魏尔斯特拉斯——现代分析学之父

一

19世纪，在数学界，有三件事极大的推进了数学的发展。在30年代，罗巴切夫斯基和鲍耶挣脱欧几里得几何的束缚，创造了和它同样相容的几何——非欧几何。欧几里得几何中的一些公式和定理将不再适应，从而扩展了几何的发展。

几乎同时，代数学也发生了类似的革命。以伽罗瓦、哈密顿、格拉斯曼和凯莱为代表的数学家们创立了新的代数。普通代数里的某些公理在那里不再适用。它为群、环、域、布尔代数、约当代数和李代数等抽象代数的创立开辟道路。第三个具有重大意义的事件是分析的算术化。

微积分自牛顿、莱布尼兹创立以来，获得空前的发展。但是，它的许多概念还是含混不清的，它的基础仍旧薄弱。达朗贝尔首先察觉到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在《解析函数论》中作了有益的尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严密性提出更高的要求；最后是柯西把问题大大推进。他的极限理论对分析的发展和级数敛散性的判别都是必不可少的。但是，使数学家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础的，是由于德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯在1874年发表的一个和直观相悖的惊人发现：一条连续曲线却处处没有切线!换句话说就是一条处处连续却处处不可导的函数。

二

卡尔·魏尔斯特拉斯(Weierstrass，KarlWilhelm)是德国数学史上一位伟大的数学家。1815年10月31日生于德国威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。

魏尔斯特拉斯是一位海关官员之子，其一家人都是虔诚的罗马天主教徒。他青年时代就已显示出对语言学和数学的才华，他在中学期间，每门课程的成绩都十分优异，有一年他获得了7项奖，他通常是德文第一名，并获得过拉丁文和希腊文及数学这三门课的第一名。他特别喜欢数学，但1834年他上完中学后，其父却把他送到波恩大学学习法律和财政学，由于他不喜欢法律和财政学，因而精神委顿，把时间消磨在击剑和饮酒中，4年后未得学位返家，使他的父亲勃然大怒，呵斥他是一个“从躯壳到灵魂都患病的人”。另一方面，像阿贝尔和其他许多第一流的数学家一样，魏尔斯特拉斯在他击剑和饮酒的间歇时间去拜访大师们：他曾醉心于拉普拉斯的天体力学，从而为他终生感兴趣的力学和联立微分方程组奠定了基础。

后来经过朋友的建议，1839年为取得中学教师资格，魏尔斯特拉斯进入闵斯特学院。他在这段学习中上了克里斯托夫·古德曼（Christoph Gudermann）的课，对椭圆函数萌生兴趣。

一块天然的璞玉只有经过精心雕琢才能成为璀璨夺目的瑰宝。魏尔斯特拉斯事业的真正转机是遇到一位不可多得的良师——克里斯托夫·古德尔曼。克里斯托夫·古德尔曼一生都在研究幂级数，而这正是魏尔斯特拉斯的解析函数论的理论基础。

1841年，也就是在中学试教一年以后，魏尔斯特拉斯为取得教师正式证书要在半年内写出三篇规定的论文；论文通过以后，再接受面试。

魏尔斯特拉斯提交的论文中有一篇是对中学教学中一问一答式的苏格拉底教授法的总结。后来，魏尔斯特拉斯遵循这种方法取得巨大成功，成为全世界高等学府中最优秀的数学教师。

最值得注意的是另一篇论文。这是古德尔曼给魏尔斯特拉斯出的一个真正的数学难题：把椭圆函数表示成幂级数。这无疑是教师合格考试史上最艰深的问题。但魏尔斯特拉斯还是做到了。

古德尔曼在叙述了魏尔斯特位斯所取得的成果以后指出，从工作的开创性和某些结果的戏剧性可以充分看出作者的数学天才，“只要不被浪费，他必定会对科学的发展作出贡献。为了作者，也为了科学，不要让他去当中学教师而让他在大学中任教，那里的良好条件将使这一点成为可能……该考生将根据天赋的权利而跻身于著名发明家的行列。”

古德尔曼为了强调，特地在有的句子下面划上一道粗粗的横线。这样一份热情的评语本来可以改变魏尔斯特拉斯的生活进程。可惜，它在正式报告中竟被人莫名其妙地删掉了！这样，魏尔斯特拉斯通过考试，除了一张中学教师合格证，什么也没有得到。26岁的魏尔斯特拉斯从此开始长达15年的中学教书生涯，其中包括30岁到40岁这一段通常被认为是科学发明创造的黄金岁月。上帝也许只是给魏尔斯特拉斯开了一个玩笑，或者是一个考验，幸而，他没有让上帝失望。

三

1842年，魏尔斯特拉斯到西普鲁士一个偏僻小村的一所大学预科学校预备班任数学和物理课的助理教师，不久晋升为正式教师。魏尔斯特拉斯工作热情，才华横溢，深受老校长的器重。除了数学和物理，他还要教德文、地理和写字。过了3年，学校又给这个精力充沛的小伙子加上一份工作：教体操。

工作繁重，条件艰苦，但这些并没有浇灭魏尔斯特拉斯对数学的热情之火。他白天认真完成本职工作，晚上就刻苦钻研数学。某夜，由于研究一个数学问题，竟不知道已经天明，知道校长到寝室来查看他为什么没有上8点钟的课时，他才幡然醒悟。请求校长谅解。虽然他废寝忘食地研究，写出过不少数学论文，其中有少数发表在当时德国中学发行的一种不定期刊物《教学简介》上，但由于只是一位中学教师而未受到科学界的重视，正如后来瑞典数学家米塔—列夫勒所说的那样：“没有人会到中学的教学简介中去寻找有划时代意义的数学论文。”但是付出总有回报，是金子总会发光的。

经过近10年的潜心准备，他决定对阿贝尔函数发起总攻了。1853年，一篇关于阿贝尔函数的划时代的论文完成了！魏尔斯特拉斯以自己独特的思想和方法完备、改写和美化了椭圆函数理论，从而使他和柯西、黎曼一起成为函数论的主要奠基者。当然这些都是后话了。也许是冥冥中注定，他同样和阿贝尔一样，将论文寄给了柏林的《克列尔杂志》，使得《克列尔杂志》又将数学在其历史发展中推进了一大步。

论文立刻引起巨大的轰动。而这位大器晚成的数学家也终于迎来了自己的春天。刘维尔称它是“科学中划时代工作之一”。柯尼斯堡大学也立即授予他名誉博士学位。1856年被聘为柏林大学助理教授、1864年成为该校教授，这一职位一直保持到1897年去世。他还被选为法国科学院和柏林科学院院士、英国皇家学会会员。

四

魏尔斯特拉斯对数学分析、解析函数论、阿贝尔函数、变分法、代数等做出了重要贡献。他是将分析学置于严密的逻辑基础上的一位大师。

牛顿和莱布尼兹创立的微积分，由于基本的概念，特别是无穷小概念的含糊不清，引起了数学史上的第二次数学危机。之后，经过近一个世纪的尝试和努力，数学家在严格化基础上重建微积分的努力到19世纪初初见成效，在这方面柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期出现的混乱，但他的很多概念都是定性的描述，如他用许多“无限趋近”、“想要多小就多小”等直觉描述的语言，仍然存在漏洞。另外，当时一个普遍错误观念认为凡是连续函数都是可微的。事实上，波尔查诺、黎曼和克莱罗已经给出过反例，但没有引起数学界的重视。而魏尔斯特拉斯以“分析的算术化”为口号，严谨，力求避免直观，把分析奠基在算术概念的基础上。他认为实数赋予了极限和连续性等概念，是全部分析的本源。为此魏尔斯特拉斯将实数严格定义，大意是先从自然数出发定义有理数，再通过无穷多个有理数集合来定义实数。他给出了现如今微积分教材中的极限定义和函数在一点连续的定义，从而把之前莱布尼兹和柯西的不明确提法给予精确形式的描述。他运用波尔查诺在证明“有界实数集存在上确界”时所采用的区间套方法，证明了“有界无限点集必有聚点”。他陈述了闭区间上连续函数必定达到其上确界和下确界的性质。他在幂级数的基础上建立解析函数的理论和解析延拓的方法，提出了级数理论中关于一致收敛的概念及其判别准则。

特别地，1872年7月18日，魏尔斯特拉斯在柏林科学院的一次演讲中，给出了一个处处连续但处处不可导的“病态函数”的例子，使数学界大为震惊。因为高斯曾经说过“数学是眼睛的科学”，但靠眼睛根本不能看清魏尔斯特拉斯给出的函数曲线，因此魏尔斯特拉斯的例子迫使人们感到要彻底摆脱对几何直觉的依赖，重新认识到考察分析基础的必要性。

结 语

有人说一个人常年从事初等教育工作还能保持数学的活力吗？魏尔斯特拉斯交上了一份完美的答卷，从初中时对数学产生了兴趣，只身一人在偏僻的乡村任教，却从未失去对数学的热枕。

1897年2月19日，一代分析大师魏尔斯特拉斯平静地在柏林的寓所停止了呼吸。他的最后愿望是，只要神父做一次合乎惯例的祈祷，不要在葬礼上为他歌功颂德。