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说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）.
答：完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
例11 一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
解：丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要 答：甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.
例12 某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？ 解一：设这项工作的工作量是1. 甲组每人每天能完成 乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答：合作3天能完成这项工作.
解二：甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.
例13 制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？ 解一：仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是
答：丙车间制作了4200个零件.
解二：10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份. 乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知 乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7. 已知
甲、乙工作效率之比是 3∶2= 12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是 2400÷（12- 8） × 7= 4200（个）.
例14 搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
答：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4. 三人共同搬完，需要
60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）. 甲需丙帮助搬运
（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）. 乙需丙帮助搬运
（60- 5× 8）÷4= 5（小时）. 三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同. 例15 甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
甲每分钟注入水量是 乙每分钟注入水量是 因此水池容积是
答：水池容积是27立方米.
例16 有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在
按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
答：开始时打开6根水管.
例17 蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要
、乙、??的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后（20小时），池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能
到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？ 看起来它每小时只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.
因此，答案是28小时，而不是30小时. 例18 一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
解：先计算1个水龙头每分钟放出水量. 2小时半比1小时半多60分钟，多流入水 4 × 60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是 240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米）， 8个水龙头1个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90，
其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要
5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）. 答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
例19 一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 解：设满水池的水量为1. A管每小时排出 A管4小时排出
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是
答： B， C两管齐开要 4 小时 48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数 24.
17世纪英国伟大的科学家牛顿写过一本《普遍算术》一书，书中提出了一个“牛吃草”问题，这是一道饶有趣味的算术题.从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.
例20 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一
草；21头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？ 解：吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12×4. 原有草+9星期新长的草=7×9. 由此可得出，每星期新长的草是 （7×9-12×4）÷（9-4）=3. 那么原有草是
7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是 这些草能让
90×7.2÷18=36（头） 牛吃18个星期.
答：36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？
“牛吃草”这一类型问题可以以各种各样的面目出现.限于篇幅，我们只再举一个例子. 例21 画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？
解：设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位. 从9点至9点9分进入观众是3×9， 从9点至9点5分进入观众是5×5. 因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是 （3×9-5×5）÷（9-5）=0.5. 9点前来的观众是 5×5-0.5×5=22.5. 这些观众来到需要
22.5÷0.5=45（分钟）.
答：第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？
分析: 甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30 2÷(3/10-1/6) =2÷4/30 =15(天)
1÷(1/6-1/15)=10(天)
答:甲单独做要15天,乙单独做要10天 .
.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？
解设:规定时间为X天.(甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天) 1/(X-2)×2 + X/(X+3)=1 X=12
规定要12天完成
1÷[1/(12-2)+1/(12+3)] =1÷(1/6) =6天
答:两人合作完成要6天. 例：一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。甲先做42天，乙做还要几天？ 答：设甲的工效为x,乙的工效为y 63x+28y=1 48x+48y=1 x=1/84 y=1/112
乙还要做（1-42/84）/（1/112）=56（天）
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