中考压轴题汇编——函数与方程综合的压轴题

中考压轴题汇编（二）

——函数与方程综合的压轴题

1.已知抛物线y＝－x²＋mx－m＋2.  

（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝ ，试求m

 　　的值；

（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

M

N

C

x

y

O

[解]（1）设点Ａ（x₁，0）,B(x₂，0)  .

则x₁ ，x₂是方程 x²－mx＋m－2＝0的两根.

∵x₁  ＋ x₂ ＝m ，　x₁·x₂ =m－2 ＜0 即m＜2

又AB＝∣x_{1 －} x₂∣＝  

∴m²－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),   ∴m的值为1.

（2）设M(a，b)，则N(－a，－b)   .                                     

∵M、N是抛物线上的两点,

∴  

①＋②得：－2a²－2m＋4＝0 .  ∴a²＝－m＋2.

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.   ∴ .

这时M、N到y轴的距离均为 ,

又点C坐标为（0，2－m）,而S_{△M N C} = 27 ,

∴2× ×（2－m）× =27.

∴解得m=－7 .

2.已知二次函数 ( 为常数，△= )的图象与 轴相交于A ，B 两点，且A，B两点间的距离为 ，例如，通过研究其中一个函数 及图象(如图)，可得出表中第2行的相交数据。

			△
	－5	6	1	2	3	1
	－
		－2		－2		3

                    

（1）在表内的空格中填上正确的数；

（2）根据上述表内d与△的值，猜想它们之间有什么关系？再举一个符合条件的二次函数，验证你的猜想；

（3）对于函数 ( 为常数，△= )证明你的猜想

[解] （1）第一行  ；

          第三行  ，△=9， ；

     （2）猜想： △

      例如： 中； ；由 得

，∴ △

     （3）证明。令 ，得 ，∵△>0

         设 的两根为 ，

         则 + ，

          

               

3.已知：二次函数 图象的顶点在x轴上．

（1）试判断这个二次函数图象的开口方向，并说明你的理由；

（2）求证：函数 的图象与x轴必有两个不同的交点；

（3）如果函数 的图象与x轴相交于点A（x₁，0）、B（x₂，0），与y轴相交于点C，且△ABC的面积等于2．求这个函数的解析式．

[解] （1）∵二次函数 图象的顶点在x轴上，

∴ ， ．

∴ ．

又∵ ，∴ ．

∴这个函数图象的开口方向向上．

（另解：∵这个二次函数图象的顶点在x轴上，且与y轴的正半轴相交，

∴这个函数图象的开口方向向上．

（2）∵ ，∴这个函数是二次函数．

．

∵ ，∴ ， ．    ∴Δ>0．

∴函数 的图象与x轴必有两个不同的交点．

（3）由题意，得 ， ．

∵ ，∴ ．

而 ，点C的坐标为（0，-1）．

∴ ．

∴ ．

∴ ．

∴ ．   ∴ ．   ∴所求的函数解析式为 ．

4.已知二次函数 .

（1）若a =2，c = -3，且二次函数的图像经过点（-1，-2），求b的值；

（2）若a =2，b + c = -2，b > c，且二次函数的图像经过点（p , -2），求证：b≥0；

（3）若a + b + c = 0，a > b > c，且二次函数的图像经过点（q , - a），试问当自变量x = q +4时，二次函数 所对应的函数值y是否大于0？请证明你的结论.

[解]（1）当a = 2，c = -3时，二次函数为 ，

∵该函数的图像经过点（-1，-2），

∴ ，解得b=1.

（2）当a = 2，b + c = -2时，二次函数为

∵该函数的图像经过点（p，-2），

∴ ，即

于是，p为方程 的根，

∴判别式△=

又∵b + c = -2，b > c，

∴b > -b -2，即b > -1，有b + 8 > 0     ∴ .

（3）∵二次函数 的图像经过点（q，-a）,

∴ .    ∴q为方程 的根，

于是，判别式△=

又∵     ∴△=

又 ， 且a > b > c，知a > 0，c < 0    ∴3a -c > 0     ∴

∴q为方程 的根，  ∴ 或 .

当 时，

若 ，则 .

∵a > b ≥ 0，

∴ ，即 ，

∴

若 ，则 .

∴当 时，二次函数 所对应的函数值大于0.

5.已知：如图，A（0,1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE＝∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C.

(1)当B点的横坐标为 时，求线段AC的长；

(2)当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；

(3)设过点P（0，-1）的直线l与(2)中所求函数的图象有两个公共点M₁(x₁，y₁)、M₂(x₂，y₂)，且x₁²+x₂²－6(x₁+x₂)=8，求直线l的解析式．

[解] (1)方法一：在Rt△AOB中，可求得AB＝

∵∠OAB＝∠BAC，∠AOB＝∠ABC=Rt∠，

∴△ABO∽△ABC，∴ ，由此可求得：AC＝

y

A

O

B

x

C

D

G

H

 方法二：由题意知：tan∠OAB=

  

 (2)方法一：当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC＝AD，BD＝

  ∵AO⊥OB，AB⊥BD，∴△ABO∽△BDO，则OB²＝AO×OD，即

化简得：y= ，当O、B、C三点重合时，y=x=0，∴y与x的函数关系式为：y=

方法二：过点C作CG⊥x轴，交AB的延长线于点H，则AC²＝(1－y)²+x²=(1+y)²，化简即可得。

(3)设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得： ，消去y得：x²-4kx-4b=0，则有 ，由题设知：

x₁²+x₂²-6(x₁+x₂)=8，即(4k)²+8b-24k=8，且b=-1，则16k²-24k -16=0，解之得：k₁=2，k₂= ，当k₁=2、b=-1时，

△＝16k²+16b=64-16>0，符合题意；当k₂= ，b=-1时，△＝16k²+16b=4-16<0，不合题意（舍去），

∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1

6. 已知抛物线y =x²+mx-2m²(m≠0)．

   (1)求证：该抛物线与x轴有两个不同的交点；

   (2)过点P(0，n)作y轴的垂线交该抛物线于点A和点B(点A在点P的左边)，是

   否存在实数m、n，使得AP=2PB?若存在，则求出m、n满足的条件；若不存在，请说明理由．

[解] （1）△

            ∵    ∴△

            ∴该抛物线与 轴有两个不同的交点。

       （2）由题意易知点 、 的坐标满足方程：

，即

由于方程有两个不相等的实数根，因此△ ，即

………………….①

由求根公式可知两根为：

，

∴

 

分两种情况讨论：

第一种：点 在点 左边，点 在点 的右边

∵      ∴

∴ ……………….②

∴ ……………………….③

由②式可解得 

…………………………..④

 

第二种：点 、 都在点 左边

∵

∴

∴ ……………….⑤

∴ ……………………….⑥

由⑤式可解得

……….⑦

 

综合①③④⑥⑦可知，满足条件的点 存在，此时 、 应满足条件：

， 或 。