2005年全国初中数学联赛初赛试卷

2005年全国初中数学联赛初赛试卷

3月25日下午2：30－4:30或3月26日上午9：00－11：30

 

学校___________   考生姓名___________

题  号	一	二	三	四	五	合   计
得  分
评卷人
复核人

一、选择题（每小题7分，共计42分）

1、若a、b为实数，则下列命题中正确的是（    ）

（A）a＞b a²＞b²    (B)a≠b a²≠b²   (C)|a|＞b a²＞b²   (D)a＞|b| a²＞b²

2、已知：a+b+c=3,a²+b²+c²=3,则a²⁰⁰⁵+b²⁰⁰⁵+c²⁰⁰⁵的值是（    ）

（A） 0             (B) 3               (C) 2²⁰⁰⁵               (D)3·2²⁰⁰⁵

3、有一种足球是由若干块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，（如图），如果缝制好的这种足球黑皮有12块，则白皮有（    ）块。 

(A)  16              (B)  18            (C)  20               (D)  22

4、在Rt△ABC中，斜边AB=5，而直角边BC、AC之长是一元二次方程x²－(2m－1)x+4(m－1)=0的两根，则m的值是（   ）

（A）4             （B）－1          （C）4或－1          （D）－4或1

5、在直角坐标系中，横坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线y=x－3与y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（    ）

（A）2个           （B）4个          （C）6个             （D）8个

6、如图，直线x=1是二次函数 y=ax²+bx+c的图像的对称轴，则有（    ）

（A）a+b+c=0       （B）b＞a+c       （C）c＞2b            （D）abc＜0

二、填空题 （每小题7分，共计28分）

1、已知：x为非零实数，且  = a, 则 =_____________。

2、已知a为实数，且使关于x的二次方程x²+a²x+a = 0有实根，则该方程的根x所能取到的最大值是_______________________.

3、p是⊙o的直径AB的延长线上一点，PC与⊙o相切于点C，∠APC的角平分线交AC于Q，则

则∠PQC = _________.

4、对于一个自然数n，如果能找到自然数a和b，使n=a+b+ab,则称n为一个“好数”，例如：

3=1+1+1×1，则3是一个“好数”，在1~20这20个自然数中，“好数”共有__________个。

三、（本题满分20分）设A、B是抛物线y=2x²+4x－2上的点，原点位于线段AB的中点处。

试求A、B两点的坐标。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

B

A

O

E

D

C

四、（本题满分25分）如图，AB是⊙o的直径，AB=d，过A作⊙o的切线并在其上取一点C，使AC=AB，连结OC叫⊙o于点D，BD的延长线交AC于E，求AE的长。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

五、（本题满分25分）设x = a+b－c ,y = a+c－b ,z = b+c－a ,其中a、b、c是待定的质数，如果x² = y , = 2,试求积abc的所有可能的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2005年全国初中数学联赛初赛试题参考解答及评分标准

一、选择题（每小题7分，共计42分）

1、D     2、B       3、C       4、A       5、C       6、C

二、填空题 （每小题7分，共计28分）

1、  a²－2              2、                 3、 45°             4、 12

三、解：∵原点是线段AB的中点 点A和点B关于原点对称

设点A的坐标为（a，b），则点B的坐标为（―a，―b）………………………………5分

又 A、B是抛物线上的点，分别将它们的坐标代入抛物线解析式，得：

b = 2a²+4a－2

                             ……………………………………………………………………10分

              －b = 2a²－4a－2

解之得： a = 1 ,  b = 4 或者a = －1 ,b = －4……………………………………………………15分

故  A为（1，4），B为（－1，－4） 或者 A（－1，－4），B（1，4）.………………………20分

B

A

O

E

D

C

4

3

2

1

 

四、解：如图连结AD，则∠1=∠2=∠3=∠4

∴ΔCDE∽ΔCAD

∴      ①        ………………5分

又∵ΔADE∽ΔBDA

∴       ②        ………………10分

由①、②及AB=AC，可得AE=CD  …………15分

又由ΔCDE∽ΔCAD可得 ，即AE²=CD²=CE CA  …………20分

设AE=x，则CE=d－x ，于是 x²=d(d－x)

即有AE = x =   （负值已舍去）     …………………………25分

五、解：∵a+b－c=x, a+c－b=y, b + c－a =z ,

∴a= ,  b= ,  c=   …………………5分

又∵ y=x² , 故 a= ---(1);

b= -----(2) 

c= ----(3)

∴x=   ---------------(4)

∵x是整数，得1+8a=T²，其中T是正奇数。  ………………10分

于是，2a=  ，其中a是质数，故有 =2， =a

∴T=5 ，a=3                     ……………………15分

将a=3代入（4）    得 x=2或－3.

当x=2时，y=x²=4,

因而 －2=2， z=16 ，

代入（2）、（3）可得b=9 ，c=10，

与b、c是质数矛盾，当舍去。         ……………………………………20分

当x=－3时，y=9 . －3=2,

∴z=25

代入（2）、（3）可得 b=11，c=17

∴abc=3×11×17=561          ………………………………………25分