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在物理学的基础课程中，我们讲到，物理量可以分为标量和矢量两种类型。一个物理量，如果只需要用一个数值就可以说明它的特性，这个物理量就被称为标量。比如说，锅里的米粒的数目、桌面上的苹果的数目、今天的气温、水的密度等就是标量；有些物理量，除了数值之外，还需要用一个方向共同标注它的特性，这些物理量就叫做矢量。比如说，汽车的行驶速度和物体的受力等就是矢量。 在大多数情况下，一个物理量，无论是标量还是矢量，它的数值或者方向都会随空间位置而变。如果一个物理量可以用一个标量函数来描写其数值随空间位置变化的方式，我们就说这个物理量构成一个标量场；如果一个物理量要用一个矢量函数来描写其数值或者方向或者两者随空间位置变化的方式，则这个物理量构成一个矢量场。 关于矢量，存在两种类型的运算：矢量代数和矢量场论。矢量代数讨论在空间中若干个矢量之间的代数关系，即矢量的加法和乘法运算。矢量代数运算是我们在物理学的基础课程中就熟悉的运算；矢量场论则着眼标量场或矢量场的大小和方向随空间位置变化的函数关系。矢量场论有三种基本运算：标量函数的梯度、矢量函数的散度和旋度。 标量函数的图形表示 先回顾我们熟悉的一元函数。一元函数就是有一个自变量的函数，可以用一个画在平面直角坐标系中的图来形象地描写。用来画这个函数图形的坐标系，它的横轴标记自变量的数值，纵轴标记函数值。从函数图形中可以看到，总会存在这样的情况：对应于自变量的不同数值，函数的数值相等，除非这是一个单调函数。我们称函数值相等的点为等值点。比如说，如果图中水平方向的虚线在纵轴上的截距是3，那么，横轴上的红点就是函数值等于3时的等值点。
再来看二元函数，即有两个自变量的函数。类似地，可以用一个画在三维直角坐标系中的图来形象地描写一个二元函数，自变量用位于水平面上的两根轴标记，自变量的每一组不同的数值确定了自变量平面上的一个点，函数值则用沿竖直方向的轴标记。不难想象，这样画出来的函数图形必定是一个曲面。与一元函数相似，对应于自变量平面上的不同点，函数的值有可能是相等的。与一元函数不同的是，这一次我们可以用一种不那么形象但更为简洁的图来描写二元函数。
首先，我们尝试将函数值曲面上与某个确定的函数值对应的点投影到自变量平面上。一般情况下，函数值曲面上的这些点以及它们的投影点都能够连接成一条光滑的曲线，我们称自变量平面上的这条曲线为与这个确定的函数值对应的等值线。不同的函数值对应着不同的等值线。有时候，一个确定的函数值可能对应着许多条等值线。现在，将标记函数值的轴和函数曲面图去掉，只留下标记两个自变量的轴构成一个平面直角坐标系，以及刚才在这个坐标系中的投影点连成的等值线，就得到了二元函数的等值线图。
等值线图的一个重要的和常见的例子是地质地理测量中的等高线图，它是我们在基础地理学课程中早就熟悉的。 对于三元函数，我们不能再像二元函数的情况那样，形象地画出它的函数图形。不过，与二元函数相似，我们可以用一个三维直角坐标系的三根轴来标记三个自变量，在这样构建的三维空间中，三个自变量的每一组不同的数值，都对应着空间中的一个点。现在，在这个空间中画出与某个确定的函数值对应的点。一般情况下，这些点都能够连接成一个光滑的曲面，这个曲面就是与我们刚才选出的那个确定的函数值对应的等值面。一个确定的函数值可能对应着多个等值面。 等值面图的一个重要的和常见的例子是等势面图，它是我们在基础物理学课程中遇到过的。 标量函数的方向导数 现在我们来讨论三元函数 在三维空间中，有三个独立的方向，它们对应着三元函数
在很多场合中，我们还希望知道这个函数在其他方向上的变化率。比如说，函数在空间中某一点处沿着
对于空间中任意一个确定点P，必然有一个等值面S通过这个点。设想有另外一个与这个等值面靠得很近的等值面S'，从无穷小的意义上说，两个等值面可以近似地被看作是相互平行的平面。显然，从P点到等值面S'的最短路径沿等值面S在P点的法线方向
现在，让这两个相邻的等值面无限地靠近，我们就得到
也就是说，对于空间中的任一点P，沿过P点的等值面S在P点的法线方向，函数的变化率最大：
显然，对于两个紧邻的等值面，在忽略高阶无穷小的近似下，
我们把上述包括方向在内的最大的变化率称为标量函数在P点的梯度，这是一个矢量，在空间中的不同点，梯度的数值和方向都有可能不一样。一个标量函数在空间中任意点的梯度记为
其中 形如(1)式和(2)式给出的只是方向导数和梯度的定义式，要用它们计算方向导数并不是一件容易的事情。要计算方向导数，还需要进一步寻找更清晰明了的表达式。 |
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