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直角坐标上的梯度公式为
这实际上是一个定义式。也就是说梯度就是这么定义来着，不是以其他数学定理为基础推导出来的。而这里就讲一讲梯度的几何意义。 实际上梯度几何意义是很简单的，看一维的情况，它就是一个模为曲线φ(x)上某点处导数的一维向量。那么二维情况时，若以XOY平面为参考面，即
则梯度的几何意义是曲面φ(x,y)上某点处的切平面关于XOY平面的斜率。而三维以上则变得抽象了，但仍可以此类推。事实是否如此？ 一般的教材都是先从方向导数的概念引出梯度。但实际上求梯度，比求方向导数容易，并且通过求梯度再得到方向导数比通过定义求方向导数要容易得多。因为有
这里el是l方向的单位向量。注意方向导数不是向量。 这里关于二维情况作一个讨论。在我的前一篇文章《曲面积分的求法》中指出其过程是： ①先将曲面用垂直于x轴和y轴的平面，将曲面分割成无数片； ②每片曲面用平行四边形近似； ③再根据平行四边形与其对应的XOY平面上的矩形的映射关系，将曲面积分的问题转化为关于平面求积分的问题。
图1 这里求梯度是得到微分方程，但是跟上述步骤是相似的。见图1 通过对曲面的微分和近似，得到了图中所示的平行四边形ABCD，通过平移，把D点移到坐标原点。且映射到XOY平面上的矩形PQRD。这里平面ABCD与平面XOY之间的夹角是锐角。由于微分的任意性，只要我们选取适当的dx和dy可以确保∠BDG等于平面ABCD与平面XOY的夹角。而此时正是∠BDG取得最大值的情况。那么按前面的假设应该有
而正是由于dx和dy的任意性，使得值得难以直观地验证上述关系。而通过方向导数去验证上述关系显然不是想要的，今天我们要另辟新路。 想到平面法向量与平面夹角之间的关系，显然我们可以通过求法向量的方法来解决问题。而平面的法向量的求法，我已在《曲面积分的求法》一文中阐述。 对于图1的这种曲面，曲面方程可表示为
则作辅助函数
于是曲面某点处的法向量为
得到图2所示的结果
图2 于是得到梯度公式
而梯度的模为
这就验证了前述的结论。 当∠BDQ不再等于两平面的夹角时，则BQ/DQ就不再是梯度的模了，只是一个沿着DQ方向的方向导数罢了。从图1可以看出
则有
似曾相识吧，这就是所谓的全微分。这样
而l上的单位向量可表示为
于是
注意以上讨论均在函数可微的前提下，否则一切没有意义。 下面把直角坐标转换为圆柱坐标。应该说换成极坐标时，就图1所示的划分方式不再相同。但是我们可以对图1中的平行四边形进行平移和旋转的处理，使得
根据正交性则有
全部代入直角坐标下的梯度公式中，有
同理，对于球坐标有梯度公式
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