亨利·嘉当

亨利·嘉当
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)
　　嘉当，H．(Cartan，Henri)1904年7月8日生于法国南锡．数学．
　　嘉当的父亲E．嘉当是20世纪上半叶最伟大的数学家之一．1909年，嘉当随父亲到巴黎．1923年中学毕业后考入高等师范学校，1926年毕业，并获得教师资格．1928年获得博士学位，论文题目是“有孔线性簇上的全纯函数系”(Sur les systems de fonc－tions holomorphes vari t s lin aires lacunaires)．其后在凯恩(Caen)的马尔埃贝(Malherbe)中学教了一年书，1929年到1931年在里尔大学理学院任授课教师．在这期间，他主要研究单复变函数论，在同德国数学家的接触中，逐渐转向多复变函数论．
　　1931年，他被聘为斯特拉斯堡大学授课教师，不久任讲师，1936年升为教授．其间A．韦伊(Weil)也于1933年到校任教，两人结下深厚友谊．同时J．德尔萨特(Delsarte)及J．丢东涅(Diendonn )在南锡，他们形成了年轻的东部集团．出于共同的理想，1935年他们结成布尔巴基学派，并于1935—1938年每年夏天召开大会，讨论《数学原理》(Elementede math matique)的写作．由于共同的兴趣，他们对一般拓扑学有了重要发展，特别是嘉当引进滤系及超滤系的概念．
　　1940年5月，德国大举入侵法国，6月14日巴黎陷落，斯特拉斯堡再次被德国吞并．嘉当等人集中于法国中部的克勒蒙费朗(Clermont－Ferrand)，此处属维希政权管辖．这段时期，嘉当是巴黎大学理学院讲师，同时负责高等师范学校的数学教育．在此期间，他和其他布尔巴基学派成员仍然作了许多工作，他本人则在位势理论上有所突破．
　　第二次世界大战结束之后，1945年夏，他被派到斯特拉斯堡大学理学院负责接收整顿工作．1947年中返回巴黎，在巴黎大学及高等师范学校任教，在战后百废待兴的困难环境中，毅然挑起科研及教学两副重担．1947年起开办嘉当讨论班，历经16年，到1964年结束，对法国数学乃至世界数学产生重大影响．其间，他培养了著名数学家J．P．塞尔(Serre)、R．托姆(Thom)、A．波莱尔(Borel)及吴文俊等人．同时他组织布尔巴基讨论班，显示了巨大组织才能．这期间，他在代数拓扑学及多复变函数论方面开创一个新时代．
　　1949年起他任巴黎大学理学院教授，1969年改为奥塞理学院教授，后来任巴黎南大学教授，1975年退休．他在高等师范学校的兼职到1965年结束．
　　由于他的成就，他获得多项荣誉，特别是1965年被选为法国科学院通讯院士，1974年为正式院士．1972年，他被选为美国国家科学院国外院士．他于1967—1970年任国际数学联盟主席，1971年被选为英国皇家学会名誉会员，1980年荣获沃尔夫(Wolf)数学奖．
　　嘉当写了100多篇论文和5本书．嘉当讨论班报告及布尔巴基讨论班报告的影响极大．
　　1．多复变函数论
　　嘉当是50年代实现多复变函数论由古典时期向现代时期转折的主要数学家．他组织的三次讨论班(1951—1952年，1953—1954年，1960—1961年)在这次转折中起着关键作用．
　　(1)解析映射及解析自同构1906年前，多复变函数论只是单复变的平行推广．1906年，F．哈托格斯(Hartogs)及H．庞加莱(Poincar )发现了多复变(主要是双复变)与单复变之间的本质不同，到20年代，对于全纯域及其间的映射进行了更深入的研究． 1930年，嘉当引进圆域(domaines cercle’s)［在比为λ(|λ|=1)的位似变换下稳定并含有原点的域］，这是莱因哈特(Reinhardt)域的推广．1930年他证明解析映射的唯一性定理：设D，D′为圆域，其中至少一个为有界域，f：D→D′为把原点映到原点的全纯同构映射，则f是线性映射．
　　对于2维有界圆域，他推广P．图仑(Thullen)分类莱因哈特域的工作．得出有界圆域到自身的一一解析变换均为保原点变换，除非它是莱因哈特域或域Δa，其中Δa(a (0，1))由三个不等式|x|＜1， 析对应．而且所有Δa均为全纯域．对于两变元有界圆域，他还完全定出其自同构群．另外他还引进半圆域及反圆域，并证明相应的部分结果．1932年，他证明另一个一般定理：Cn中有界域的全纯自同构群是(实参数)李群．同时证明紧复解析簇的自同构群也是李群．
　　(2)全纯碱Cn中的全纯域是20世纪上半叶多复变函数论最基本的研究对象．所谓全纯域G是指其上存在解析函数f，使f可以解析开拓到其上的最大的域(也称正则域)．对全纯域加以刻画并进行分类是最基本问题之一．第一个刻画是所谓列维问题，1911年，E．E．列维(Levi)用多重亚调和性定义域G Cn的伪凸性，设dG(E)为域中点E到边界距离，如u=-log dG在G内为多重次调和函数，则称G是伪凸的．全纯域是伪凸域．反过来，伪凸域是否全纯域是极难的列维问题．1953—1954年才由日本数学家岡潔等完全肯定地解决．嘉当只是得出特殊情形的结果．而在列维问题解决之前，嘉当在1931年最先得出全纯域的另一个刻画．他首先定义域的全纯凸性，G Cn称为全纯凸，如对所有紧集K G，K的全纯包
 
　
　　是G的紧集．1932年他和图仑证明著名的嘉当-图仑定理：Cn中城G是全纯域当且仅当它是全纯凸的．由此可推出全纯域是伪凸域．
　　(3)库辛问题库辛问题是给定极点及零点造出相应亚纯函数的问题．库辛第一问题是米塔格-莱夫勒(Mittag－Leffler)问题的推广，P．库 1935年证明对所有全纯域可解．1938年嘉当举出第一个非全纯域而库辛第一问题有解的例子，他用的是罗朗(Laurent)级数，这个方法后来被他的学生多次用于解更一般情形．
　　库辛第二问题是K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)定理的推广．到1953年才由岡潔给出可解条件．不过他的方法及表述只有经嘉当及塞尔才直接迈入现代多复变时期．
　　(4)用绯索建立现代多复变函数论1945年，嘉当由J．勒瑞(Leray)处听到绯索的概念．但是当时没有实际应用．嘉当在1950年首先把绯索的概念引进多复变，在1951—1952年的讨论班上又引进凝聚绯索的概念，1952年他同塞尔的讨论，引出来著名的定理A和B，于1953年正式发表．它们成为以后多复变发展的出发点．首先，他定义施坦因(Stein)流形，它是全纯域的推广，然后他证明关于施坦因流形的定理A和B．
　　定理A．如果X是施坦因流形，F为X上凝聚解析绯索，则对于所有x X,H0(X,F)在Fx中的象生成Qx模Fx．
　　定理B．如果X是施坦因流形，F为X上凝聚解析绯索，则对所有正整数q，上同调群Hq(X，F)均为0．
　　由此可以推出，对施坦因流形X，库辛第一问题总有解．
　　同年，他与塞尔证明另一基本定理：如X是紧复解析流形，F是凝聚解析绯索，则Hq(X，F)是有限维复向量空间，同样结果还可推广到紧解析空间．它是H．格劳尔特(Grauert)著名的直接象定理(在全纯真映射下凝聚解析绯索的直接象也是凝聚绯索)的出发点．另外他证明了施坦因流形上主纤维空间的基本定理．
　　(5)解析空间理论通常的复流形概念不能概括有奇点的簇，因此有必要加以推广．在1951—1952年讨论班上，嘉当首先尝试定义解析空间．在1953—1954年讨论班上，他正式引入“环式空间”(espace annel )，从而定义正规解析空间．1958年，他证明正规解析空间可以嵌入在Cn之中．对于一般的解析空间，1960年嘉当给出它模一个不连续群所得的商簇仍为解析空间的条件．
　　2．单复空函数论
　　嘉当的早期工作是关于R．奈望林纳(Nevanlinna)理论的，主要是在博士论文中证明布洛赫(Bloch)猜想的不等式．
　　嘉当在位势理论上有重大贡献，其中包括牛顿位势及其各种推广．他系统应用“能量”的概念，证明有限能量的正分布空间，在赋予由能量诱导出的范数后是完备的．这导致J．德尼(Deny)后来把广义函数论引入位势理论．
　　嘉当还引入精细拓扑的概念，为公理位势论奠定基础．
　　嘉当首次证明超调和函数降序列的极限，如不等于-∞，除了在零外容度的集合之外为一个超调和函数．
　　他还首次在齐性空间上引入位势理论．
　　3．代数拓扑学
　　嘉当对代数拓扑学研究是与嘉当讨论班相始终的．1947年他开始进入这一领域标志着法国学派的兴起．
　　(1)上同调运算1947年N．E．斯廷洛德(steenrod)及Л．C．庞特里亚金(Понтрягин)为了解决同伦分类问题而独立引进上同调运算Sqρ及β．吴文俊曾向嘉当提出一个公式
 
　
　　其中U为上积．嘉当在1950年首先给出一个证明，现称为嘉当公式．它  独立得到这些关系——后称阿德姆关系，他们的证明方法也不同．
　　(2)同伦群的计算自从1935年同伦论建立以来，求同伦类，特别是同伦群的计算始终是一大难题．嘉当与塞尔合作，构造一个系统地“消灭”一个空间X同伦群的方法，即造空间Y及映射f：Y→X，使πi(Y)当i≤n时为0且πi(Y)→πi(X)当i＞n时是同构．常可选f为纤维映射(造道路空间)，然后用谱序列方法，从Y，X及纤维空间群计算X的同伦群来．实际上这已经通往波斯特尼可夫(Постников)系统，但没有明显迈出这一步．
　　(3)决定爱仑堡-麦克莱恩代数Hx(π，n)的结构嘉当的1954—1955年度讨论班完全是研究Hx(π，n)的，爱仑堡-麦克莱恩空间K(π，n)是指除了n维同伦群为π之外，其他同伦群均为0的空间．问题是定出K(π，n)的同调群H(π，n)．他证明H(π，n)是分次代数，并定出其结构．这概念在拓扑学及其他领域也很有用．
　　(4)李群及齐性空间上的同调1950年左右，嘉当同他的学生定出李群及齐性空间的上同调环．他定出齐性空间G／g的实系数上同调，其中G是紧连通李群，g是G的连通闭子群．所用的方法是李代数的韦伊代数．这只需计算G的李代数的“超渡”(transgression)及同态I(G)→I(g)，其中I(G)表示在伴随群下不变的李代数上的多项式代数．
　　4．同调代数
　　1956年，嘉当及S．艾伦伯格(Eilenberg)合著的《同调代数学》(Homological algebra)一书出版，标志着这门学科的诞生．此书写于1950—1953年，它第一次把以前的零散结果变成系统理论．特别是引进可加函子及其“导出函子”，它首先引进Torn(A，B)及Extn(A，B)，还推广了库耐特(K nneth)公式．此后同调代数成为许多分支的数学工具，特别是在代数几何及复解析几何中，成为解决一系列问题的有力武器．
　　5．其他
　　嘉当的贡献还有不少，特别值得一提的是1937年引进“滤系”(filtre)及“超滤系”的概念，不仅在拓扑中有用，而且是数理逻辑中模型论最重要的构造法之一．