2014中考数学探索性问题的题型及解法分析

2014中考数学探索性问题的题型及解法分析

探索性问题是指那些条件不完整，结论不确定的数学问题。这类问题重在开发思维，促进创新，提高数学素养，对学生分析问题和解决问题的能力要求比较高，考查学生的发散思维，逆向思维，观察，比较，分析，综合等能力，是中考的热点题型。不少学生对此感到无从下手。本文结合2013年广东省部分省市中考题对此类问题进行分析，并说明这类问题的一般方法和思路。

一、   由给定条件，寻找相应的结论

例1、(2013湛江)阅读下面的材料，先完成阅读填空，再将要求答题：

，则            ；   ①   

，则            ； ②

则            ． ③

……

观察上述等式，猜想：对任意锐角 ，都有    1    ．④

（１）如图，在锐角三角形 中，利用三角函数的定义及勾股定理

对 证明你的猜想；

（２）已知： 为锐角 且 ，求 ．

（１）证明：过点 作 于 ，在 △ 中， ，

由勾股定理得， ，

（２）略

说明：此题属于给定条件，寻找结论的探索性问题，其思路一般是：从给定条件出发，然后对猜想结论进行证明。

例2（2013?佛山）我们知道，矩形是特殊的平行四边形，所以矩形除了具备平行四边形的一切性质还有其特殊的性质；同样，黄金矩形是特殊的矩形，因此黄金矩形有与一般矩形不一样的知识．

已知平行四边形ABCD，∠A=60°，AB= 2a，AD=a．

（1）把所给的平行四边形ABCD用两种方式分割并作说明（见题答卡表格里的示例）；要求：用直线段分割，分割成的图形是学习过的特殊图形且不超出四个．

分割图形		分割或图形说明
示例：		示例： ①分割成两个菱形． ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．
分析：	（1）方案一：分割成两个等腰梯形； 方案二：分割成一个等边三角形、一个等腰三角形和一个直角三角形；
解答：	解：（1）在表格中作答： 分割图形       分割或图形说明 示例：   示例： ①分割成两个菱形． ②两个菱形的边长都为a，锐角都为60°．   ①分割成两两个等腰梯形． ②两个等腰梯形的腰长都为a， 上底长都为，下底长都为a， 上底角都为120°，下底角都为60°．   ①分割成一个等边三角形、一个等腰三角形、一个直角三角形． ②等边三角形的边长为a， 等腰三角形的腰长为a，顶角为120°． 直角三角形两锐角为30°、60°，三边为a、 a、2a．

点评：本题考查了四边形（平行四边形、等腰梯形、菱形、矩形）、三角形（等边三角形、等腰三角形、直角三角形）的图形与性质．第（1）问侧重考查了几何图形的分割、剪拼、动手操作能力和空间想象能力。这类题的答案不一定是唯一的，除了上述两种方案外，还有分别作DE⊥AB,BF⊥CD分割成两个直角三角形和一个矩形。一般情况下，只要“答案”由题设条件可以得到的，便认为是正确的。

二、由给定题断反寻应具备的条件

例3（2013,深圳）.如图7-1，直线AB过点A（ ，0），B（0， ），且 （其中 >0， >0）。

（1） 为何值时，△OAB面积最大？最大值是多少？

（2）如图7-2，在（1）的条件下，函数的图像与直线AB相交于C、D两点，若 ，求的值。

 

分析：（1）

∴当m=10时，面积最大，最大为50.

（2）由（1）可知m=n=10,直线AB: ，

由对称性

因此

 

∴

例4（2013?珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把分别标有数字 、 、 、 、 的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、

（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；

（2）当B袋中标有 的小球上的数字变为　_________　时（填写所有结果），（1）中的概率为

解：（1）画树状图得：

 

∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，

∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ；

（2）∵当B袋中标有 的小球上的数字变为 、 、 、 时（填写所有结果），

∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，

∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为： = ．

故答案为： 、 、 、 ．

说明：从例3，例4可以看到，对于给定题断反寻应具备的条件这类探索性问题的解法思路是：从所给题断出发，由特殊到一般，经过计算推证出应具备的条件。

三、   存在性问题

例5、（2013年广东省）已知二次函数 .

（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；

（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；

（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由。

 

P

 

解：（1）(1)m=±1,二次函数关系式为；

（2）当m=2时，，∴D(2,－1);当 时，，∴C(0,3).

(3)存在.连结C、D交轴于点P,则点P为所求,由C(0,3)、D(2,－1)求得直线CD为当 时, ,∴P( ,0).

例6、(2013湛江)如图，在平面直角坐标系中，顶点为 的抛物线交 

轴与 点，交 轴与 两点（点 在点 的左侧），

已知 点坐标为 ．

（１）求此抛物线的解析式；

（２）过点 作线段 的垂线交抛物线与点 ，如果以

点 为圆心的圆与直线 相切，请判断抛物线的对称轴

与⊙ 的位置关系，并给出证明．

（３）在抛物线上是否存在一点 ，使 是以 为直角边的直角三角形．若存在，求点 的坐标；

若不存在，请说明理由．

解：（１）由题意可设此抛物线的解析式为：

此抛物线过点   ，

此抛物线的解析式为： ，即

（２）此时抛物线的对称轴与⊙ 相离。

证明：令 ，即 ，得 或 ，

设直线 的解析式为： ，则 ，

直线 与直线 垂直， 直线 可表示为： ，

， ， 直线 为：

点 到直线 的距离为：

点 为圆心的圆与直线 相切， ⊙ 的半径为：

又点 到抛物线对称轴的距离为：    而 ，。所以此时抛物线的对称轴与⊙ 相离。

（３）假设存在满足条件 的点 ，，

，

 

 

①        当 时，在 中，由勾股定理，得

②        ，整理，得

点 在抛物线 上， ，

，解得 或 ， 或

  点 为 或 （舍去）

③        当 时，在 中，由勾股定理，得

，整理，得

点 在抛物线 上， ，

，解得 或 ， 或

  点 为 或 （舍去）

综上，满足条件的点 的坐标为 或

说明:从例5，例6可以看到，存在性这类探索性问题的解题思路，一般是：先假设结论某一方面成立，进行演算推理，若推出矛盾，即否定先前假设；若推出合理的结果，说明假设正确。