欧拉乘积公式中的有趣结论和黎曼Zeta函数

继续前一篇欧拉级数的文章探讨欧拉级数给我们带来的不可思议的结论:

首先进行如下变换：

整理得：然后用第一行减去第二行

就得到两个神奇的有关π的美妙级数：

让我们继续回顾上面的两个等式，第一行减去第二行：

我们又得到一个优美的有关π的级数

我们把欧拉级数指数2换成z，把含有π的分数替换成ζ（z）

就得到著名的黎曼Zeta函数：

继续替换上述的两个式子：把含有π的分数替换成ζ（z），2换成z

开始假设z=1，我们得到如下，如果假设第一行的无穷级数是收敛的，那么第二行和第三行肯定也是收敛的：

你会发现，第二行和第三行左边都相等，但第二行右边大于三行右边，多以假设不成立，得到第一行级数时发散的，趋于无穷大。

我们将级数乘以1/3^z

用第一行减去第二行：

右边分母是3的倍数的全部消去得到：

我们将上式乘以1/5^z，同理然后在相减得到：右边分母是5的倍数的全部消去

重复下去就得到如下级数：你会发现左式的分母上全部是素数

就得到著名的黎曼 ζ函数与欧拉乘积公式之间的重要关系

我们假设z=1，结果是无穷大的，说明素数有无穷多个

我们假设z=2，结果又是趋于无穷的，因左边的π是个无理数

变换得到著名的黎曼 ζ函数下的欧拉乘积公式

它建立了素数与欧拉级数之间的桥梁：

也给出了一条重要结论，任意选两个自然数，他们互为质数的概率时6/π^2。

上述就是有欧拉级数延伸出来的黎曼ζ函数和欧拉乘积公式。