卡瓦列里

卡瓦列里
辽宁师范大学 孙宏安
　　卡瓦列里，B．(Cavalieri，Bonaventura)约1598年生于意大利米兰；1647年11月30日卒于意大利波伦亚．数学．
　　卡瓦列里的出生年代是他的一个门生和传记作者U．达维索(D’Aviso)提供的．卡瓦列里很小的时侯，就加入了信奉圣奥古斯都教规的耶稣会宗教团．1615年，他在米兰获得一个小教阶的职务，从此成为一个虔诚的耶稣会士．1616年，他转到比萨的耶稣会修道院任职．在那里，他有幸结识了本笃会修士B．卡斯泰利(Castelli)，此人曾在帕多瓦师事G．伽里略(Galileo)，当时是比萨大学的数学讲座主讲人．由于卡斯泰利的引导，卡瓦列里开始研究几何学，并且很快就被欧几里得(Euclid)、阿基米德(Achimedes)、阿波罗尼奥斯(Apollonius)等人的经典著作所吸引．在数学上，他表现出非凡的才能，受到卡斯泰利的重视．1617年，卡斯泰利把卡瓦列里介绍给自己的老师伽里略，此后卡瓦列里一直把自己看作伽里略的学生．1618年，卡瓦列里曾临时性地代替卡斯泰利在比萨大学主讲数学，说明他当时已具备了很高的数学水平．
　　1620年，卡瓦列里奉命到罗马述职．接着被委派到米兰的圣吉罗拉莫(Girolamo)修道院教授神学，一直到1623年．在此期间，他发展了关于不可分量方法的初步思想，这是他的主要数学成果．同时，他进一步受到教会的倚重．1621年，他被任命为红衣主教F．博罗梅奥(Borromeo)的枢机辅祭人，这位主教非常敬重卡瓦列里，经常与他探讨数学问题，后来还写信给伽里略，盛赞卡瓦列里．
　　1623年，卡瓦列里被任命为洛迪的圣彼得修道院的副院长，并成为罗马大主教钱伯利(Ciampoli)的朋友，后来，他的主要著作之一《用新方法促进的连续量的不可分量的几何学》(Geometria indivisibibus continuorum nova quadam ratione promota，1635．以下简称《几何学》)就题献给此人．1626年，他被任命为帕马的耶稣会修道院的院长，他希望能同时担任当地大学的数学主讲人，但未能实现．1626年秋，卡瓦列里在由帕马去米兰的旅途中患了痛风病，这种病使他备受痛苦并折磨了他一生．他在帕马修道院工作到1629年．在这个期间，他始终坚持数学研究工作．1627年12月16日，他兴奋地写信给伽里略和博罗梅奥，告诉他们他已经完成了《几何学》一书．1628年，卡瓦列里得知波伦亚大学的数学教授位置因担任此职的天文学家G．马古尼(Magini)去世而出缺，便写信给伽里略，请他帮助自己得到委任．1629年，伽里略写信给受命为波伦亚大学选择一位新数学教授的C．马尔西利(Marsili)，说卡瓦列里“是阿基米德之后在钻研几何学的深度和广度方面绝无仅有的人才”．同时，卡瓦列里给马尔西利寄去了《几何学》一书的手稿和一篇关于圆锥曲线及其在透镜中的应用的论文．1629年，卡瓦列里得到波伦亚大学的首席数学教职，并在这个岗位上一直工作到去世．同时，他还被委任为波伦亚女修道院的院长．
　　1635年，他的《几何学》一书正式出版，立刻获得了广大的读者，除了阿基米德的著作外，成为研究几何学中无穷小问题的数学家们引用最多的书籍．这是卡瓦列里的主要学术著作之一，它的主要内容就是不可分量方法．全书共分为7卷．第1卷阐述卡瓦列里关于平面和立体图形的一些假设．第2卷引入了不可分量方法，并且证明了一些关于不可分量总体的一般定理，其中包括有深远影响的关于平行四边形中的线段和组成它的三角形内线段关系的两个定理， 卷中主要是第2卷定理的应用——求与圆锥曲线有关的面积和体积．第6卷主要探讨与螺线有关的面积，但也涉及到关于柱面、球面、抛物面和球体的一些结果．第7卷中，进一步阐述了不可分量方法的依据，提出并证明了卡瓦列里原理．
　　1647年，卡瓦列里出版了他最后一部著作《六道几何练习题》(Exercitationes geometricae sex)．这也是一部关于不可分量方法的重要著作．在这部书里，他改进了《几何学》中提出的不可分量方法，并用这一方法处理了高于2次的代数曲线围成的面积和旋转成的体积问题，证明了相当于
 
　　的求积问题．
　　在波伦亚期间，卡瓦列里共出版了11部著作．
　　卡瓦列里的主要学术成就是他的不可分量方法．这一方法是微积分发展史上的一个重要环节．虽然由现代微积分的定义来看，是从有序的角度，而不是从连续性或不变性的角度来规定微积分的，但历史地看，它们又恰恰是由对连续性或不变性的直观认识系统发展的结果．因而，微积分在其发展中始终与几何或运动的观点以及不可分量和无穷小量的解释密切相关，它们都是对连续性或不变性的直观把握的产物．实际上，我们现在定义导数和积分的无穷序列，是在思维中无限地缩小自变量的取值区间而后得到的，这对应着历史上人们对于物理学中导致原子论的种种设想加以数学的引证．可以说，恰如从事物的真实分割(看起来是连续的)得到最小质点即原子一样，不妨认为从连续的数学量(通过思维中的连续分割)就可以得到最小的可能区间即微分．导数定义为两个这种微分的商，而积分则定义为许多(有限的或者无限的)这种微分的和．它们可以说是缘起于利用“无穷小”方法计算面积和体积的工作．
　　1．历史回顾
　　利用“无穷小”方法求积的思想可以追溯到古希腊的德谟克利特(Democritus)，他把自己的原子论思想引入数学，认为一个立体是由无数个平行于底的截面组成的．柏拉图(Plato)进一步阐述了“无穷小量”，欧多克索斯(Eudoxus of Cnidus)和阿基米德实际上还利用“无穷小”方法求出了若干几何图形的面积或体积．不过古希腊人把符合直观作为数学证明的基础之一，他们没有实无穷的观念．欧多克索斯和阿基米德采用的“无穷小”方法是一种不涉及无穷分割的方法．其作法是：为证明一个几何量S(面积、体积等)等于一个给定的量C，利用图形的几何性质，以分割法构造出两个序列｛Ln｝和｛Un｝，使得对于所有的n都有
Ln＜S＜Un且Ln＜C＜Un．
　　然后证明，当给定ε＞0，对足够大的n，有
Un-Ln＜ε，
　　或证明，当给定α＞1，对足够大的n，有
 
　　无论哪一种情况，最后都用双归谬法证明
S=C．
　　此即所谓穷竭法．阿基米德用穷竭法求出了圆的面积，球的体积和表面积，椭圆和抛物弓形的面积，一些旋转体的体积等．
　　欧洲文艺复兴后，阿基米德的包括上述成果的著作被译成拉丁文，得到广泛的流传．当17世纪的数学家们深入研究了阿基米德的著作，充分领会穷竭法的思想之后，他们深信，阿基米德等古希腊数学家必定还了解另一种更有效的研究方法，用以具体求出前述那个给定的量C，只用穷竭法是求不出C的．当卡瓦列里提出不可分量方法后，有人[如E．托里切利(Torricelli)]甚至指出，阿基米德采用的似乎正是这种方法．
　　17世纪数学家们的分析是相当正确的，阿基米德的确发明并使用了另一种方法，只是写有这一方法的著作散佚，使人们没有见到他关于这一方法的论述．1906年J．海伯格(Heiberg)在土耳其的君士坦丁堡(现名伊斯坦布尔)的一家图书馆里发现一古代手稿，其中包括一封被认为公元初就已散佚的阿基米德给埃拉托塞尼(Eratosthenes)的信，即著名的《方法》一书．在这本书中阿基米德阐述了他的另一种方法：按德谟克利特的思想，认为图形是由许多微小量组成的，如平面图形是由平行于一条给定直线的许多截线段组成的，立体图形是由许多彼此平行的截面组成的；把含未知量的图形分解为组成它的微小量，然后再用另一组微小量(线段或平面片，其组成的总体的面积和体积为已知或易于求出的)来与它们作比较；比较时应用了力学原理，赋予所有的微小量以理想的重量，于是几何图形就可看作是具有理想重量的重物，再建立一个杠杆，找一个合适的支点，使前后两组微小量取得平衡；然后通过后一组微小量的总体，通过比较求出未知量来．阿基米德把这种方法看作发现的方法(找到定量C)而不是证明的方法，由此得出的结论仍要用穷竭法加以证明(证明S=C)．可以说阿基米德所求面积、体积都是由这种方法开始的．他的这些“线元”和“面元”是“不可分量”的前身．但他的方法，就事论事，没有建立一般的计算法则，对每一问题都要从头开始．
　　阿基米德对这一方法抱有很大希望．不过他的方法并没有被同时代人所理解，并且被人们遗忘了许多个世纪．但对于“不可分量”，历史上还时时有人研究．例如11世纪萨瓦苏达(Savasorda)在其著作中就探讨过不可分量；在中世纪经院哲学家的论争——更多的是哲学论争而非数学论争中，不可分量也是一个经常论及的概念；L．达·芬奇(da Vinci)曾考虑过用无穷小量来求四面体的重心，他设想四面体是由无穷个平面片组成的．J．开普勒(Kepler)比较系统地用无穷小方法求面积和体积．在他的《测定酒桶容积的新方法》(Nova stereometria doliorum vinariorum，1615)一书中，他求出90多种旋转体的体积．开普勒的方法是把要求体积的立体划分成无穷多个无穷小的部分，即立体的“不可分量”，其大小和形状都便于求解给定的问题．例如，他把球看成是由无穷多个无穷小棱锥组成的，每个无穷小棱锥的顶点都在球心，底面在球的表面上，高等于球的半径，从而得出球的体积是半径与球表面积乘积的三分之一．
　　2．卡瓦列里原理
　　卡瓦列里全面发展了求积的不可分量方法．他的方法依据于这样一个原理：
　　如果两个平面图形夹在同一对平行线之间，并且为任何平行于这两条平行线的直线所截时截得的线段都相等，那么这两个图形的面积相等；如果每条直线(平行于上述两条平行线的)为两个图形所截得的线段的长度都有相同的比，则两个图形的面积也成相同的比．
　　类似地，在空间，如果两个立体图形夹在两个平行平面之间，并且为任何平行于这两个平行平面的平面所截时截得的平面片的面积都相等，那么这两个立体图形的体积相等；如果截两个立体所得的两组截面中，每个给定平面所截得的两个不同组的截面的面积都有相同的比例，则这两个立体的体积也成相同的比．
　　从现代分析学的观点看，这个原理所断定的实际上是：如果被积函数相等，而且积分限也相等，那么这两个积分相等；被积函数中的常数作为一个因子可以提到积分号外面而不改变积分的值．
　　这一原理在西方是由卡瓦列里提出的，此后在数学中得到相当广泛的应用．西方便称之为卡瓦列里原理．在中国古代，三国时的刘徽和南北朝时的祖冲之父子曾考虑过相同的原理，公元5—6世纪的祖暅明确指出：“缘幂势既同，则积不容异．”其中幂指面积，势指关系，积指体积．这句话的意思是“若两立体的截面面积之间的关系处处相等，则两立体的体积之间也必有同样的关系”．显然，这一原理包含卡瓦列里原理的基本内容，我们称之为“祖暅原理”或“刘祖原理”．
　　卡瓦列里采用多种方法来证明这一原理，这些证明都收入他的《几何学》第7卷．其中的一个证明如下：
　　设夹在两平行线PQ，RS之间的两个任意平面图形ABC和XYZ如图1所示，DN和OU是平行于PQ，RS的直线，且它们在两图形上的截线相等．即在DN上，JK=LM，在OU上，EF＋GH=TV；进而在任何与PQ等距的直线上，在ABC和XYZ中截得的线段都相等．下面证明ABC和XYZ的面积相等．
 
　　任取两图形之一，不妨取ABC，顺平行线PQ，RS平移到另一个图形XYZ上．这时，或者ABC与XYZ重合，因而它们的面积相等，则原理已证；或者它们只有部分重合，如图中的XMC′YThL．
　　现考察平移后两图形不完全重合的情况．由于平移保持一直线在两图形上的截线的共线关系，并且它们在平移前是相等的，平移后，它们仍然相等，例如E′F′＋TH′=TV．因而，如果E′F′+TH′不完全与TV重合，则它们的一部分重合，如TH′与TH′重合，于是E′F′=H′V，E′F′是平移后ABC的未盖住XYZ的部分，H′V是平移后未被ABC覆盖的XYZ的部分．同理可证，对每条平行于PQ的直线在两个图形上的截线，其未重合的部分(如果有的话)都是相等的．即这一平移有如下性质：若平移的图形有一部分未覆盖在另一图形上，那么后者也一定有一部分未彼覆盖；而且，在平移之后，两图形的未重合部分仍满足原理的条件．
　　现在作第二次平移：平移ABC未重合的部分，使得KL，CY落在LN，YS上，则又有VB″Z重合．如前证可知，二次平移后一个图形的仍未重合部分一定对应着另一图形的仍然未重合的部分；它们仍满足原理的条件，可以再顺RS，DN平移，又有新的重合部分和未重合部分，这一过程可以一直进行下去，一直进行到ABC与XYZ完全重合．否则，如某一图形有一部分未与另一图形重合，则另一图形也必有未重合的部分剩下．如果ABC与XYZ重合，则它们的面积相等．对立体的情况可仿此证明．
　　这一证明是巧妙而直观的．但也有一些弱点：没有证明按所采用的操作方法，两个图形未重合的部分一定是可穷竭的；也没有证明每次平移后图形的未重合部分一定小于原来的图形．而且，卡瓦列里在答复P．古尔丁(Guldin)的反对意见时声称，在一个图形中(从而在另一个图形中)“消除”未重合部分的工作可以用无穷步运算完成．
　　卡瓦列里的另一个证明是用古典的穷竭法作出的．对满足一定条件的图形(如两图形都是“广义的平行四边形”或能分解为这种四边形的图形)来说，这一证明是严格的．
　　3．不可分量方法
　　卡瓦列里把平面图形看作是由平行的等距线段组成的，把立体图形看作是由彼此平行的、等距离的平面片组成的．这些线段就是平面图形的不可分量而这些平面片就是立体图形的不可分量．卡瓦列里的具体方法是先建立两个给定的几何图形的不可分量之间的一一对应关系，并且设法使对应的不可分量具有某种不变的比例，当其中一个图形的面积或体积已求出时，就可用卡瓦列里原理求出另一个图形的面积或体积．
 
　　利用不可分量方法，卡瓦列里解决的典型问题是有关平行四边形中线段和组成它的三角形中的线段关系的一些定理．它们对后来的数学发展产生了深远的影响．一个基本的命题是：设平行四边形AD(如图2)被对角线CF分成两个三角形ACF和DCF，则平行四边形(面积)是每个三角形(面积)的两倍．卡瓦列里这样证明：先作EF=CB，再作HE∥CD，BM∥CD，则HE=BM，则△ACF中所有线段与△DCF中所有线段对应相等，从而两个三角形相等，因而平行四边形AD中所有线段之和等于每个三角形中的和的两倍．用类似的但有更大难度的方法，卡瓦列里进一步证明了平行四边形内线段平方的和等于每个三角形内线段平方和的三倍．利用这一命题，易证圆锥的体积是其外接圆柱体积的三分之一，抛物线弓形是其外接矩形面积的三分之二等．这些都是阿基米德已得出的结果，但卡瓦列里采用统一的方法来处理，不仅使许多利用穷竭法勉强解决的问题，现在可以很方便地求解，如椭圆面积和球体积等，而且使认识深化，得出了更深刻的结果．卡瓦列里沿处理构成平行四边形的线段的幂和组成平行四边形的三角形内相应线段的幂的比，不断前进：他已求出两组线段之和的比为2∶1；线段平方和之比为3∶1；接着又求出两组线段立方和之比为4∶1；4次幂和之比为5∶1(在此基础上他求出抛物线弓形绕其弦旋转而成的立体的体积)；线段的5次幂和之比为6∶1；6次幂和之比为7∶1等等；最后，两组线段的n次幂和之比为(n+1)∶1．即得出
 
　　按他的平面图形由线段构成的思想，Σa表示一个以a为边长的正方形的面积；类似地，Σa2表示一个以Σa为截面(以a为边长)的正方体的体积，因而有
 
 
并验证了n=5，6，…，9的情况，n=1，2的情况已为阿基米德所证明，阿拉伯人已知n=4的情况．卡瓦列里的工作是前人工作的推广和统一化．虽然在卡瓦列里之前，P．费马(Fermat)和G．罗贝瓦尔(Roberval)用别的方法也得到了这一结果，但1639年他第一个公开发表了这一公式，对17世纪无穷小分析的发展起了重要的推动作用．可以说这是在无穷小分析中指出更一般的代数运算法则的可能性的第一个定理．后来由牛顿和莱布尼茨提出而成为积分学的基础．
　　由此公式出发，卡瓦列里立即证明了在单位区间上，曲线y=xn(n为正整数)下的图形面积为
 
　　这个图形围绕“弦”旋转而成的立体体积为
 
　　卡瓦列里极大地推进了不可分量方法，不仅把它视为发现的方法，也试图使它成为证明的方法．这样一来，就必须按数学证明的基本要求，使概念严格化，即产生了这样一个问题：不可分量究竟是什么？
　　卡瓦列里了解这一问题的复杂性，因而想建立一种独立于数学基本要求的方法，使得无论概念是怎样形成的，这种方法都是有效的．他甚至认为，严格性是哲学的事，而不是几何学的事．卡瓦列里没有肯定连续量可以分解为他并没有给出明确定义的不可分的元素，他也没有讲清楚它们究竟是实在的还是潜在的无穷小量．
　　卡瓦列里从未解释过没有厚薄的不可分量是怎样构成面积和体积的，但在许多场合，他曾把不可分量方法和运动的观点联系起来，认为面积和体积可以看作是由不可分量的运动产生出来的．不过他并没有将这种有启发性的观点发展成为几何方法，这一点为他的后继者E．托里切利(Torricelli)所实现，结果产生了I．牛顿(Newton)的流数法．卡瓦列里的不可分量在J．沃利斯(Wallis)的《无穷算术》(Arithmetica infinitorum，1655)中有所应用，在牛顿和G．莱布尼茨(Leibniz)的数学思想中也有所反映，如前者的“瞬”概念和后者的“微分”概念中就有不可分量的影子．卡瓦列里的思想，对微积分的发展起了巨大的启发作用．
　　当然卡瓦列里的不可分量方法与微积分尚有较大的距离，主要表现在：(1)没有极限概念；(2)没有采用代数或算术方法，而它们是定义微积分的前提之一；(3)过于强调面积和体积的比而不是直接求积．与阿基米德相比，卡瓦列里在求积方法的统一性上迈出了决定性的一步；与牛顿、莱布尼茨相比，卡瓦列里可以说是他们的直接前驱之一．因而，卡瓦列里的工作是由古希腊人的方法向现代微积分过渡的一个不可缺少的环节．正如莱布尼茨在给G．曼弗雷迪(Manfredi)的一封信中所说：“几何学中的卓越人物、完成了这一领域中义勇军任务的开拓者和倡导者是卡瓦利里和托里切利，后来别人的进一步发展部得益于他们的工作．”
　　4．其他成就
　　卡瓦列里在《几何学》第1卷中给出了一个用几何形式表示的微分中值定理，后来就称为卡瓦列里定理．
　　卡瓦列里将J．纳皮尔(Napier)创建的对数方法引入意大利并在三角学、应用数学中作了有价值的发展．如在《一百个不同的问题》(Centuria di varii problemi，1639)一书中讨论了由两数的对数求其和、差的对数的方法，这是后来许多数学家包括C．高斯(Gauss)都进行过研究的问题．
　　卡瓦列里还探讨了古希腊人二次曲线理论的起源及其在透镜和声学中的应用，进而产生构造反射望远镜的思想，按G．皮奥拉(Piola)与A．法瓦罗(Favaro)的说法，他的这种思想早于D．格雷戈里(Gregory)和牛顿．卡瓦列里还给出了非平坦球面透镜焦距的计算方法；解释了关于阿基米德以镜子聚焦致燃的传说．在声学领域中，卡瓦列里尝试进行了P．维特鲁维厄斯(Vitru-vius)共鸣瓶的考古重建工作，并用在大剧院里以放大声音．在《几何学》和《六道几何练习题》中卡瓦列里还给出了采用射影线束来画二次曲线的方法，可以认为是J．施泰纳(Steiner)工作的先驱．