[原创]上海市2006年高考第21题赏析

上海市2006年高考数学理科第21题赏析
大罕

   

    已知有穷数列{a_n}共有2k项（整数k≥2），首项a₁＝2．设该数列的前n项和为S_n，且a_n+1=(a-1)S_n+2（n＝1,2,…,2k-1），其中常数a＞1．
  （1）求证：数列{a_n}是等比数列；
  （2）若a_n=2^2/(2k-1) ，数列{b_n}满足b_n=(1/n)log₂(a₁a₂…a_n) （n＝1,2,…,2k），求数列{b_n}的通项公式；
  （3）若（2）中的数列{b_n}满足不等式|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+| b_2k-3/2|≤4，求k的值．
   分析：第（1）问很平凡,易知它是首项为2,公比为a的等比数列．
   第（2）问比较抽象，计算要细心.这一问,也是为第（3）问奠定基础.不难得出b_n＝1+(n-1)/(2k-1)．
   第（3）问很妙,妙在数列{b_n}是一个很奇特的数列,需要我们发现它,提示它!奇特在于：
   一、因为数列{b_n}通项公式是一次函数，所以它是等差数列，并且项数为偶数2k；
   二、由b_n-3/2=[2(n-k)-1]/2(2k-1)可知,当n<k+1/2时，b_n-3/2<0，当n≥k+1时，b_n-3/2>0，即数列的前k项小于3/2，后k项大于3/2．
   三、由上述两点可知(可观察图像),|b₁-3/2|+|b_k+1-3/2|=|b₂-3/2|+|b_k+2-3/2|=…=|b_k-3/2|+|b_k+k-3/2|=常数,经计算,此常数为k/(2k-1)． 
   所以,|b₁-3/2|+|b₂-3/2|+…+|b_2k-1-3/2|+| b_2k-3/2|≤4可变为k²/(2k-1)≤4．
   解之,再结合整数k≥2,可知k＝2,3,4,5,6,7.
   赏析：本题作为倒数第二道题，起到了一定的压轴作用。从第二问开始，在多个字母下进行抽象变形，对学生的数学能力有一定的要求，不偏不怪不易。尤其是第二问给出的数列具有奇特的性质，不禁为命题人的匠心所叹服。正由于等差数列的项中,前一半比某数小，后一半比某数大，不多不少，才会想出两两搭配、逐个相加的办法，而此时，参数k摇身一变，反客为主，寓方程之中，从而势如破竹，完美结局，皆大欢喜。