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第十四讲 一次方程组的应用 一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在： 首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决． 其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易．一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题． 例题 【例1】 (广东省中考题) 思路点拨 三个未知数两个等式x、y、z的值不惟一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组． 【例2】 方程 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (“五羊杯”邀请赛试题) 思路点拨 把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式． 注：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设 【例3】 项王故里的门票价格规定如下表：
某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元． (1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱? (2)两班各有多少名学生? (宿迁市中考题) 思路点拨 设甲班有x名学生，乙班有y名学生，则有以下三种可能情况：51≤x≤100，1≤y≤50；51≤x≤100， 【例4】 某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的 思路点拨 求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策． 【例5】 某果晶商店进行组合销售，甲种搭配： 思路点拨 数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解．
注： 现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的方式出现在人们面前，用表格的形式．给出已知信息，是近年中考应用题的新特点，解速类问题的关键是： (1)从表头中了解对象，从表列(行)中得到数据； (2)处理数据，寻找隐含的规律． 在信息化社会，我们时刻面对著汹涌而来的各种数字、数据，对数据进行恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代人必备的基本素养． 【例6】 两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进 思路点拨 要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油． 设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x桶油，使甲车装满24桶油，依据题意，列方程 x＋x＋2x=24． 解得x=6． 60×6=360(km)． 所以，乙车应在离出发点 注： 解应用题关键在于挖掘题目隐舍的等量关系，用来列代数式或建立方程． 【例7】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点 思路点拨 设A、B两地间的距离是xm，第一次相遇甲走了 解得x= 所以，A、B两地间的路程是 注： 弄清以下问题是解题的关键：(1)甲、乙两人从开始到相遇所用时间有什么关系?(2)所走路程之和是多少?(3)第一次相遇后到第二次相遇，甲、乙两人所走路程之和是多少?(4)所用时间是第一次相遇时间的几倍? 【例8】 快、慢两列车的长分别为 思路点拨 设坐在快车上的人见慢车驶过窗口所用的时间为xs．由于两列车相向行驶的相对速度是一样的，所以坐在车上看另一辆车驶过窗口的时间与车长成正比， 由题意得6：x=150：200． 解得x=8(s) 答：坐在快车上的人看见慢车驶过窗口用的时间为8s． 【例9】 小刚骑自行车沿公路以akm／min的速度前进，每隔bmin迎面开来一辆公共汽车，每隔cmin(c＞b)从后面开过一辆公共汽车．若汽车均为相同的速度，始、终点发车间隔时间相同，求汽车的速度和发车的间隔时间． 思路点拨 设汽车速度为xkm／min，发车的间隔时间为tmin． 依题意有 【例10】 四十只脚的蜈蚣和三个头的龙在同一个笼中，共有26个头和298只脚，如果40只脚的蜈蚣只有一个头，那么三个头的龙有几只脚? 思路点拨 设蜈蚣和龙的个数分别为x、y，三个头的龙的脚数为n，x、y、n均为正整数． 依题意得 ①×40—②得(120—n)y=742， y│742，742=1 ×2×7 ×53， 又∵3y<x+3y=26， ∴ y≤8，y只可能为1、2、7．将y=1，y=2，代入到(120—n)y=742中，知n<0，矛盾．故只能取y=7，可得n=14．经验证：n=14是问题的正确答案． 答：三个头的龙有14只脚． 注意题中隐合了条件：只数、脚数均为正整数． 【例11】 (重庆市中考题) 某中学新建了一栋4层的教学大楼，每层楼有8间教室，进出这栋大楼共有4道门，其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同。安全检查中，对4道门进行了测试：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟内可以通过800名学生。 思路点拨 (1)设平均每分钟一道正门可以通过x名学生，一道侧门可以通过y名学生．由题意得 答：平均每分钟一道正门可以通过120名学生，一道侧门可以通过80名学生． (2)这栋楼最多有学生4×8×45=1440名，拥挤时5min4道门能通过学生： 5×2(120+80)×(1-20％)=1600名． ∵ 1600>1440， ∴ 建造的4道门符合安全规定．
【例12】甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试问：难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题? 思路点拨 设共有x道题难题，y道容易题，中等难度的题为z道，则 由①×2—②，得x-y=20． 答：难题比容易题多20道． 注 本题有三个未知数：难题个数、容易题个数、正好两人解出的题(中等难度的题)的个数，有两个等量关系：(1)难度个数+容易题个数+中等难度题个数=100．(2)难题个数+容易题个数×3+中等难度题个数×2=60×3．故需设辅未知数． 学力训练 1．已知 2．写出一个以 (绍兴市中考题) 3．某种电器产品，每件若以原定价的95折销售，可获利150元，若以原定价的75折销售，则亏损50元，该种商品每件的进价为 元． ( “希望杯”邀请赛试题) 4．如图，用8块相同的长方形地砖拼成一个矩形，则每个长方形地砖的面积是( )． A． (黑龙江省中考题) 5．某商场根据市场信息，对商场中现有的两台不同型号的空调进行调价销售，其中一台空调调价后售出可获利10％(相对于进价)，另一台空调调价后售出则要亏本10％(相对于进价)，而这两台空调调价后的售价恰好相同，那么商场把这两台空调调价后售出( )． A．既不获利也不亏本 B．可获利l％ C．要亏本2％ D．要亏本l％ (无锡市中考题) 6．甲是乙现在的年龄时，乙l0岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么( )． A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大lo岁 D．乙比甲大5岁 (全国初中数学竞赛题) 7．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内投进n个球的人数分布情况，同时，已知进球3个或3个以上的人平均每人投进3．5个球；进球4个或4个以下的人平均每人投进2.5个球．问投进3个球和4个球的各有多少 8．甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下：
甲班分两次共购买苹果 (1)乙班比甲班少付出多少元? (2)甲班第一次、第二次分别购买苹果多少千克? (常州市中考题) 9．已知某电脑公司有A型、B型、C型三种型号的电脑，其价格分别为A型每台6000元，B型每台4000元，C型每台2500元．我市东坡中学计划将100500元钱全部用于从该电脑公司购进其中两种不同型号的电脑共36台，请你设计出几种不同的购买方案供该校选择，并说明理由． (黄冈市中考题) 10．若x、y满足 11．已知 (重庆市竞赛题) 12．如图， 13．甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇．相遇后，甲、乙步行速度都提高了 ( “希望杯”邀请赛试题) 14，已知m2+2mn＝384，3mn+2n2＝560，则 A．2001 B． (太原市竞赛题) 15．在一家三口人中，每两人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到47、61、60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是( )． A．28 B． 16．买20枝铅笔、3块橡皮擦、2本日记本需32元；买39枝铅笔，5块橡皮擦、3本日记本需58元；则买5枝铅笔、5块橡皮擦、5本日记本需( )． A．20元 B。25元 C，30元 D．35元 (江苏省竞赛题) 17．如图，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，求图中阴影部分面积． 18．知识链接 GDP是按市场价格计算的国内生产总值的简称． 百分点是百分比中相当于1％的单位，这是用“和”或“差”分析不问时期百分比的一种表示形式．如工业总产值今年的增长幅度为19％(也可以说成增长了19个百分点)，去年的增长幅度为16％，今年比去年的增长幅度增加了(19一16=3)3个百分点而不能说成增加了3％． 国债投资指国家发行长期建设国债的投资．它已成为经济稳定快速增长的助推器，据测算：每a元钱的国债投资带动的投资总额可以达到 问题思考 2000年国债投资带动GDP增长1．7个百分点，创造了120万个就业岗位；2002年国债投资1500亿元，创造了150万个就业岗位；从2000年到2002年的三年里，由于国债投资带动GDP增长而总共创造了400万个就业岗位．已知2000年与2002年由国债投资带动GDP增长百分点的和，比2001年由国债投资带动GDP增长百分点的两倍还多0.1． (1)若由国债投资带动的投资总额的40％将会转成劳务工资成为城乡居民的收入，请你估计2002年由国债投资带来的城乡居民收入的情况(数额范围)； (2)若每年GDP增长1．?个百分点就会创造120万个就业岗位．再每增加一个百分点就创造土万个就业岗位。请你确定比例系数女的值，并测算2002年由国债投资带动GDP增长了多少个百分点． (宜昌市试题) 19．某班参加一次智力竞赛．共a、b、c三题．每题或者得满分或者得0分，其中题a满分20分，题b、题c满分分别为25分．竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1人，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29人；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25人；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20，问这个班的平均成绩是多少分? (全国初中数学联赛题) 20．团体购买公园门票，票价如下：
今有甲、乙两个旅游团，若分别购票，两团总计应付门票费1314元，若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费1008元，问这两个旅游团各有多少人? (北京市竞赛题) 21．某城市有一段马路需要整修，这段马路的长不超过 (江苏省竞赛题) 22．有三种物品，每件的价格分别是2元、4元和6元，现在用60元买这三种物品，总数共买16件，而钱要恰好用完，则价格为6元的物品最多买几件?价格为2元的物品最少买几件? (河南省竞赛题) 参考答案 |
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