数学问答65——数形结合法

二次函数——数形结合法

      这是小赖赖问的“关于二次函数”的问题，典型的 “数形结合法”应用题。解不出——说明审题不仔细，即没有解读出“题目中隐含的条件”！

[问题]已知：抛物线Y=ax²+bx+c经过点(-1，1)，且对任意的实数x，有 4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立． (1)求 4a+2b+c的值．     (2)求Y=ax²+bx+c的解析式．     (3)设点M(x，y)是抛物线上任一点，

点B(0，2)，求线段MB的长度的最小值．

分析：1°本题明了的条件只有一个：

抛物线Y=ax²+bx+c经过点(-1，1)，则a－2b+c＝1。①式

觉得这题有困难，就在于怎么理解下一句话：

且对任意的实数x，有 4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．②式

2°如果从图像上理解：Y=ax²+bx+c的图像夹在：

Y=4x-4，与Y=2x²-4x+4的图像之间（想象一下）。

否则不可能有实数x满足②式。

再画Y=4x-4与Y=2x²-4x+4的图像，答案马上就出来了。

现在给一个图，问题就简单了。

 

3°从图像中可以看到：Y=4x-4与Y=2x²-4x+4

由4x-4≤2x²-4x+4 →（x-2）²≥0 可知：

Y=4x-4与Y=2x²-4x+4相切于点（2，4），

即：Y=ax²+bx+c的图像过点（2，4），

显然，4a+2b+c＝4 。③式

4°下面来求a、b、c的值。

首先：a－2b+c＝1。①式   4a+2b+c＝4 。③式

有： b＝1 －a    c＝2－2a

其次：∵Y=4x-4与Y=ax²+bx+c相切，

方法一：代入： 4x-4 +bx+c，⊿＝0，

得到：a＝1， b＝c＝0

即：Y=ax²+bx+c＝x²           ④式

方法二：求导（略）

5°最后一问就没有什么讲解的价值了。

设点M(x，y)是抛物线上任一点，点B(0，2)，求线段MB的长度的最小值．

即求：MB²＝x²＋（x²－2）²     的最小值。