空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积

球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式及其应用

 

二. 课标要求：

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

 

三. 命题走向

近些年来在高考中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会用体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解。

由于本讲公式多反映在考题上，预测2008年高考有以下特色：

（1）用选择、填空题考查本章的基本性质和求积公式；

（2）考题可能为：与多面体和旋转体的面积、体积有关的计算问题；与多面体和旋转体中某些元素有关的计算问题；

 

［教学过程］

（一）基本知识要点回顾

1. 多面体的面积和体积公式

名称		侧面积（S侧）	全面积（S全）	体 积（V）
棱 柱	棱柱	直截面周长×l	S侧+2S底	S底·h=S直截面·h
	直棱柱	Ch		S底·h
棱 锥	棱锥	各侧面面积之和	S侧+S底	S底·h
	正棱锥	ch′
棱 台	棱台	各侧面面积之和	S侧+S上底+S下底	h（S上底+S下底+）
	正棱台	（c+c′）h′

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表示高，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式

名称	圆柱	圆锥	圆台	球
S侧	2πrl	πrl	π（r1+r2）l
S全	2πr（l+r）	Πr（l+r）	π（r1+r2）l+π（r21+r22）	4πR2
V	πr2h（即πr2l）	πr2h	πh（r21+r1r2+r22）	πR3

表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r₁、r₂分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。

 

【典型例题】

例1. 一个长方体全面积是20cm²，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.

解：设长方体的长、宽、高、对角线长分别为xcm、ycm、zcm、lcm

依题意得：      

由（2）²得：x²+y²+z²+2xy+2yz+2xz=36（3）

由（3）－（1）得x²+y²+z²=16

即l²=16

所以l=4（cm）。

点评：涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主，而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考查。我们平常的学习中要多建立一些重要的几何要素（对角线、内切）与面积、体积之间的关系。

 

例2. 如图所示，在平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

（1）求证：顶点A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分线上；

（2）求这个平行六面体的体积。

解：（1）如图，连结A₁O，则A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，连结A₁M，A₁N。由线面垂直得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD。∵∠A₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA，∴A₁M=A₁N，

从而OM=ON。

∴点O在∠BAD的平分线上。

（2）∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，

∴A₁O=，平行六面体的体积为。

点评：垂直问题的证明和柱体的体积公式的应用。

 

例3. （2000全国，3）一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是，这个长方体对角线的长是（    ）

A. 2                B. 3              C. 6                       D.

解：设长方体共一顶点的三边长分别为a=1，b＝，c＝，则对角线l的长为l=；答案D。

点评：解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。

 

例4. 如图，三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，若E、F分别为AB、AC 的中点，平面EB₁C₁将三棱柱分成体积为V₁、V₂的两部分，那么V₁∶V₂= ____    _。

解：设三棱柱的高为h，上下底的面积为S，体积为V，则V=V₁+V₂＝Sh。

∵E、F分别为AB、AC的中点，

∴S_△AEF=S，

V₁=h（S+S+）=Sh

V₂=Sh-V₁=Sh，

∴V₁∶V₂=7∶5。

点评：解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系，建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的量建立比值得到结论即可。

 

例5. （2002京皖春文，19）在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。（如图所示）

（Ⅰ）证明：SC⊥BC；

（Ⅱ）求三棱锥的体积V_S－ABC。

解析：（Ⅰ）证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，∴BC⊥平面ASC，得BC⊥SC。

（Ⅱ）解：在Rt△SAC中，

∵SA=，

S_△ABC=·AC·BC=×5×5=，

∴V_S－ABC=·S_△ACB·SA=。

点评：本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力，并进行一定的逻辑推理。

 

例6. ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求点B到平面EFC的距离？

解：如图，取EF的中点O，连接GB、GO、CD、FB构造三棱锥B－EFG。

设点B到平面EFG的距离为h，BD＝，EF，CO＝。

    。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由，得·GC

点评：该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点B为顶点，△EFG为底面的三棱锥是解此题的关键，利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法，从而简化了运算。（等体积法）

 

例7. （2006江西理，12）如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球（与四个面都相切的球）球心O，且与BC，DC分别截于E、F，如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A－BEFD与三棱锥A－EFC的表面积分别是S₁，S₂，则必有（   ）

A. S₁<S₂        B. S₁>S₂     C. S₁=S₂         D. S₁，S₂的大小关系不能确定

解：连OA、OB、OC、OD，

则V_A－BEFD＝V_O－ABD＋V_O－ABE＋V_O－BEFD+V_O-ADF

V_A－EFC＝V_O－AFC＋V_O－AEC＋V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC，

而每个锥体的高都是原四面体的内切球的半径，故S_ABD＋S_ABE＋S_BEFD+S_ADF＝S_AFC＋S_AEC＋S_EFC又面AEF公共，故选C

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度，求解棱锥的体积、表面积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

 

例8. （1）（1998全国，9）如果棱台的两底面积分别是S、S′，中截面的面积是S₀，那么（    ）

A.   B.   C. 2S₀＝S＋S′  D. S₀²＝2S′·S

（2）（1994全国，7）已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（    ）

A. 32              B. 28                 C. 24                    D. 20

解：（1）设该棱台为正棱台来解即可，答案为A；

（2）正六棱台上下底面面积分别为：S_上＝6··2²＝6，S_下＝6··4²＝24，V_台＝，答案B。

点评：本题考查棱台的中截面问题。根据选择题的特点本题选用“特例法”来解，此种解法在解选择题时很普遍，如选用特殊值、特殊点、特殊曲线、特殊图形等等。

 

例9. （2000全国理，9）一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（    ）

A.             B.           C.                D.

解：设圆柱的底面半径为r，高为h，则由题设知h=2πr.

∴S_全=2πr²+（2πr）²=2πr²（1+2π）.S_侧=h²=4π²r²，

∴。答案为A。

点评：本题考查圆柱的侧面展开图、侧面积和全面积等知识。

 

例10. （2003京春理13，文14）如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球，水面高度恰好升高r，则=         。

解：水面高度升高r，则圆柱体积增加πR²·r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此有πr³=πR²r。故。答案为。

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

 

例11. （1）（2002京皖春，7）在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°（如图所示），若将△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（    ）

A. π                 B. π                C. π             D. π

（2）（2001全国文，3）若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（    ）

A. 3π                B. 3π                        C. 6π                       D. 9π

解：（1）如图所示，该旋转体的体积为圆锥C—ADE与圆锥B—ADE体积之差，又∵求得AB=1。

∴，答案D。

（2）∵S＝absinθ，∴a²sin60°＝，

∴a²＝4，a＝2，a=2r，

∴r＝1，S_全＝2πr＋πr²＝2π＋π＝3π，答案A。

点评：通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。

 

例12. 已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积。

解：设截面圆心为，连结，设球半径为，

则，

在中，，

∴，

∴，

∴。

点评： 正确应用球的表面积公式，建立平面圆与球的半径之间的关系。

 

例13. 如图所示，球面上有四个点P、A、B、C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球的表面积。

解：如图，设过A、B、C三点的球的截面圆半径为r，圆心为O′，球心到该圆面的距离为d。

在三棱锥P—ABC中，∵PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，

∴AB=BC=CA=a，且P在△ABC内的射影即△ABC的中心O′。

由正弦定理，得  =2r，∴r=a。

又根据球的截面的性质，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共线，球的半径R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=，（R－a）²=R² – （a）²，解得R=a，

∴S_球=4πR²=3πa²。

点评：本题也可用补形法求解。将P—ABC补成一个正方体，由对称性可知，正方体内接于球，则球的直径就是正方体的对角线，易得球半径R=a，下略。

 

例14. （1）（2006四川文，10）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积是（    ）

A.       B.      C.        D.

（2）半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积。

解：（1）如图，正四棱锥底面的四个顶点在球的同一个大圆上，点在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面积是，选D。

（2）作轴截面如图所示，

，，

设球半径为，

则

   

∴，

∴，。

点评：本题重点考查球截面的性质以及球面积公式，解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。

 

例15. 表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积。

解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，

则作轴截面如图，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

点评：作轴截面把立体几何中的问题转化为平面几何的问题。

 

例16. （1）我国首都靠近北纬纬线，求北纬纬线的长度等于多少？（地球半径大约为）

（2）在半径为的球面上有三点，，求球心到经过这三点的截面的距离。

解：（1）如图，是北纬上一点，是它的半径，

∴，

设是北纬的纬线长，

∵，

∴

答：北纬纬线长约等于.

（2）设经过三点的截面为⊙，

设球心为，连结，则平面，

∵，

∴，

所以，球心到截面距离为.

点评：了解经纬的数学意义，抓住球中的直角三角形求解。

 

例17. 在北纬圈上有两点，设该纬度圈上两点的劣弧长为（为地球半径），求两点间的球面距离。

解：设北纬圈的半径为，则，设为北纬圈的圆心，，

∴，∴，

∴，∴，

∴中，，

所以，两点的球面距离等于.

点评：要求两点的球面距离，必须先求出两点的直线距离，再求出这两点的球心角，进而求出这两点的球面距离。

 

［思维总结］

1. 正四面体的性质  设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的

（1）全面积：S_全=a²；

（2）体积：V=a³；

（3）对棱中点连线段的长：d=a；

（4）内切球半径：r=a；   

（5）外接球半径：R=a；

（6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

2. 直角四面体的性质  有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。直角四面体有下列性质：

如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a，OB=b，OC=c。

则：①不含直角的底面ABC是锐角三角形；

②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③体积    V=abc；

④底面S_△ABC=；

⑤外切球半径    R=；

⑥内切球半径  r=

3. 球的截面

用一个平面去截一个球，截面是圆面.

（1）过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；

（2）球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；

（3）球心和截面距离d，球半径R，截面半径r有如下关系：

r=.

4. 经度、纬度：

经线：球面上从北极到南极的半个大圆；

纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆；

经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。

纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

5. 两点的球面距离：

球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离

两点的球面距离公式：（其中R为球半径，为A，B所对应的球心角的弧度数）

 

【模拟试题】

一、选择题

1、下图是由哪个平面图形旋转得到的（      ）

2、过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（     ）

A、         B、        C、         D、

3、在棱长为的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，则截去个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（     ）

A、             B、                  C、                    D、

4、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为和，则（     ）

A、                    B、              C、                    D、

5、如果两个球的体积之比为，那么两个球的表面积之比为（   ）

A、                 B、            C、                  D、

6、有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位），则该几何体的表面积及体积为：（   ）

 

A、，                B、，12

C、，36                D、以上都不正确           

 

二、填空题

1、若圆锥的表面积是，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是_______。

2、一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是       。 

3、球的半径扩大为原来的2倍，它的体积扩大为原来的 _________ 倍。

4、一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米，则此球的半径为_________厘米。

5、已知棱台的上下底面面积分别为4、16，高为，则该棱台的体积为___________。

 

三、解答题

1、（如图）在底半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积

2、如图，在四边形中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，，，，求四边形绕旋转一周所成几何体的表面积及体积 

【试题答案】

一、选择题  

1、A   几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得

2、B   从此圆锥可以看出三个圆锥，

   

3、D  

4、D  

5、C  

6、A   此几何体是个圆锥，

   

二、填空题

1、  设圆锥的底面半径为，母线为，则，得，

，得，圆锥的高

2、 

   

3、 

4、 

5、   

三、解答题

1、解：圆锥的高，圆柱的底面半径，

   

2、解：