中考压轴题分析——矩形的存在性

平行四边形的介绍过了，接下来就是矩形了。

矩形的问题怎么解决呢？

其实，矩形可以看出两个直角三角形组成的。

怎么说呢？

在此基础上面构造一个平行四边形即可，如下图：

那么直角三角形有哪些性质可以利用呢？

①角度的关系，一个直角或两个锐角互余；

③三边平方的等量关系（勾股定理）；

③斜边中线等于斜边的一半。

利用以上几点可以解决需要的问题。

【中考真题】

（2019·南充）如图，抛物线y＝ax²+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（﹣3，0），且OB＝OC．

（3）抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m+4．点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E．

②点D关于点E的对称点为F，当m为何值时，四边形MDNF为矩形．

【分析】

本题中M和N都是动点，D的位置也不好确定，这是一个难点。

按照前文的思路，我们只需要确定△MND为直角三角形，且D为直角顶点即可。

在这里利用边与角感觉都不是特别方便。所以优先考虑斜边中线等于斜边的一半，那么点D一定是MN的中间且横坐标是他们和的一半（与它们中点在同一竖直线上，可以平分）。

然后再利用线段倍半关系即可。

备注：一边中线等于该边长一半的三角形是直角三角形。（斜边中线性质的逆定理）

有了直角，还可以想到构造三垂直，大家或许也可以尝试一下。

当然，如果直接利用勾股定理的逆定理，想想运算都比较麻烦，不知道大家还有其它思路吗？

【答案】

解：抛物线解析式为

y＝﹣（x+1）（x+3）＝﹣x²﹣4x﹣3

②如图3，∵D、F关于点E对称

∴DE＝EF

∵四边形MDNF是矩形

∴MN＝DF，且MN与DF互相平分

∴DE=1/2MN，E为MN中点

∴xD＝xE=(m+m+4)/2=m+2

由①得当d＝m+2时，DE＝4

∴MN＝2DE＝8

∴（m+4﹣m）2+[﹣m2﹣12m﹣35﹣（﹣m2﹣4m﹣3）]2＝82

解得：m1＝﹣4-√3/2，m2＝﹣4+√3/2

∴m的值为﹣4-√3/2或﹣4+√3/2时，四边形MDNF为矩形．