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四、装糊涂的数学家 要说数学史上谁最牛，当然是牛顿爵爷，要不是看阿基米德年高德劭，爵爷肯定是排名第一的数学家，爵爷为了研究物理方便就创造出来了微积分。  在爵爷之前，人们只知道平均速度，就是v=s/t，可光知道平均速度是没有用的，要想研究运动和力，还必须得知道瞬时速度，可瞬时速度怎么求呢？爵爷就想出了一个办法，那就是在非常短的时间内物体移动的距离，用公式表示就是这样。  这个都很熟悉吧，其实就是一个物体从空中落下在t时间时的瞬时速度。 牛顿认为△t非常小的时候，那么就可以忽略到舍去的地步了，这样的话，瞬时速度  这就是我们平时所用的速度公式。 牛顿爵爷就是这么牛。 可是问题还是存在的，多么小的量才可以舍去呀，只有零呀，否则再小也有一点呀，既然牛顿爵爷舍去了，那就是说△t=0，可是在前面还有v=△s/△t呢，要是△t=0的话，那就不能做除数呢，这可是小学生都懂的道理呀，作为一代天骄的爵爷怎么会不知道呢？爵爷当然知道，既然知道怎么还这么做呢？只能说爵爷在装糊涂。 作为一个伟大的数学家，怎么可能装糊涂呢？难道大家都不看不出来吗？大家都看得出来，可是大家都在和爵爷一起装糊涂。 这其中就包括莱布尼茨。  莱布尼茨也是天才一枚呀。他本来学的是法律，毕业后在处理法律和外交问题的时候，闲得无聊就和数学家们聊天，这一聊就把自己聊成了数学家。 他也独立创造出来了微积分，而且还和爵爷抢微积分的发明权，他肯定也知道爵爷的这个问题，可是他没有说话，只能说他也在装糊涂，否则他还不把爵爷怼出翔来。 约翰.伯努利是莱布尼茨的弟子，也是反对牛顿的急先锋，他也不可能看不出来，只能说他也在装糊涂，欧拉是伯努利的学生，莱布尼茨的徒孙，可以说微积分大部分工作都是在欧拉手上完善的，可是他也没有说话，否则他也不会在错误的基础上奋斗一声，只能说他也在装糊涂。 对于这个问题，大家都在装糊涂，都有意无意地装做没看见，可是有人看见了，并且提出了质疑，这个人就是贝克莱大主教。  五．第二次数学危机 看到大主教，是不是觉得有些奇怪，作为主教，好好地宣扬上帝福音不就行了，掺和什么数学呀，这就错了呀。历史上推动科学发展的有很多都是宗教人士。 伟大的哥白尼就是教士，伽利略和教皇关系非常好，至于爵爷牛顿，他本来就是神学家，数学了物理了都是他的业余爱好，还有第一个对牛顿力学提出质疑的本利特也是一位神父，当然了这不是说宗教对科学有促进作用，而是不相信宗教的话根本就没有机会获得良好的教育，连接受教育的机会都没有还谈什么科学突破呀。 贝克莱大主教也是一样，他不但是主教还是英国著名的哲学家，“存在就是被感知”这句话就是他说的。 1734年，大主教写出了《分析学家》一文，锋芒指向了牛顿。“这些流数到底是什么？逐渐消失的增量速度有多么大？这些相同的逐渐消失的增量是什么？它们既不是有限的量，也不是无穷小的量，更不是零。难道我们不能把他们称为消失的量的鬼魂吗？”这简直就是对牛顿的拷问呀。 主教也没有放过莱布尼茨，他认为承认一个无穷小量的概念超出了“我的能力”，接受像dx这样无穷小量的无穷小部分“对任何人来说都是无限困难的”。 这就是第二次数学危机。 六、中学老师的解决办法 既然有人捅出来了，那就想法解决吧，要不大家以后还怎么在江湖上混呢？ 可一深入研究，这才知道了当初牛顿莱布尼茨欧拉他们的苦衷，他们真的不是故意装糊涂呀，而是这问题太难了。 先是达朗贝尔铩羽而归，踩着达朗贝尔的肩膀，柯西就冲了下去，可柯西也没有赢，不过也给无穷小这个恶魔造成了很大伤害，基本上血槽快清空了，就差最后一击了。 最后一击由中学教师魏尔斯特拉斯完成了。  和大家比起来，魏尔斯特拉斯就有点凄惨了，别人都是达官贵人，要不是科学院掌门，要不就是大学教授，而他只是一个中学老师。 他父亲本来打算让他考公务员，让他学了法律，结果他对法律没有兴趣，连研究生也没有考上，只好去考了个教师资格证，去当了中学老师，还是偏僻向下的中学老师，人家别人发表论文都是在国际大刊，他只能在类似于《中学生数理化》之类的刊物上发表。 可是金子的光芒是尘埃遮掩不了的，在一份私人刊物上，威尔斯特拉斯发表了一篇论文，这篇论文彻底解决了第二次数学危机。 在论文中，维斯斯特拉斯提出了极限的定义。  咱们用魏尔斯特拉斯的极限理论再看看牛顿当初的问题。 在此之前，先说两个简单的结论，一个是两个相等的函数的极限也相等，还有一个函数和的极限等于函数极限的和，这两个结论比较简单就不多说了。 牛顿的瞬时速度公式是这样的。  现在对两边取极限。  左边就不用看了，本来就是△t接近于零时的速度，看右边吧，前面一部分也不用说，这里面根本就不包含△t，所以还等于他本身就是v0t，看后半部分吧。  这一部分当中，当△t趋近于零的时候，根据维斯斯特拉斯的极限定义，那么就是1/2gt^2，注意不是趋近于了。 这样看的话，牛顿的公式就变成了  这不是和原来一样吗？当然一样，要是不一样的话，那牛顿不就错了吗？牛顿怎么可能错呢。 不过两者还是有一点区别的，牛顿微积分结果虽然正确，但是建立在一个不稳定的基础上，有了魏尔斯特拉斯极限的定义，微积分大厦就不再建立在流沙之上，而是有了坚固的基础。 至此，第二次数学危机完美解决。 说到底，第二次数学危机是对无限的思考，那么我们再回过头来看看第一次数学危机，我们前面说过，第一次数学危机只是逃避了问题，并没有真正解决问题，因为无理数也是一个无限问题，现在解决了无限的问题，那么无理数的问题也就迎刃而解了。 第一次数学危机还有一个副产品就是公理化思想，第二次数学危机的发生就是由于没有坚持公理化思想，在没有建立公理的情况下，就依据物理和几何推导出来了一座微积分大厦，要不是魏尔斯特拉斯力挽狂澜，那么微积分大厦就已经成了一堆碎砖烂瓦。 既然公理化这么重要，数学家就要审视一下以往的数学概念了，就要看看是不是可以从基本的逻辑概念出发推导出整个数学大厦，这就是康托尔的集合论，一时间数学的发展犹如鲜花着锦烈火烹油，大家都沉浸在兴奋之中，可是这一派繁盛景象下却隐藏着更深的危机，这次几乎要毁灭了整个数学。 |
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