摘 要：张奠宙教授曾指出：数学教育，自然是以“数学”内容为核心。数学教学设计应该着眼于研究如何凸显数学的本质，研究如何精中求简，返璞归真，让学生享受数学本质探究的乐趣，领会和体验数学的价值和魅力。“整体入手”是揭示数学本质的前提，“把握核心”是揭示数学本质的关键，“顺应规律”是揭示数学本质的保障。
关键词：教学设计 本质 价值追求
曾经，衡量一节数学课的优劣，一度以是否创设了生活情境，学生是否分小组开展合作讨论，是否用了多媒体等为标准，至于数学内容本身，反而被忽视。张奠宙教授曾指出：数学教育，自然是以“数学”内容为核心。的确，真正的一堂好的数学课，必然是凸显数学本质，充溢着浓浓“数学味”的课堂。因此，数学教学设计就应该着眼于研究如何凸显数学的本质，研究如何精中求简，返璞归真，让学生享受数学本质探究的乐趣，领会和体验数学的价值和魅力。那么，如何研究教材、挖掘教学内容本质进行教学设计？本文就《认识正比例》为例谈谈关于这方面的一些思考。
《认识正比例》是属于概念教学的范畴，它是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学模型，因其意义比较抽象，所以学生理解起来有一定的难度。在研究教材时，笔者是这样做的：
首先，通读整章教材，体会内容联系。《认识正比例》是《正比例和反比例》单元的第一课时。这是一个小单元，一共安排3道例题：例1是通过实例，引导学生观察，认识成正比例量的特点；例2是帮助学生初步认识正比例的图像；例3是认识成反比例的量。其中例1是基础，正比例意义的理解是认识其图像的前提，也为反比例意义的学习作铺垫。
其次，精读本课教材，推敲正比例的意义。在基本掌握单元教学信息之后，就进入精读教材阶段。在这个阶段，笔者围绕以下几个问题对教材进行研读：教材是如何揭示正比例意义的？有没有更好的揭示过程？究竟怎样理解正比例的意义？教材安排的练习意图是什么？练习形式和难易程度需要调整吗？在这五个问题中，笔者思考更多的是第二和第三个问题。教材通过列表的方式呈现了一辆汽车在公路上行驶的时间和路程的几组具体数值，让学生通过对表中数据进行观察，初步认识到路程和时间是两种相关联的量，再通过写出几组相对应的路程和时间的比，发现者两种量的变化存在一定的规律，继而揭示正比例的意义。然后，教材通过“试一试”加深学生对正比例意义的理解，在此基础上抽象出正比例关系的数学模型。这是从特殊到一般的认识过程，有着比较严密的内在逻辑性。然而，这样的教学会不会影响学生的认知视野？会不会影响学生整体上认识两种相关联的量的关系？带着这样的疑问笔者反复思考：怎么理解正比例的意义更符合学生的认知顺序？怎么揭示既利于学生理解正比例意义，又能为反比例意义的学习埋下伏笔？
经过思考，笔者梳理出这样一个认知思路：相关联的两种量→两种相关联量的不同情况→有相除关系的相关联量→比值一定的相关联量→揭示正比例意义。这一思路具有整体性，是从两种相关联的量入手，逐步分类，从而发现变化方向一致的两种相关联的量存在的规律。如果从整体出发引导学生认识正比例的教学处理成功，那么学生既能很好地理解正比例的概念，同时也能为反比例的学习打基础，并有利于建构完整的正、反比例的知识网络。
再次，划分教学环节，确定各环节的目标。笔者将本节课划分为五个教学环节，分别为：认识相关联的量，知道并会判断怎样的两种量是相关联的；认识成正比例的量，发现成正比例的两种量的变化规律；抽象正比例关系的数学表达式，尝试用数学表达式判断两种量是否成正比例；练习巩固，进一步理解正比例的意义，学会用完整的话判断是否成正比例；全课总结，整理回顾学习正比例的过程，合情推理反比例的意义。
最后，提炼教学问题，细化每环节的教学。教学框架定好之后，着手研究每个环节的教学，重点考虑素材的选择、问题的提炼和提出、学习方式的安排等。
比如，第一个环节，帮助学生认识相关联的量。通过认真分析，考虑到这一环节花时不宜过多，直截了当开门见山比较适合。于是，就采用了谈话的方式直接告之。
谈话：在我们现实生活中，存在很多的数量，就如汽车在公路上行驶，就涉及到三种量（路程、时间和速度）。如果汽车在行驶的过程中，时间发生了变化，那么哪种量也会随着发生变化？（路程）如果从南京开往太仓，行驶的速度发生了变化，哪种量也随着发生变化？（时间）
指出：两种量，一种量发生变化，另一种量也随之而发生变化，这两种量就是相关联的两个量。像上面，时间和路程就是相关联的两个量，速度和时间也是相关联的两个量。（板书：相关联）
举例分析：你能举例说说哪两个量也是相关联的？（学生举例，教师注意捕捉）
再如，第二个环节是本课教学的核心环节。经过多次推敲，笔者采用判断、观察、分类等方法进行教学。
逐个出示：说说下面的两种量是否相关联。（1）购买一种笔记本，购买的数量和总价；（2）生产一批零件，工作时间和工作效率；（3）一堆煤，已经用去的和还剩下的；（4）打印一本书稿，打印的速度和打印的时间；（5）正方形的边长和周长；（6）行驶的路程和时间；（7）从甲城到乙城，总路程和已经行的路程。
学生先判断，然后说说同样是相关联的两种量，它们完全相同吗，请学生分类。
存在相除的关系：（1）、（5）、（6）；存在相乘的关系：（2）、（4）；存在相加的关系：（3）；存在相减的关系：（7）。
研究相除关系的两个量。黑板上留下：
（1）购买一种笔记本，购买的数量和总价；
（5）正方形的边长和周长；
（6）行驶的路程和时间；
观察思考：同样是存在相除关系的两种量，完全一样吗？
为了便于大家的观察和思考，教师提供四张表格：
表1 购买一种笔记本的数量和总价
表2 正方形的边长和周长
边长/厘米 | 4 | 5 | 7 | 10 | 12 |
周长/厘米 | 16 | 20 | 28 | 40 | 48 |
表3 甲车在公路上行驶的时间和路程
时间/时 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
路程/千米 | 80 | 160 | 240 | 320 | 400 |
表4 乙车在公路上行驶的时间和路程
时间/时 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
路程/千米 | 80 | 150 | 230 | 315 | 390 |
引导观察，得出：同样是相除关系的两种相关联的量，有的比值相同，有的比值不同。指出：比值相同可以称为比值一定。
研究比值一定的两个量的变化情况。再次引导学生观察表格，比值一定的两个量变化方向是一致的。
揭示正比例的意义：两种相关联的量，如果它们的比值一定，那么这两种量就是成正比例的量，它们的关系就是成正比例关系。
全课总结时，教师请学生思考：有正比例，那应该有──学生几乎异口同声回答“反比例”。教师继续追问：根据对正比例的理解，能不能说说什么是反比例？很多学生都在进行类比推理：两个相关联的量，如果变化方向相反，积一定，那这两种量就成反比例。他们通过对正比例意义的准确理解，合情推理出反比例的意义。这似乎也能说明了之前层层递进的设计触及了数学的本质，有助于学生透彻地理解概念，把握正比例和反比例之间的内在联系。由此，笔者对触及数学本质的教学有了以下几点体会：
一、“整体入手”是揭示数学本质的前提
这里的“整体入手”是指研究教材要有全局观念。往往教师在研究教材时只见树木不见森林，导致因为视野的局限而不能恰当处理当前知识与其他知识之间的联系，影响教学重难点的把握以及核心问题的确立。根据笔者多年的教学经验，从整个单元甚至是相关领域的教材入手研究一节课的教材，就能更为清晰地看到当前知识点是处在怎样的背景之下学习，看到当前知识点是在哪里生发出来，又将生长到何处。把这些看清了，那么教材的重难点也就了然于胸，对于每个知识点的处理才能拿捏准确。俗话说：站得高，看得远。教学亦是如此。教材研究有高度、有深度，才有可能带来教学设计的高度和深度。
“整体入手”也指确定教学思路要从整体出发，先确定总的教学思路，再研究具体的教学细节。往往有的教师抓小放大，总体教学思路尚未确立，却花大量时间和精力在某个细节上，显得得不偿失。要设计出有质量的教案，应该先形成科学的整体教学思路，再研究各个环节的细节处理，这样才能确保教学重难点的突破不偏不倚。
“整体入手”还指教学目标也需整体规划，先要确定总目标，再确定各环节的具体目标。总目标确立了一堂课的方向，决定了教学要到哪里，分目标是总目标的落实，决定了教学能否到那里。先总后分的目标确定，有助于教学过程每一步的有效实施。
总之，从整体入手研究教材，能更清晰地确定当下教学内容的位置；整体确定教学思路，能更有效地突破教学重难点；整体确立教学目标，能确保每一环节的实施效度。
二、“把握核心”是揭示数学本质的关键
“把握核心”是指提炼核心内容。每一节课都有一个核心内容，它是一节课的教学重点。首先要正确判断核心内容是什么，如上例就是正比例的意义。其次要深入分析核心内容究竟怎么去理解。理解核心内容，不能照搬教材，因为还要考虑学生的认知特点，即理解核心内容关键要将核心内容的知识转化成教育形态的知识。上例中，笔者在深入研究教材、从学生认知序的角度这样理解正比例意义：两种相关联的量，变化方向一致，比值一定，这样的两种量成正比例。据教学实际效果表明，这样的理解更贴近学生的认知，取得很好的效果。
“把握核心”还指把握核心环节。每一堂课都有一些环节是最为重要的，它承担着揭示概念、推导结论、解决问题等任务。如上例中第二个环节（认识正比例的量）就属于这样的核心环节。核心环节的设计要注意以下几个方面：
层层推进。在设计时，教师要将核心内容进行分解，分解成若干个步骤，让学生逐步触及知识的本质。上例中，教师就将教材中提供的例题内容分解成四个步骤，先认识相关联的量，再发现同样是相关联情况有不同，再研究变化方向一致的情况，最后再发现变化方向一致的情况下存在有比值一定的情况，在这样的步骤分解下，学生能层层递进触及正比例意义的本质。
经历过程。这是指设计时要让学生能参与过程，让他们经历观察、判断、分析、概括等，使他们通过一系列的思维活动，最后获取知识。经历过程，最关键的是要有思维的卷入，没有思维含量的过程经历难以在学生头脑中留下深刻的印象。上例核心环节中四个步骤的处理，对于学生的思维就是一个挑战，学生必须通过比较、判断、思辨才能发现相关联的量之间的不同，这样的处理相对教材编排来说，在思维要求上更高。
三、“顺应规律”是揭示数学本质的保障
“顺应规律”首先是指顺应学生认知的一般规律。教因学而存在，以学定教。无论是怎样的教学设计，必须顺应学生认知的一般规律，如果违背了认知发展的顺序，那么再好的设计也不能取得好的效果，只能成为教师的一厢情愿。教学设计时，教师要注意由易到难、由简到繁、由表及里、由现象到本质的安排，而这由易到难、由简到繁……都需要一个过程，切不可一股脑儿让学生去面对。因此，顺应学生认知的规律除了要符合科学的认知顺序，还要注意科学的时间分配以及科学的节奏控制。像上例中关于核心环节四个步骤的设计，就是由表及里的一个过程。
在顺应学生认知规律的同时，教师还要考虑数学知识本身发展的逻辑，在教学设计的时候有时会改变教材的编排或重组教学的环节，在调整、改编教材时，需要始终遵循知识发展的逻辑顺序。这样做，有利于学生的知识建构，有利于生长出新的知识点，有利于后续知识的学习。上例中，笔者对正比例意义的解读，对核心环节的设计，既是站在了儿童的立场，符合学生的认知规律，又顺应了比例知识发展的整体逻辑。因此，从临近课结束时的总结我们发现，学生不仅对正比例意义的理解到位，同时也使他们成功迁移，尝试理解反比例的意义。可见，顺应规律是上好一堂课的保障，也是课堂教学体现数学本质的保障。
笔者认为，无论怎样的改革，作为数学，其教学的价值不会偏离体现数学本质这一目标追求。数学本质是数学学科的根，也是学生数学素养提升的关键所在。让我们潜心研究，在体现数学本质的教学中获得更为深刻的理解，探寻更为有效的举措！
