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张奠宙先生的在《小学数学教材中的大道理》一书《深入浅出,平易近人——怎样测量长度、面积和体积》中说，测量过程的本质一样，数学测量的本质是给每一个线段一个合适的数，面积是一个数。史宁中教授在《小学数学基本概念和运算法则》中对三者的刻画是：长度是一维空间图形的度量，面积是二维图形的度量，体积是三维图形的度量。这三种度量的基础是直线段的长度，直线段长度的基础是两点间的直线距离。因此度量必须确定度量单位，所谓的度量就是：计算所要度量图形所包含多少个度量单位。面积和体积度量单位的基础是一维空间的长度单位，这个长度单位是人为规定。 王永春老师在《小学数学核心素养论》对这几个核心概念的阐述分别做了阐述。 长度（一维图形）一个数量就可以确定、表达线段的长短（大小），用长度单位度量一条线段的结果（量数），就是该线段的长度。连接两点间线段的长度，又叫做两点间距离。线段有两个含义：一个表示以AB为端点的线段，一个表示线段AB的长度。 面积（二维图形）必须两个量确定、表达一个面的大小。根据《辞海》中关于“面积”的定义，度量对象为平面或曲面上的某个区域。而这个区域是通过封闭图形来反映的，也就是说用一维的边线“围”出了二维的面。张奠宙先生认为，面积是人与生俱来的直觉，反复讨论什么是表面，意义不大。也就是说，在确定度量对象教学中，要淡化“表面”的感知与概括。正如张奠宙先生所言，“面积是人与生俱 来的直觉”。实际教学显示，学生对“面”有着 丰富的感知经验，能正确举例、指认面积度量 的特定区域（即使有学生没有摸全整个面，甚 至只用手指比划了面的边线，这也是直观感知。比如长方形的面积，仅仅知道长或宽的大小，无法确定这个长方形的面积，必须知道长和宽这两个数量。个人认为五种基本的平面图形都是遵循这个原则，比如圆的面积是 ΠR2 实际上是ΠR×R。 体积（三维图形）必须三个数量才能确定、表达物体或空间的大小。与面积的度量类比，比较容易理解立体图形的体积单位是单位正方体，长方体的体积公式作为其它立体图形的体积公式推导的逻辑起点。 宋煜阳老师对面积的研究 一、教学实践 Law （一）指认和表征面积的度量对象 1. 举例描述，指认面积的度量范畴 师：今天我们来研究“面积”。听说过面积 吗？能举个例子说一说吗？ 生：（拿起数学课本，边摸课本封面边口 述）书本封面的大小就是它的面积。 师：刚才你用手比划了一个范围，课本封 面的面积是指哪个范围的大小？ 生：是指整个长方形这个范围的大小。 教师印画出长方形，指认并介绍用斜线来 表示这个范围。 结合学生举例提到的黑板、课桌面的面 积，要求学生比划和描述这些面大小的范围。 小结指出：面积是讲一个范围的大小的。 2. 解读信息，图示表征面积的含义 师：草地有面积吗？它表示哪个范围的大小？ 生：有面积，表示整块地范围的大小。 师：羊村里的小羊们正在讨论草地的大小 呢。这是懒羊羊的信息（图4），你能看懂吗？  生：看不懂。因为没看到地，不知道懒羊羊的地有多大。 师：这是沸羊羊的信息（图5），能听懂吗？ 生：能听懂。意思是把懒羊羊的地看成一 份，沸羊羊的地有这样的两份。 师：请大家试着画一画懒羊羊和沸羊羊的 地，并画上斜线来表示地的范围。 学生独立画图后选取部分学生的作品，组 织交流。 呈现四幅作品，讨论：这些图符合“沸羊羊 的地是懒羊羊的两个那样大”的意思吗？  学生对前三幅（图 6、图 7、图 8）认可，对图 9提出异议。 生：面积是需要围起来的，它没有围起来， 不符合要求。 生：这是线段，封闭图形才有面积。 师：说得真好！这幅图表示的是两条线段 长度的 2倍关系，而面积是讲范围大小的。只 有封闭图形才有确定的范围，才有它的面积。 （二）借助图形来表示面积数 1.用数来记录面积 师：这三幅图（图 6、图 7、图 8）虽然形状不 一样，但都表示出了沸羊羊的地是懒羊羊的两 倍。如果把懒羊羊地的面积看作“1”，那么沸 羊羊地的面积怎么表示？ 生：用2来表示。 师：面积的大小，我们可以用数来记录。 2. 用统一的正方形作为面积单位进行计数 组织讨论美羊羊和沸羊羊的地（图10），哪个面积大？学生提出以下三种方法。 方法一：把两个图形叠在一起比较，多出来的部分剪下来再比，直至比出结果。 方法二：先量出正方形的边长和长方形的长、宽，再算出面积，就可以知道哪个面积大了。 方法三：拿小正方形放到两个图形里面摆一摆，谁用到的小正方形的数量多，谁的面积就大。  师：同学们觉得这些方法怎么样？ 讨论得出：方法一比较麻烦，方法二还没有学过，方法三值得尝试。 学生独立尝试用小正方形在两个图形内画一画、数一数，记录小正方形的个数。反馈学生的作品（图11、图12、图13），展开交流。  师：同样是美羊羊的那块地，它的面积怎 么有的是 9 个小正方形，有的是 16 个小正方 形，还有的是20个小正方形呢？ 生：因为小正方形的大小不一样。 生：用不同的小正方形去量，量出来的个 数就不一样了。 师：是啊，如果用各自不同的正方形去量， 量出来的面积结果就不一样了。所以，测量面 积的时候需要统一的正方形作为标准，叫做面积单位。那么，美羊羊和沸羊羊地的面积应该 是几个小正方形呢？ 生：美羊羊地的面积是 9 个小正方形，沸 羊羊地的面积是8个小正方形。 师：刚才沸羊羊地的面积用 2 来表示，现 在怎么用8来表示了呢？ 生：因为前面是把懒羊羊地的面积看成 1 的，现在是把小正方形看成1的。 生：懒羊羊地的面积其实是4个小正方形。 师：通过刚才的研究发现，面积的大小可 以用正方形作为面积单位来数，用“几个正方 形”来表示它的测量结果。 （三）数中想形，辨析概念 1.根据面积数想图形形状 出示慢羊羊村长的信息“我的地有 8个小 正方形那样大”，让学生猜猜这块地的形状，并 在方格图里画一画。 呈现学生的作品（图 14），判断讨论：这些 作品形状不同，面积都表示8个小正方形吗？  确认后小结得出，面积数相同，形状可以 不同。 2. 面积相同，周长可能不相同 呈现慢羊羊村长地（图15）和灰太狼地（图 16）的形状，出示灰太狼的信息“我的地和慢羊 羊地的面积一样大，而且周长也一样长”，讨 论：灰太狼骗我们了吗？  生：没有骗我们。 生：骗了！面积是一样大的，都是 8 个小正方形，可周长不一样长。 组织学生对两幅图的周长进行指认，得出图 15的周长有 12条小正方形的边长，图 16的周长有14条小正方形的边长。 呈现图 14的前三幅图，讨论指认：这些是同学们自己画的慢羊羊地的形状，面积都是 8个小正方形，它们的周长相同吗？ 通过数数确认，三幅图的周长分别为 12、14、18条小正方形的边长。 梳理后小结得出：面积相同的图形，周长不一定相同。 以下的图片是观看度量主题讲座时拍下来的。个人感觉和今天的主题很吻合，
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