【译者按】东京大学数理科学专业的大四必修课'数学講究XB'至少已经进行了20年。这门课程每周由一位专家来介绍他所研究的数学分支与课题。每讲一小时，风格比较随意，中间有简单的练习。第一讲 算术几何学——从黎曼猜想到平展上同调作者：斋藤毅 今天谈谈数论与几何。因为在大三课程中数论被划分到代数学里，所以可能会感觉与处理流形及其同调的几何学无关。然而，这二者融为一体才是数学的有趣之处。现代数学是在抽象的基础上创造出来的，这一倾向从19世纪黎曼的年代开始变得清晰起来了。此处关于数论与几何，也分别从黎曼谈起。 1. 黎曼猜想先从黎曼「Zeta函数」（zeta function) 的定义开始。黎曼Zeta函数定义为「狄利赫雷级数」（Dirichlet series） 这一级数在 的实部 的范围内绝对收敛，确定了一个「全纯函数」。利用素因数分解的唯一性，这个级数还可以表示为「欧拉乘积」 （Euler product) Zeta函数 可以「解析延拓」为整个复平面上的亚纯函数，除了在 处有 阶极点之外处处正则。关于「零点」，因为欧拉乘积在实部 的范围内收敛，所以此范围内没有零点。使用这条结论与Zeta函数的函数方程，就可知在实部 的范围内仅在负偶数处有 阶零点。
不超过自然数 的素数的个数 大约是 ，这条结论称为素数定理，可以通过说明 没有实部为 的零点来证明。实部在 与 之间的所有零点，其实部都等于 ，这就是著名的「黎曼猜想」（Riemann hypothesis），仍然是未解决问题。如果这条猜想得到证明，那么就能了解关于素数分布更加精密的信息。以上所谈事项总结为图1。 2. 数域与函数域的类似古典代数数论是「代数数域」（number field）——有理数域的有限次扩张的理论。有限域上的一元有理函数域的有限次扩张称为有限域上的「一元代数函数域」（function field) ，这样的域与代数数域非常相似。这称为数域与函数域的类似。在数学中像这样找出相似的对象，研究其类似之处，常常可以增进对双方的理解。着眼于数域与函数域的类似，一个个素数就可以想成一条曲线上的点的类似。 黎曼Zeta函数可以想成有理数域的Zeta函数。这样想来，有限域上一元函数域的Zeta函数就也可以定义了。关于这个Zeta函数的黎曼猜想的类比命题已经得证。 首先从有理函数域情形开始。设 为素数， 是由 个元素组成的有限域。一元多项式环 不仅是「主理想整环」，而且它对于极大理想 的剩余类域 都是有限域，这两条性质与整数环 非常相似。由此可以与（2）式同样地将 的Zeta函数定义为欧拉乘积： 此处记号 表示有限域 的元素个数。 将整数环 代入（3）中的 ，就得到表示成欧拉乘积的黎曼Zeta函数（2）。回到 的情形，因为在域上的多项式环中也成立「素元分解」的唯一性，所以像(1)那样 的Zeta函数 也可以表示为狄利赫雷级数。 的Zeta函数 与黎曼Zeta函数 的一大区别在于 是 这样简单的函数。由此可知 在 （为整数）处有 阶极点。 ❝ 到此为止都是假定 为多项式环 ，在 为整数环 上任意有限生成交换环的情形，都可以用(3)来定义其Zeta函数。此处用到一条交换环中的定理：在整数环 上作为环来说有限生成的域都是有限域。 在多项式环 之后得到研究的是像 这样的环。在此假设 是大于 的素数， 是没有重根的三次式。要弄清楚此时的Zeta函数 就比问题1难多了，不过比起黎曼Zeta函数来还是望尘莫及地简单，我们知道有以下结果 不仅如此，还知道 是整数，且。 把Zeta函数的分子 分解为形如 ，那么前述不等式就等价于复数 的绝对值是 。从而 的零点的实部是 ，对于 黎曼猜想的类比命题是成立的。 关于黎曼猜想的类似我们还知道更多其他结果，之后再回到这个话题，先来考虑分子为何是 的二次式。这里正是数论与几何联系起来的地方。 3. 黎曼面的亏格冠以黎曼之名的术语如黎曼Zeta函数、黎曼猜想等等有各种各样，不过其中经常听到的要数「黎曼面」（Riemann surface）吧。紧致连通的黎曼面可以认为是复数域上射影非奇异连通「代数曲线」（algebraic curve）的别名，由 上的一元函数域所确定。 表示紧致连通黎曼面的形状的数是「亏格」（genus）。亏格可以用多种方式来定义，此处将其想成「奇异上同调」（singular cohomology) 作为 模的「秩」的一半。作为亏格的解释经常可以看到图2那样的图，不过关于紧黎曼面，从这图中能得到的信息就只有亏格。因为看看这图应该就能感觉到自己了解了黎曼面的形状，所以也可以认为所谓知道紧黎曼面的形状，就是知道上同调 。
例如，「椭圆曲线」（elliptic curve)的情形如下所述。用 作为 线性空间的基底 生成的 子模 称为的「格子」（lattice），因为作为商空间而得到的紧黎曼面 的 是 的「对偶」，所以椭圆曲线的亏格是 。 复分析中出现了魏尔斯特拉斯 「 函数」 （-function) 解析地构成的黎曼面 通过这个函数可以得到代数的刻画，即作为由方程 定义的代数曲线。 前一节中的式子（4）与本节中的式子（6）的区别在于系数是有限域 中的元素还是复数，形式上都是相同的 ，其中 都是没有重根的三次式。正是因为这个理由，Zeta函数的分子 作为 的多项式的次数与上同调 的秩同样都是 。为什么是因为这个理由，后面还要继续解释。 ❝ 4.亏格与有理点19世纪代数曲线的几何理论，也就是黎曼面的理论发展起来了，继承这一发展，在20世纪将其应用于数论成为了潮流。有理系数方程 的有理数解 称为由 定义的代数曲线 的「有理点」（rational point）。例如，「费马大定理」 （Fermat's last theorem）可以这样表述为关于代数曲线的有理点的定理：由方程 定义的代数曲线的有理点，当 为奇数时仅有 两个，当 为偶数时仅有 四个。 代数曲线 作为黎曼面的形状是几何性质，而 的有理数解是数论性质，几何性质统制着数论性质，这么说的话可能有点不可思议。事情是这样的，在有些情形使用几何性质可以有系统地构造出有理点，否则就能证明有理点很少。费马大定理的证明方法也要区分两种情形， 的情形只用亏格 的代数曲线就可以证明， 的情形就对应于亏格大于等于 的代数曲线。 从亏格 的情形开始。亏格 的代数曲线就是由二次方程 （ 是非零有理数）定义的「二次曲线」（conic curve）。这条曲线 上有一个有理点 的话，那么其余的有理点全部可以作为过点 且斜率为有理数的直线与 的交点以几何的方式求出来。 例如，假设 由 所定义，过点 且斜率为 的直线与 交点的坐标是 （参见图3）。这样一来就得到了 与「射影直线」（projective line) 的同构。置 为既约分数 并消去分母，就可以解出如下问题。
❝ 在存在有理点的情形，如上所示可以得到与射影直线 的同构；有理点的有无也可以比较简单地判定出来。例如设 为素数，那么 上有无有理点，用 被 除的余数就能判定出来。可知 除以 余 或 时有有理点，余 或 时无有理点。证明无解不那么难，不过证明有解就没那么简单了。 一般地，我们知道如下事项。有理数域 是实数域 的子域，也可以认为是随着每个素数 确定的 「 进域」(p-adic field）的子域。如果曲线有有理点，那么因为有理数想成实数也可以，想成 进数也可以，所以曲线也有坐标为实数的点与坐标为 进数的点。反之，如果二次曲线 有坐标为实数的点，并且对于所有素数 都存在坐标为 进数的点，那么我们就知道 上存在有理点。 于是我们就说，对于二次曲线的有理点成立「局部整体原理」 （local-global principle) 。一元函数域是代数曲线上的函数所成之域，类似地，把有理数域想成称为 的几何对象上的函数所成之域， 中的点就对应于素数。进一步朝 上添加一个对应于有理数域到实数域中嵌入的无限素点，就得到一个紧化的对象（图4）。如果在这个对象的所有点处都有二次曲线 的点，那么 就有有理点。像这样我们就可以认为从局部性质导出了整体性质。
下面来谈亏格为 的情形。在此情形，如果有一个有理点，那么取那个有理点为无穷远点 就可以选取恰好的坐标系使得曲线成为由方程 （ 是无重根的有理系数三次式）定义的椭圆曲线。之前我们把 上的椭圆曲线想成是复平面对于格子 的商 ，那么就确定了其上的「加法群」（additive group）结构，其实这个结构可以代数式地定义。
对于由(8)定义的椭圆曲线 上的三点 ，规定当 三点共线时有 ，就可以几何式地定义 的有理点全体所成之集合 上的加法群结构，在这个定义下无穷远点 就成为加法群的零元。图5即表示这种加法。此时我们知道 是有限生成阿贝尔群。这个结果称为「莫德尔定理」 （Mordell‘s theorem） 对于无有理点的亏格 曲线，还有未解决的大问题。现在知道的是，关于亏格 情形有理点的有无，局部整体原理不成立。在多大程度上不成立就是个问题，这是称为「BSD猜想」（Birch and Swinnerton-Dyer conjecture) 的未解决问题的一部分。因为详细解说需要太多预备知识，所以我们在这里就不作更多展开了。 亏格大于等于 的情况与亏格为 或 的场合不同，没有了逐次构作有理点的几何手段。于是在这种情形证明了有理点只有有限多个。这是称为「莫德尔猜想」 （Mordell's conjecture）的问题，由法尔廷斯解决了。 5. 魏伊猜想回到Zeta函数的话题。因为故事渐渐迫近核心部分了，所以会困难起来，要稍微用一些代数几何的术语。设 为定义在有限域 上的射影「代数簇」（algebraic variety）。 不太熟悉这套话语的人暂且这么想就够了： 是射影空间 内由一组齐次多项式 定义的，对于自然数 ，确定了有限集合 此处 的意义解说如下：考虑从有限域 上的 维线性空间 中除去 所得的集合，以及定义在这个集合上的“生成同一个 维线性子空间”的等价关系，那么 就是这个集合对这一等价关系的商集。 虽然 的Zeta函数也可以像（3）那样用欧拉乘积来定义，不过此处用有限集合 的元素个数 来叙述。形式幂级数 定义为 在这个式子中代入 ，Zeta函数 就用 来定义。 想要写成欧拉乘积的话，像问题1的解答那么做就可以了。像问题1的解答那么做也可以明白，如果 是 上的有限生成环，那么只要在式(9)中把 置换成环同态 的个数，就得到了式(3)中定义的Zeta函数 。 ❝ 对于由(4)式定义的环 ，设由 的齐次化 定义的椭圆曲线为 ，那么其Zeta函数 可以用式（5）中的整数 表示成 魏伊证明了关于有限域上代数曲线的Zeta函数的黎曼猜想的类比命题，他猜测其高维推广也是成立的。魏伊启发道，如果对于有限域上的代数簇也有性质良好的上同调理论的话，那么从中就可以导出这个猜想。为此格罗滕迪克构造了「平展上同调」 （étale cohomology），并且用它证明了「魏伊猜想」 （Weil conjecture) 的相当大一部分。 因为格罗滕迪克明白了能用于证明魏伊猜想的好的上同调理论中不可能以 为系数，所以他取一个不同于 的素数 ，构作了以 进域 为系数的 「 进上同调」 （-adic cohomology)。这是有限维的 线性空间，设 为 的维数 ，那么这些上同调对于 之外的 都是 。 把坐标变成自己的 次幂的「弗罗贝尼乌斯算子」（Frobenius operator) 的特征多项式定义为 那么由「列夫谢茨迹公式」（Lefschetz trace formula) 就知道 进一步假定 没有「奇点」 （singular point），并且 是由整系数方程定义的射影非奇异簇 的「模 约化」（mod- reduction），那么在 的 进上同调与复流形 的奇异上同调之间存在同构 ，称为比较同构。Zeta函数（5）的分子的次数与椭圆曲线的上同调的秩二者都是 ，其理由正在于这个同构。 黎曼猜想的类比是，假设 没有奇点，置 ，则 作为复数的绝对值是 。德利涅证明了这条命题，完成了整个魏伊猜想的证明。如果认为要了解流形或簇的形状只要知道上同调就够了，那么从魏伊猜想及其由平展上同调而获解决看来，数一数点的个数也就明白了簇的形状。 6. 平展上同调平展上同调的引入与魏伊猜想的解决为此后算术几何学的发展开辟了道路。在此就其数论方面与几何方面各简单介绍一个正在研究中的话题。平展上同调在数论方面的重要应用是构造「伽罗瓦表示」 （Galois representation）。前一节中因为谈论的是魏伊猜想，所以把常数域设为有限域，而平展上同调对任意域上的代数簇都可以定义。 在有理数域的情形，因为存在比较同构，所以就线性空间来说没什么新颖的东西。 然而平展上同调可以代数式地定义，因此有「绝对伽罗瓦群」 （absolute Galois group) 自然地作用于其上。以此为研究对象，算术几何学的新世界徐徐展开。 有一个「模形式」 （modular form) 称为「拉玛努扬Delta函数」（Ramanujan's delta function)。置 ，则此函数可以看作「上半平面」 （upper plane) 上的全纯函数。 作为(6)式右边的三次式的判别式 ，也与椭圆曲线联系起来。所谓「拉玛努扬猜想」 （Ramanujan’s conjecture) 是说，若 为素数，则 。 佐藤幹夫考察了名为久贺佐藤簇的「模曲线」 （modular curve）上的万有椭圆曲线族的纤维积，德利涅使用其平展上同调构作了与拉玛努扬Delta函数相伴的伽罗瓦表示，将拉玛努扬猜想归结到魏伊猜想。于是在魏伊猜想得证的同时，拉玛努扬猜想也就证明了。 像这样自守形式（模形式）与伽罗瓦表示之间的关联称为「朗兰兹对应」 （Langlands correspondence），作为「类域论」 （class field theory）的高维推广，是当今数论的中心研究课题。拉玛努扬猜想的解决是沿着从自守形式出发构造伽罗瓦表示的方向，反之怀尔斯通过证明与伽罗瓦表示相联系的自守形式的存在性而解决的问题，就是费马大定理。 设 为大于 的素数，假定方程 有非平凡整数解，用这个构成椭圆曲线 ，研究从 出发构造的伽罗瓦表示 ，从中导出矛盾，这就是证明的大致轮廓。这一证明的核心部分在于证明与伽罗瓦表示 相联系的自守形式的存在性。 怀尔斯在费马大定理的证明中导入的手法在此后20年间得到了极大的扩张，在那以前甚至被认为是梦想的伽罗瓦表示的自守性也不断得到了证明。在此虽然不能详细介绍，不过可以提一下，关于拉玛努扬Delta函数的「佐藤-泰特猜想」 （Sato-Tate conjecture) 也是用这种手法得证的定理之一。 现在转到几何方面。平展上同调的理论不仅仅是对每个代数簇 定义其 进上同调 ，而且在每个代数簇上构成 进层的范畴及其「导出范畴」（derived category)，把它们通过顺像、逆像等函子连接起来。格罗滕迪克因着加减乘除四则运算，将这些函子称为「六则运算」 (six operations）。 与格罗滕迪克创立平展上同调大约同时，在京都由佐藤幹夫、柏原正树等人创立了「 模」 （-module)的理论。所谓 模，是用层的语言来记述复流形上的线性偏微分方程组。虽然其起源与平展上同调无关，但是完成后的理论非常相似，在此也出现了六则运算。 德利涅研究了在 模理论与 进层理论两方面都出现了的「傅立叶变换」 (Fourier transform），特别留意了 模的「非正则奇点」（irregular singularity) 与 进层的「非驯分歧」 （wild ramification) 的类似。两个理论虽然有这样的类似之处，可也有不同的地方。 在 模理论中所谓「微局部分析」 （microlocal analysis）的定义在「余切丛」 (cotangent bundle）上的「特征闭链」（characteristic cycle）是很重要的，可在 进层理论中特征闭链刚刚才好不容易定义出来。在德利涅的研究、使用创自加藤和也的高维类域论的方法的先驱性研究等基础之上，特征闭链的研究正开始取得重大进展。 术语集复分析
代数学
拓扑学
代数几何
【参考文献】
数论
【参考文献】
参考书
问题解答（略） 本文译自东京大学出版会2019年日本数学会出版奖获奖作品《数学的现在 代数卷》。原题《第一講 数論幾何学～リーマン予想からエタール・コホモロジーへ》。本书中文版由高等教育出版社出版。 本文转自：求诸堂 |
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