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魏尔斯特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstrass，1815 -1897）被誉为“现代分析之父”。大学毕业后他在两处偏僻的地方中学度过了包括30岁到40岁的这段数学家的黄金岁月。他在中学不光是教数学，还教物理、德文、地理甚至体育和书法课，当时工资很低，连投稿的邮费都没有。但魏尔斯特拉斯以惊人的毅力，过着一种双重的生活。他白天教课，晚上攻读研究数学家著作，并写了许多论文。其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物“教学简介”上，但正如瑞典数学家米.列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文”。 不过魏尔斯特拉斯这一段时间的业余研究，却奠定了他一生数学创造的基础。这一段当时看起来默默无闻的生活，其实蕴含着巨大的力量——他不仅是一位伟大的数学家，而且是一位杰出的教育家！他是如此热爱教育事业，培养出了一大批有成就的数学人才，即便是在这偏僻的中学当数学老师的时候，他为了能够让自己的学生们更好地理解微积分中最重要的极限概念，而改变了柯西等人当时对极限的定义（高中描述版的），创造了著名的、直到今天大学数学分析教科书中一直沿用的极限的ε-δ定义，以及完整的一套类似的表示法，使得数学分析的叙述终于达到了真正的精确化。一直到1853年，魏尔斯特拉斯将一篇关于阿贝尔函数的论文寄给了德国数学家克雷尔主办的《纯粹与应用数学杂志》【1】，让他的声誉传到欧洲数学界。克雷尔接受了魏尔斯特拉斯的论文并在第二年就发表出来，随即引起了轰动。哥尼斯堡大学一位数学教授亲自到魏尔斯特拉斯当时任教的布伦斯堡中学向他颁发了哥尼斯堡大学博士学位证书。普鲁士教育部宣布晋升魏尔斯特拉斯，并给了他一年假期带职从事研究。从此之后，也就是他当了十几年中学教师后，魏尔斯特拉斯被任命为柏林工业大学数学教授，同年被选进柏林科学院，他后来又转到柏林大学任教授直到去世。魏尔斯特拉斯很少正式发表自己的研究成果，他的许多思想和方法主要是通过他在柏林工业大学和柏林大学的课堂讲授而传播的，其中有一些后来由他的学生整理发表出来。他高尚的风范和精湛的教学艺术是永远值得全世界数学教师学习的光辉典范。 微积分的诞生（Newton和Leibniz的首创脱颖而出），创造性地把数学推到了一个崭新的高度，它宣告了古典数学的基本结束，同时标志着以变量为研究主体的近代数学的开始。通过微积分的发明，人们找到了数学的新的福地，整个十七、十八世纪，几乎所有的欧洲数学家都对微积分表现出极大的兴趣。对传统的批判，对新方法的追求，对新领域的拓展，使他们共同谱写了一曲数学史上的“英雄交响曲”！欧拉形式化的方法的真正贡献是把微积分从几何中解放出来，而使它建立在算术和代数的基础上。这一步至少为基于实数系统的微积分的根本论证开辟了道路。但是，对这种形式主义的做法，仍有人表示忧虑。1743年d’Alembert说，“直到现在，表现出更多关心的是去扩大建筑，而不是在入口处张灯结彩；是把房子盖的更高些，而不是给基础补充适当的强度。”Lagrange也决心给微积分提供全部的严密性，Lagrange致力于寻找一个简单的代数方法。在1759年，他似乎满足地认为已找到这个方法，因为在那一年，他写信给欧拉说，他相信已研究出力学和微分学原理尽可能深的真正理论基础。遗憾的是Lagrange的工作纯粹是形式的，他用符号表达式来进行计算，不涉及极限、导数、连续、积分等根本性的概念。Weierstrass以ε-δ语言，系统建立了实分析和复分析的基础，基本上完成了分析的算术化，他把这座闻名于世的科学大厦打入了强有力的钢筋和混凝土。 希尔伯特对他的评价是：“魏尔斯特拉斯以其酷爱批判的精神和深邃的洞察力，为数学分析建立了坚实的基础。通过澄清极小、极大、函数、导数等概念，他排除了在微积分中仍在出现的各种错误提法，扫清了关于无穷大、无穷小等各种混乱观念，决定性地克服了源于无穷大、无穷小朦胧思想的困难。今天，分析学能达到这样和谐可靠和完美的程度本质上应归功于魏尔斯特拉斯的科学活动”。 克莱因在比较魏尔斯特拉斯与黎曼时说：“黎曼具有非凡的直观能力，他的理解天才胜过所有时代的数学家。魏尔斯特拉斯主要是一位逻辑学者，他缓慢的、系统的逐步前进。在他工作的分支中，他力图达到确定的形式。” 庞加莱评价时写到：“黎曼的方法首先是一种发现方法，而魏尔斯特拉斯的则首先是一种证明的方法。” 1900年，在巴黎举行的第二届国际数学大会上，庞加莱不无自豪的赞叹到：“今天在分析中，如果我们不厌其烦地严格的话，就会发现只有三段论或归结于纯数的直觉是不可能欺骗我们的。今天我们可以宣称绝对的严密已经实现了。” 【1】克雷尔的杂志素以向有创造力的年青数学家开放而著称。阿贝尔的论文在受到柯西等名家冷落的情况下却被克雷尔杂志在1827年刊登出来；雅可比的“椭圆函数论”论文、格林的“位势论”论文、维尔斯特拉斯的阿贝尔函数等数学史上的重要文献，也都是在别处得不到发表而在克雷尔的帮助下用他的杂志发表的。 【2】数学史上称黎曼为“直观主义者”典型代表，维尔斯特拉斯为“逻辑主义者”典型代表。 |
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