数学工程问题再也不用愁

2019-12-04 20:12

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工程问题，是小升初常考的知识点，很多同学遇到类似题目还有些搞不清楚，今天小编将工程问题知识点及经典例题解析整理如下，希望对小升初的同学们有帮助。

修路

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。

一、公式

工作效率(之和)×工作时间=工作量

工作量÷工作时间=工作效率(之和)

工作量÷工作效率(之和)=工作时间

效率之和=单效率1+单效率2+------+效率n

图1

二、用”1“来解答

很多时候我们将工作总量看作"1"，这里的1不是1件也不是具体的1，这个我在牛吃草讲过关于1的概念。完成一半就是二分之一，完成多少就是占总数的多少分之一，这一点要明白。

【例1】：一项工程，由甲队做30天完成，由乙队做20天完成。

（1）两队合做5天可以完成工程的几分之几？

（2）两队合做10天，还剩下工程的几分之几？

（3）两队合做几天完成？

【分析思路】

一项工程我么不知道它是多少，我们只要用1来表示，工作总量很多时候不需要你求出来，它是连接多个问题的关键点。要解答3个问题，都离不开工作效率。

（1）假设总工程是“1 ”，那么甲的效率就是1÷30，乙的工作效率就是1÷20，合作的工作效率就是1÷30+1÷20。

甲乙合作5天工作量就是(1÷30+1÷20)*5=5/12。

（2）要求剩余工程量，用总工程量“1”减去已做工程量

1-(1÷30+1÷20)*10=1/6

（3）要求完成时间，用总工程量“1“÷两队工效的和。

1÷(1÷30+1÷20)=12天

【点评】这是一道的基本题，把工作总量看作单位“1”，用工作总量除以工作效率的和，就可以求出完成这项工程所用的时间。

【例2】：有一件工作，小华做需3天，小芳做需4天，小梅做需5天，如果三人合做，需几天完成？

【分析思路】

把这件工作的具体工作量看作“ 1”，小华单独做这件工作需3天，每天“1”除以三人每天完成的工作量（即工效之和），就得到三人合做需要的时间。

【例3】： 有一项工程，甲队单独做需要10天，甲、乙两队合做需要4天，乙单独做需要几天？

【分析思路】

此题关键是要求出乙的工作效率。由于工作效率之和= 甲的工效+ 乙的工效，所以乙的工效= 工作效率之和- 甲的工效。

【例4】：一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

【分析思路】

必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是60÷12＝560÷10＝6 60÷15＝4

因此余下的工作量由乙丙合做还需要（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

也可以用（1-1/12*2）/（1/10+1/15）

三、用份数解答

【例5】：一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要15天，现甲单独做了3天后，乙再加入一起做，还需要几天完成？

【分析思路】

把这项工程的总量平均分成(12×15)份，从甲乙两人单独完成分别要12、15天，得知甲、乙每天分别完成这一工程的15、12份，每天可以合做(15＋12)份，甲先做了3天，即做了(15×3)份，剩下的是(12×15－15×3)份，乙加入后合做还需的时间：(12×15－15×3)÷(15＋12)＝5(天)

【评点】解答这种应用题时，关键是把甲、乙两人单独做所需时间的乘积看作总份数。

四、用倍数关系解答

【例6】：加工一批零件，师傅单独做14天完成，若师徒二人合做10天，由徒弟一人做需多少天完成？

【分析思路】

师傅做10天+徒弟做10天完成全部工作；师傅做14天(10天+4天)完成全部工作；由此我们看出，师傅4天的工作量=徒弟10天的工作量，即师傅的工作效率是徒弟的2.5倍，所以徒弟单独做需14×2.5=35(天)。

在解答这道题时，利用师傅的工作效率是徒弟的2.5倍，从而简单地求出徒弟单独做所需要的天数。

以上几例，由于采用了一些特殊的方法去分析思考，能化难为易，化繁为简，为工程问题提供了新的解题方法，开拓了学生的解题思路，培养了学生的创造性思维能力。

到这里，大家要明白工程问题是小学应用题中一个重要的类型，重点用到的是分数应用题中的一个重点，也是一个难点，往往这种类型的应用题的数量关系比较隐蔽，有时采用通常的方法解答比较繁杂，如果采用特殊的方法去分析思考，能化难为易。

一般情况下，像这些涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量，探讨它们之间关系的应用题，我们都叫做“工程问题”。有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等。工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

五、两人工作工程问题

【例7】：有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要 8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？

【分析思路】

很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高。因此让李先做甲，张先做乙。

设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份。8天李就能完成甲工作，此时张还余下乙工作（60-4×8）份。

张、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）

这两项工作都完成最少需要=8+4=12（天）。

六、多人合作工程问题

【例8】：搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？

【分析思路】

解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运4.

解：丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.

三人共同搬完，需要60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.

甲需丙帮助搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3（小时）.

乙需丙帮助搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）

七、水管工程问题

【例9】：一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

【分析思路】

注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量=（1×2×15），从而可知：

每小时的排水量= （1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量= 1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为 1×2，所以，2小时内注满一池水

至少需要进水管数量=（15＋1×2）÷（1×2）＝8.5≈9（个）

八、工程类似问题归纳

一：分做合想:1.合想,2.假设法,3.巧抓变化(比例),4.假设法。

二：等量代换：方程组的解法→代入法，加减法。

三：按劳分配思路：每人每天工效→每人工作量→按比例分配

四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。

五：休息与周期：

1.已知条件的顺序：①先工效，再周期，②先周期，再天数。

2.天数：①近似天数，②准确天数。

3.列表确定工作天数。

六：交替与周期：估算周期，注意顺序！

七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。

八：工效变化。

九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想(周期)。

十：牛吃草问题：1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。