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1735年，28岁的欧拉解决了一个百年难题，巴塞尔问题。从当时一大堆著名数学家中脱颖而出，牛顿，莱布尼茨，伯努利家族。。。都倒在这个问题上。欧拉一战成名，并且一发不可收拾，直到他完全统治了18世纪的欧洲数学界。我们来简单回顾一下巴塞尔级数的表现形式。 巴塞尔级数 k=2时，ζ级数的和 这个结果是怎么得来的，之前的欧拉神作系列已经讲解得非常细致了。不太熟悉求解过程的同学们都可以去瞧瞧。这是一个了不起的结论，欧拉自然想到，既然这里可以取到自然数的平方倒数和，那假如就是求全体自然数的倒数和呢？ 调和级数 这就是大名鼎鼎的调和级数，这个级数是发散的，既然发散的，求和就不可能了，但是仍然有性质可挖。欧拉对于这个数列做的工作是，他得到了这个级数的一个非常好的调和级数的近似函数。 调和级数估值函数 这里的γ是欧拉常数，约等于0.57721566490153286，于是人们以后再去求解调和级数的前n项和时，就完全不必一项一项累加，直接用这个非常精准的估值公式即可。欧拉在研究了这两个级数之后，开始了更一般情况的考虑。 这里的k是自然数，如果k=1时，上面的式子是调和级数，k=2时，就是巴塞尔问题。事实上，欧拉可以选择继续让k=3,4,5...一直尝试探究下去。但是这仿佛有点机械式处理的意思，欧拉可不干。欧拉及时调整了研究方向，并最终得到了一个堪称金钥匙的法宝。 欧拉：我又来了 我们重现一下欧拉的工作： 金钥匙第一步推导 到了(5)式这里，我们暂且缓一缓，先来分析一下每步的意义。从(1)跳转到(2)式，欧拉“故意”地给(1)式左边增加一个负重，我们仿佛难以揣测欧拉做这一步的出发点在哪儿。但是这样处理之后，用(1)式-(2)式之后，我们发现，(3)式里，已经没有了偶数项，只有奇数项。我们也可以这么理解，这么做，将所有2的倍数项都隐藏起来了。接下来的(3)-(4)之后，我们就可以在(5)右边更加清晰地发现，这里已经既没有2的倍数，也没有3的倍数了。 如果这两步的过程我们能够接受，那么(5)式，再进行类似的步骤之后，我们会发现，式子的右边会逐渐剔除，2,3,5,7...这些数字的倍数项。如果给你全体自然数，让你逐步剔除2,3,5,7。。。这些数字的倍数，那么剩下的数字还会是什么？当然就只会留下素数了！ 古希腊数学家埃拉托斯特尼 在这个数字被层层淘汰的过程像极了用筛子一遍遍过滤掉杂质，最后得到结晶的过程。在素数研究领域，有个古老又很有效的方法——埃拉托斯特尼筛法。开创者是古希腊数学家埃拉托斯特尼，他也是有史以来第一个测量出地球直径的数学家。这个简单又有效找出一定范围内素数的方法，其实大家可能都已经遇到过了，这也是计算机编程初学者必须要掌握的方法了。 筛法的定义是： 给出要筛数值的范围n，找出根号n以内的素数p1,p2,p3...
筛法的具体操作 好了，回到继续欧拉的工作上来。我们继续(5)式以后的过程。 金钥匙第二步推导 请注意，这里的(7)式还不完全就是欧拉得到的金钥匙。我们检查一下上面的推导过程，虽然这里的k是从1,2延伸得来的，我们理所应当地认为后面的k也应该都是自然数。然而纵观这个公式的推导过程，我们仿佛没有用到k是自然数这个天然的限制条件，仅仅只是把k当做一个数字进行而已。欧拉显然也注意到了这点，1737年，也就是在解决了巴塞尔级数问题两年之后，欧拉将这里的k改写成任意复数s，并且s的实部，即Re(s)>1,上式成立。于是金钥匙终于现身，也就是：
金钥匙真身 这个公式也叫欧拉乘积公式，是以欧拉命名的公式里相当出彩的一支。 既然这个公式号称是金钥匙，那我们就来小试牛刀来检验一下成色。我们从全新的角度来证明“素数有无穷多个”这个经典的问题。
金钥匙证明素数有无穷多个 这里，我们只是简单地使用了一下欧拉乘积公式在s=1的特殊情况，就解决了这个经典的素数问题。我们都有个明显的印象，很多跟素数相关的，看似平淡无奇的猜想，动不动就是几百年都没有进展。欧拉乘积公式好不容易也带上了素数的结论，不去攻克素数方面的超级难题，那实在是太不应该了。上面的方法来证明素数无穷多个，其实并不比欧几里得的方法复杂多少，这些推导过程同样优美典雅。
欧拉乘积公式堪称金钥匙 黎曼接过了欧拉的这个闪闪的金钥匙，并且用自己的技术把这个工具推到极致。1859年，黎曼发表了一篇惊世骇俗的论文《论小于某给定值的素数的个数》，在这个仅仅8页里，黎曼重新研究了关于ζ(s)级数的性质，并且将古往今来关于素数个数的研究推到顶峰，一百五十多年过去了，仍然是顶峰！
逼格最高的黎曼大神 如果说上面的素数无穷多个的证明是小打小闹，那黎曼的在欧拉的基础上扩展的工作就是专业上的绝对实力了。人们想象不到，素数分布的全部奥秘会隐藏在这个极不起眼的级数中。黎曼的估计函数在大范围内与真实素数个数的吻合度简直令人咋舌！
黎曼J(x)与真实素数个数函数π(x)的吻合情况 高斯每次只把他认为成为一家成熟的结论发表出来，并且会尽力地隐藏他得到成果的路径。有人说高斯就像是一只走完沙丘就用尾巴扫平痕迹的老狐狸，那黎曼就是发表什么都像是从天而降，你不但看不到他得出这个结论的手法，甚至，你压根不能理解这样的结论怎么会出现在那个时代。
黎曼猜想 且不说他的研究领域基本上都没啥关系，黎曼几何，素数分布，黎曼积分。。。就只说在那篇8页的论文里用到的许许多多类似“明显地”，“显而易见”，“容易得到”这些词汇。这些很多在他看来根本不值得在论文里出现的重要推导过程被他一带而过，但是他过高地认为了同时代乃至后世的数学家能够达到的水平。
论在数学界的逼格，高斯输给黎曼 论文一开始发布的时候，人们那被这些“显而易见”坑得不轻。开始怀疑黎曼是不是真的已经把研究进行到了那种天人合一的境界，也许只是在跟世人开个玩笑。但是他的研究太有吸引力了，无数的数学家沿着黎曼开创的道路艰苦摸索，每隔几十年，人们都会发现当年黎曼用过某些“显而易见”是对的，这绝不是随手所得，而是经过无比详尽的推导之后，才能把最精华的内容留在论文里。再到后来，人们发现了黎曼留下的残存的手稿，甚至在黎曼去世几十年之后，人们重新整理了他的手稿，并且从中出土了非常有效的求非平凡零点的公式。至此，黎曼跻身人类最伟大的数学家前五是毫无疑义的了。
黎曼旷世论文手稿 欧拉从来都不是那种解决一个难题就放在一边的快枪手，而是一个通过表面的研究来触及问题的根本。就像他发现的金钥匙工具一样，到了黎曼这里变成了核武器，成就了人类素数研究领域的最高成就。 |
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