墙角模型，那么，我们可以通过补形法，把这个正三棱锥补成边长为a的正方体，则此正三棱锥的外接球就是正方体的外接球，易知正方体的体对角线就是外接球的直径，故选D.

例8 三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A-BCD的侧面积为S,则S的最大值为

( )

A.4 B.6

C.8 D.16

解：在三棱锥A-BCD中，AB,AC,AD两两垂直，运用补形法可以将三棱锥A-BCD补成一个长方体，设|AB|=a,|AC|=b,|AD|=c，体对角线长为

而

∵a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时取等；

b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时取等；

a2+c2≥2ac，当且仅当a=c时取等.

∴a2+b2+b2+c2+a2+c2≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等，

即32≥2ab+2bc+2ac，当且仅当a=b=c时取等，故选C.

以上两个例题，有一个共同特点，就是空间几何体都具有三个两两垂直的墙角模型，那么可以理解为长方体或者正方体的一个角，通过补形法，可以将几何体补成长方体或正方体，那么原几何体的外接球，其实也是所补成的长方体或正方体的外接球，那么球的直径就是长方体或正方体的体对角线，就非常容易求解了.

二、外接球问题中的偏难题的解决方法

此外，还有一些题目，看似让人摸不着头脑，因为这些题目的特征没有以上题目中那么鲜明，但实际上，只要大家认真分析题目，就会发现他们就是以上三种类型之一.当然，这样的题，肯定比前面的例题难度大.

例9 设正三棱锥A-BCD的所有顶点都在球O的球面上，BC=1,E,F分别是AB,BC的中点,EF⊥DE,则球O的半径R为

( )

解：如图，取BD中点为M,连接AM,CM,

∵A-BCD是正三棱锥,∴|AB|=|AD|,|BC|=|CD|,∴AM⊥BD,CM⊥BD，

∵AM∩CM=M,AM⊂平面ACM,CM⊂平面ACM,∴BD⊥平面ACM，

∵AC⊂平面ACM，∴BD⊥AC，

∵E,F分别是AB,BC的中点，∴EF∥AC，BD⊥EF，

∵EF⊥DE,BD∩DE=D,BD⊂平面ABD,DE⊂平面ABD，∴EF⊥平面ABD，

∵EF∥AC，∴AC⊥平面ABD，

∵AB⊂平面ABD,AD⊂平面ABD，

∴AC⊥AB,AC⊥AD，

∵A-BCD是正三棱锥,∴△ABC≌△ABD，

∴AB⊥AD，

此时三棱锥A-BCD中出现了三个两两垂直的墙角模型,这就是题型三中遇到的情况，可以通过补形,把它补成一个正方体,经计算这个正方体的棱长为

故选B.

例10 已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角C-AB-D的余弦值为若A,B,C,D,E在同一个球面上,则此球的体积为

( )

解：如图，过C点作CO1⊥平面ABDE,过O1作O1F⊥AB于F,则由三垂线定理可知,CF⊥AB,

∴∠CFO1为二面角C-AB-D的平面角,

∵△ABC是边长为1的等边三角形，

设球的半径为

结合等边三角形△ABC与正方形ABDE可知,此四棱锥为正四棱锥,此时就是题型一的情况,可以找到球心的大致位置,利用勾股定理解决.

在Rt△OO1E中，由勾股定理得

故选D.

例11 已知正三棱锥S-ABC内接于半径为6的球,过侧棱SA及球心O的平面截三棱锥及球面所得截面如图,则此三棱锥的侧面积为________.

解：如图，过S作SO1⊥平面ABC于O1,∵S-ABC是正三棱锥,∴SO1必过点O.

由截面图可分析出点O和点O1重合,∴O为△ABC的重心，

∵|OA|=6，∴|AD|=9，由勾股定理知

∵|SO|=6,|OD|=3,∴在Rt△SOD中，由勾股定理得

根据解题过程可以看出,此题属于题型一的情况,确定了球心位置,再利用勾股定理进行求解.

例12 如图,在球的内接三棱锥A-BCD中,AB=8,CD=4,平面ACD⊥平面BCD，且△ACD与△BCD是以CD为底边的全等的等腰三角形,则三棱锥A-BCD的高与其外接球的直径的比值为

( )

解：如图，取AB,CD的中点分别为E,F,连接EF,AF,BF.

∵球心O到C,D距离相等，∴球心O在线段CD的垂直平分线上，

易得平面ABF⊥平面BCD，∴球心O在平面ABF内，

由题意得|BF|=|AF|,且在△ABF中,EF为AB边上的中垂线,设球的半径为R，

∴球心O在线段EF上,连接OA,OC,在Rt△AOE中，有R2=|AE|2+|OE|2=16+|OE|2①,

在Rt△OCF中，R2=|CF|2+|OF|2=4+(4-|OE|)2②,由①②得

又∵三棱锥A-BCD的高

∴三棱锥A-BCD的高与其外接球的直径的比值为故选B.

根据解题过程,可以看出此题也属于题型一的情况,找到球心位置,再利用勾股定理进行求解.

三、空间几何体外接球问题的解题思路

通过以上题型的总结和分析，建议在解决外接球问题时，先看看空间几何体是否有线面垂直条件，如果有，则联想题型二——做矩形模型的思路，如果没有，看看空间几何体是否有三个两两垂直的墙角模型，如果有，则联想题型三——补形法的思路，如果没有，则只能老老实实找到球心的大致位置，再利用勾股定理进行求解.另外强调一点，如果遇到的题目中，没有线面垂直，也没有三个两两垂直，也找不到球心大致的位置，那么此时，这个题的难度肯定较大，需要静心分析题目的已知条件，挖掘出隐藏在题目中的信息，等条件挖掘出来后，此时一定是上面三种题型中的一种，从而进行求解.

(作者单位：四川省成都市新都一中)