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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，an≠0，anan+1=pSn+2，其中p为常数． （1）证明：an+2﹣an=p； （2）是否存在p，使得|an|为等差数列？并说明理由． （1）证明：∵anan+1=pSn+2，an+1an+2=pSn+1+2， ∴an+1（an+2﹣an）=pan+1， ∵an+1≠0，∴an+2﹣an=p． （2）解：由anan+1=pSn+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1， 同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2． ∴an+2﹣an=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n． 数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1． ∴an=n+1．∴an+1﹣an=1． 因此存在p=2，使得数列|an|为等差数列． 考点分析： 等差数列的性质；数列递推式． 定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)． 等差数列的性质： 1．若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，{an}为等差数列，则am＋an＝ap＋aq. 2．在等差数列{an}中，ak，a2k，a3k，a4k，…仍为等差数列，公差为kd. 3．若{an}为等差数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍为等差数列，公差为n2d. 4．等差数列的增减性：d>0时为递增数列，且当a1<0时前n项和Sn有最小值．d<0时为递减数列，且当a1>0时前n项和Sn有最大值． 题干分析： （1）anan+1=pSn+2，an+1an+2=pSn+1+2，相减可得：an+1（an+2﹣an）=pan+1，利用an+1≠0，可得an+2﹣an=p． （2）由anan+1=pSn+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此an+2﹣an=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出． |
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