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2011年上海高考数学（理）第13题解答
大罕
题目：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[-10,10]上的值域为
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解1：∵g(x)=f(x)-x，而g(x)是周期为1的函数，
∴g(x+1)=f(x+1)-x-1=f(x)-x
∴f(x+1)－f(x)=1
于是有：f(3)-f(2)=1,
f(2)-f(1)=1,
……
f(-9)-f(-10)=1,
将以上式子相加得：
f(3)-f(－10)＝13,
∴f(－10)＝f(3)－13.
同理可知f(10)-f(4)＝6,
∴f(10)＝f(4)+6,
∵f(x)=x+g(x)在区间[3,4]上的值域为[-2,5]，
∴f(3)≥-2,
∴f(－10)＝f(3)－13≥-15,
同时，f(4)≤5,
∴f(100)＝f(4)+6≤11,
∴f(x)在区间[-10,10]上的值域为[-15,11].
解2：g(x)为R上周期为1的函数，则g(x)=g(x+1)
函数f(x)=x+g(x)在[3,4]的值域是[-2,5]
令x+6=t，当x∈[3,4]时，t=x+6∈[9,10]
此时，f(t)=t+g(t)=(x+6)+g(x+6)=(x+6)+g(x)=[x+g(x)]+6
所以，在t∈[9,10]时，f(t)∈[4,11]
（1）
同理，令x-13=t，在当x∈[3,4]时，t=x-13∈[-10,-9]
此时，f(t)=t+g(t)=(x-13)+g(x-13)=(x-13)+g(x)=[x+g(x)]-13
所以，当t∈[-10,-9]时，f(t)∈[-15,-8]
（2）
由(1)(2)得到，f(x)在[-10,10]上的值域为[-15,11]
附：2011年上海高考数学（文）第14题及解答
试题：设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]]上的值域为[-2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为（ ）.
解：g(x)为R上周期为1的函数，则g(x)=g(x+n)(n∈N*) ，
令x+1=t，则1≤t≤2,
∵ 函数f(x)=x+g(x)在0≤x≤1的值域是-2,≤x≤5 ，
∴f(t)= t+g(t)= x+1+g(x+1) = x+g(x) +1∈[-1,6],
即当1≤x≤2时, f(x)∈[-1,6],
又令x+2=t，则2≤t≤3,
∴f(t)= t+g(t)= x+2+g(x+2) = x+g(x) +2∈[0,7],
即当2≤x≤3时, f(x)∈[0,7]
∴当x∈[0,3]时, f(x)的值域为[-2,5]∪[-1,6]∪[0,7]=[-2,7] .
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