康托尔

康托尔
李娜 张锦文
(河南大学)(中国科学院软件研究所)
　　康托尔， G．F．L．Ph．(Cantor，Georg FerdinandLudwig Philipp)1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷．数学、集合论．
　　康托尔的祖父母曾居住在丹麦的哥本哈根，1807年英国炮击哥本哈根时，他们家几乎丧失了一切，随后迁往俄罗斯的圣彼得堡，那里有康托尔祖母的亲戚．康托尔的父亲乔治·魏特曼·康托尔(George Woldemar Cantor)年轻时，曾在圣彼得堡经商．后来，在汉堡、哥本哈根、伦敦甚至远及纽约从事国际买卖．1839年由于某种原因破产了．但不久，他又转到股票交易上，并很快取得了成功．1842年4月21日，魏特曼与 们婚后有六个孩子，康托尔是他们的长子．1856年，康托尔随同全家移居德国的威斯巴登，并在当地的一所寄宿学校读书．后来在阿姆斯特丹读六年制中学．1862年，开始了他的大学生活．他曾就学于苏黎世大学、格丁根大学和法兰克福大学．1863年，他父亲突然病逝，为此，康托尔回到了柏林，在柏林大学重新开始学习．
　　在那里，他从当时的几位数学大师K．W．T．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)、E．E，库默尔(Kummer)和L．克罗内克(Kro-nechen)那里学到了不少东西．特别是受到魏尔斯特拉斯的影响而转入纯粹数学．从此，他集中全力于哲学、物理、数学的学习和研究，并选择了数学作为他的职业．可是，最初他父亲并不希望他献身于纯粹科学，而是力促他学工．但是，康托尔越来越多地受到数学的吸引．1862年，年轻的康托尔做出了准备献身数学的决定．尽管他父亲对他的这一选择是否明智曾表示怀疑，但仍以极大的热情支持儿子的事业．同时还提醒康托尔要广泛学习各科知识，他还极力培养康托尔在文学、音乐等方面的兴趣．康托尔在绘画方面表现出的才能使整个家庭为之自豪．
　　由于康托尔一开始就具有献身数学的信念，这就为他创立超穷集合论，取得数学史上这一令人惊异的成就，奠定了基础．尽管19世纪末他所从事的关于连续性和无穷的研究从根本上背离了数学中关于无穷的使用和解释的传统，从而引起了激烈的争论乃至严厉的谴责，但是他不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫了超穷集合论．也正是这种坚定、乐观的信念使康托尔义无反顾地走向数学家之路并真正取得了成就．
　　1866年12月14日，康托尔的第三篇论文“按照实际算学方法，决定极大类或相对解”(In re mathematica ars proponendlpluris facienda est quam solvendi)使他获得了博士学位．这时，他的主要兴趣在数论方面．1869年，康托尔在哈雷大学得到教职．他的授课资格论文讨论的是三元二次型的变换问题．不久，任副教授，1879年任教授，从此一直在哈雷大学担任这个职务直到去世．1872年以后，他一直主持哈雷大学的数学讲座．
　　在柏林，康托尔是数学学会的成员之一．1864—1865年任主席．他晚年积极为一个国际数学家联盟工作．他还设想成立一个德国数学家联合会，这个组织于1891年成立，康托尔是它的第一任主席．他还筹办了1897年在苏黎世召开的第一届国际数学家大会．1901年，康托尔被选为伦敦数学会和其他科学会的通讯会员或名誉会员，欧洲的一些大学授予他荣誉学位．1902年和1911年他分别获得来自克里斯丁亚那(Christiania)和圣安德鲁斯(St．Andrews)的荣誉博士学位．1904年伦敦皇家学会授予他最高的荣誉：西尔威斯特(Sylvester)奖章．
　　1874年初，康托尔经姐姐G．索菲(Sophie)介绍，与瓦雷·古德曼(Vally Guttmann)订婚，并于同年仲夏结婚．他们共有五个孩子．那时，哈雷大学教授的收入很微薄，康托尔一家一直处在经济困难之中．为此，康托尔希望在柏林获得一份收入较高、更受人尊敬的大学教授的职位．
　　然而在柏林，康托尔的老师克罗内克几乎有无限的权力．他是一个有穷论者，竭力反对康托尔“超穷数”的观点．他不仅对康托尔的工作进行粗暴的攻击，还阻碍康托尔到首都柏林工作，使康托尔得不到柏林大学的职位．由于他的攻击，还使数学家们对康托尔的工作总抱着怀疑的态度，致使康托尔在1884年患了抑郁症．最初发病的时间较短，1899年，来自事业和家庭生活两方面的打击，使他旧病复发．这年夏天，集合论悖论萦绕在他的头脑中，而连续统假设问题的解决仍毫无线索．这使康托尔陷入了失望的深渊．他请求学校停止他秋季学期的教学，还给文化大臣写信，要求完全放弃哈雷大学的职位，宁愿在一个图书馆找一份较轻松的工作．但他的请求没有得到批准．他不得不仍然留在哈雷，而且这一年的大部时间是在医院度过的．同时，家庭不幸的消息也不断传来．在他母亲去世三年后，他的弟弟G．康士坦丁(Constantin)从部队退役后去世．12月16日，当康托尔在莱比锡发表演讲时，得到了将满13岁的小儿子G．鲁道夫(Rudolf)去世的噩耗．鲁道夫极有音乐天赋，康托尔希望他继承家族的优良传统，成为一个著名的小提琴家．康托尔在给F．克莱因(Klein)的信中不仅流露出他失去爱子的悲痛心情，而且使他回想起自己早年学习小提琴的经历，并对放弃音乐转入数学是否值得表示怀疑．到1902年，康托尔勉强维持了三年的平静，后又被送到医院．1904年，他在两个女儿的陪同下，出席了第三次国际数学家大会．会上，他的精神又受到强烈的刺激，他被立即送往医院．在他生命的最后十年里，大都处在一种严重抑郁状态中．他在哈雷大学的精神病诊所里度过了漫长的时期．1917年5月他最后一次住进这所医院直到去世．
　　康托尔的工作大致分为三个时期，早期，他的主要兴趣在数论和经典分析等方面；之后，他创立了超穷集合论；晚年，他较多地从事哲学和神学的研究．康托尔的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域．这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一．
　　1874年，29岁的康托尔就在《克雷尔数学杂志》(Crelles Jo-urnal für Mathematik)上发表了关于超穷集合理论的第一篇革命性文章，引入了震憾知识界的无穷的概念．这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数 Zahlen)．尽管有些命题被指出是错误的，但这篇文章总体上的创造性引起了人们的注意．康托尔的集合论理论分散在他的许多文章和书信中，他的这些文章从1874年开始分载在《克雷尔数学杂志》和《数学年鉴》(Mathemati-sche Annale)两种杂志上．后被收入由E．策梅罗(Zermelo)编的康托尔的《数学和哲学论文全集》(Gesammelte Abhandlangenmathematischen und philosophischen Inhelts)中．1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》 四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果．1883年，康托尔认识到，要想对无穷的新理论作进一步推广，必须给出较前四篇系列文章更为详尽的阐述．随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论．他在第五篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题，其中包括回答反对者们对实无穷的非难．这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》(Grundlageneiner allgemeinen Mannigfaltigkeits lehre，ein mathematisch-philosophischer Versuch in der Lehre des Unendlichen)(以下简称《集合通论基础》)为题作专著单独出版．康托尔最著名的著作是1895—1897年 Mengenlehre)(共两卷)．
　　下面分述康托尔的主要工作．
　　1．三角级数
　　康托尔早年对数论、不定方程和三角级数极感兴趣．似乎是微妙的三角级数激发他去仔细研究分析的基础．与三角级数和傅里叶级数唯一性有关的问题，促使他研究E．海涅(Heine)的工作．康托尔从寻找函数的三角级数表示的唯一性的判别准则开始了他的研究．
　　后来，他在H．施瓦兹(Schwarz)的启发下证明了：假定对同一函数f(x)，存在两个对每个x都收敛到同一值的三角级数表达式，将两式相减，得到一个0的表达式，同样对所有x的值收敛：
0=C0+C1+C2+…+Cn+… (1)
　　 
　　1870年3月，康托尔发表了一个关于唯一性定理所需要的初步结果．后来，人们把它叫康托尔-勒贝格(Lebesgue)定理．同年4月，康托尔证明了(pp．80—83)：当f(x)用一个对一切x都收敛的三角级数表示时，就不存在同一形式的另一级数，它也对每个x收敛并且代表同一函数f(x)．在另一篇论文(pp．84—86)中，他给出了上述结果的一个更好的证明．
　　康托尔还证明了唯一性定理可以重新叙述为：如果对一切x，有一个收敛的三角级数
 
　
　　等于零，则系数an和bn都是零．
　　1871年，康托尔将这个结果推广到可以存在着有穷多个例外的点．到了1872年，他又将结果进一步推广到无穷多个例外的点([8]，pp．92—108)．
　　为了描述这种点所构成的集合，他引进了点集的导出集的概念．为了说明这些无穷例外点的性质，他以一集合的导出集的性质为标准，对无穷集作了一次分类．
　　2．无穷集的分类(Ⅰ)
　　设给定一集合P，P的一阶导出集为P＇，二阶导出集为P″，…，v阶导出集为P(v)．P为第二种集合，如果
P′，P″…P(v)，…
　　皆为无穷．此处，P′可不包含于P，但P″， ，…中的点皆属于P′．P为第一种集合，如果P(v)只含有有穷多个点．
　　在第二种集合的情况下，P＇可含有不属于P的点，而高阶导出集并没有引入新点．他还定义P(∞)为包括那些属于一切P(v)的点集，称为“p的∞次导出集”．
　　3．无理数理论
　　由于定义导出集要用到极限的概念，而极限的存在又必须以实数系为前提，因之，康托尔在不预先假定无理数存在的条件下，利用有理数，建立了一个令人满意的无理数理论．他通过“基本级数”(现在我们叫做基本序列或柯西序列)引入了无理数．他的作法与R．戴德金(Dedekind)从几何方面作的处理截然不同．对于有理数，他在1883年的一篇文章([8]，pp．165—204)中说，巳经没有必要去讨论它，因为这方面的工作已经由H．G．格拉斯曼(Grassmann)在他的《算术教本》 (Lehrbuch der Arithmetik，1861)和J．H．T．缪勒(Müller)在他的《一般算术教程》(Lehrbuch der allgemeinen Arithmetik，1855)中完成了．
　　康托尔在他的《关于无穷线性点集(5)》中，给出了无理数理论较详细的内容．他引进一个新的数类——实数，它既包含有理数又包含无理数．他从有理数序列｛an｝开始研究，这种序列满足：对于任何一个给定的正有理数ε＞0，序列中除去有限个项以外，彼此相差都小于ε，亦即对于任意的正整数m一致地有lim(an+m-an)=0成立．这样的序列叫基本序列．每个这样的序列定义一个实数，记作b．在这篇文章里，康托尔还定义了实数的四则运算和两个实数的不等关系，证明了：实数系是完备的．
　　康托尔进一步得到：任意的正实数r可以通过如下形式的级数来表示：
 
　　其中系数cr，满足不等式：0≤cr≤r-1．(2)式现在叫做康托尔基数．
　　实数系建立以后，可知直线上每一点都有对应的实数．但是，对每一实数，是否直线上都有一相应的点？这必须通过公理才能保证．康托尔在这篇论文里把它作为公理提了出来．因此这条公理又被称为康托尔公理．据此，实数集与直线上的点集就有了一一对应．
　　4．无穷集的分类(Ⅱ)
　　康托尔对无穷集的第二种分类标准是建立在集合论中的．他的这种思想出自1873年11月他给在布伦兹维克的伙伴戴德金的一封交流信中，并在1874年的论文“关于一切代数实数的一个性质”里正式提出．他以“一一对应”为标准，对于凡能和正整数构成一一对应的集合都称为可数集．这是最小的无穷集．不久，康托尔证明了：有理数是可数的；而全体实数是不可数的．
　　1873年11月他给出了有理数集合可数的第一个证明([8]，pp．115—118)；但他的第二个证明([8]，pp．283—356)是现在常采用的．康托尔把有理数排列成如下的形式(下图)：在一个半平面上，最上面一排称为第一行，标以数1，从上而下，分别称为第二行，第三行，…，顺次标以数2，3，…．每行正中间为0列，标以数0．从中间开始向右，顺次为1列，2列，…，从0列向左，顺次为－1列，－2列，…等等．在m行n列相交处放置有理数
 
　　
集与正整数集构成一一对应．这就证明了有理数集可数．
　　更让人惊讶的是，康托尔还证明了所有代数数的全体所构成的集也是可数的．这里所谓代数数就是满足下面代数方程
a0xn+a1xn-1+…+an=0
　　的数，其中ai(i=0，1，2，…，n)都是整数．
　　为了证明这一点，康托尔对任一个n次代数方程指定一个数(叫高)N如下：
N=(n-1)+|a0|+|a1|+…+|an|．
　　其中ai(i=0，1，…，n)都是这个方程的系数．数N是一个正整数．对每一个N，以N为高的代数方程只有有限个．因此它们的全部解也只有有限个，除去重复的之外，所对应的代数数也只有有限个，设为φ(N)．他从N=1开始，对于所对应的代数数从1到n1给以标号；对应于N=2的代数数从n1+1到n2给以标号；依次下去．由于每一个代数数一定会编到号，并且必与唯一的一个正整数相对应，从而所有代数数的集合是可数的．
　　1873年12月7日，康托尔还成功地证明了实数集和正整数集之间不存在一一对应．他曾给出两个证明，第一个证明在前面提到过的1874年的那篇文章里．第二个证明([8]，pp．278—281)比第一个证明复杂得多，但它不依赖于无理数的技术．今天大多数教科书中采用的是他的第二个证明．其实，他主要证明区间(0，1]中的点不可数．
　　在十进制下，0与1之间的每个实数都可以写成0．p1p2p3…这样形式的无穷小数．并约定将有理数写成无穷小数，如
 
　
　　假设实数集(0，1]是可数的，将其元素全部枚举出来，得到序列
　　a1，a2，a3，…，an，… (3)
　　于是正整数集与实数集(0，1]之间可构成一一对应：
 
 
　　现在构造一个数b=0．b1b2b3…bk…，其中
 
　
　　则b是0与1之间的其数字都是4或5的一个无穷小数．并且它的第K位数字bk≠pKK，所以b与(3)中任何一个数都不相同．这就是说，数列(3)并没有把(0，1]中的数枚举完．因此，假设(0，1]可数是错误的．故(0，0]不可数．
　　值得注意的是：上述证明中，康托尔在构造数b时，那里的数字4和5并不起什么特殊的作用．只用了b的一种性质：即b的第K位数字bk与(3)式中第K个数的第K位数字pkk不同．其实，与pkk不同的其余九个数字都可以作为bk．在证明中起决定作用的是对角线上的数字pkk．这种证明方法称为康托尔对角线法．
　　在发现了两个不同的无穷集(整数集和实数集)以后，康托尔开始考虑是否还有更大的无穷．他首先想到，平面上的所有的点构成的集合是否就是那更大的无穷．三年之后，他证明了：一条直线上的点和整个Rn(n维空间)中的点可以构成一一对应．这个结果和他始料的相反．1877年6月他写信给戴德金，请审查他的证明，并说：“我见到了，但是简直不能相信它．”(Briefweichsel Cantor-Dedekind，p．34)康托尔关于一直线中的点和Rn中的点构成一一对应的思想是：把单位正方形中的点和(0，1)线段上的点之间构成一一对应．
　　设(x，y)是单位正方形内的一个点．x是(0，1)中的点．设x，y都表示成无穷小数(当为有限小数时，写成9的无限循环)．我们把x和y的小数分成一组一组的，每一组都终止在第一个非零的数字上．例如
 
　
　　令 z=0.3 01 02 7 4 06 005 8 6 04 …
　　其中各组数字是：先排x的第一组，再排y的第一组，然后排x的第二组，y的第二组，依次下去．如果两个x或两个y有不同的小数位数字，则所对应的两个x不同．这说明(x，y)→z是一对一的．反之，对于任意的z∈(0，1)，把z的小数也像上面那样分组，并把上述过程倒过去使用，作出相应的x和y，则(x，y)是单位正方形中的点，所以上述映射是一一的．但它是不连续的．粗略地说，对应于彼此靠近的x点的(x，y)点不一定靠近，反之亦然．
　　5．点集理论
　　康托尔的点集理论，包含了大量的定义、定理和例子．例如，“闭包”、“稠密集”和“良定义集”等概念．康托尔还把一个闭的并且在它自身是稠密的集合叫“完备的”．他还给出了一个著名的三分集的例子，后来人们把它叫做“康托尔集”，它是一个完备的不连续集．这个集合被定义在[0，1]区间，它的所有点满足公式
 
　
　　其中Cr取值0或2．
　　他还给出了“处处稠密”集的定义，指出了处处稠密集和导集之间的联系．
　　康托尔点集理论中的第二个重要问题是：讨论无穷集合的基数，并按基数对集合进行分类．他给出了一些很重要的结果．另外，康托尔的可除容度理论使一些数学家感兴趣，并将其应用到微积分的某些定理的推广上．
　　6．初等集合论
　　康托尔把集合定义为“把我们的感觉或思维所确定的不同对象(称之为集合的元素)汇合成一个总体”(《数学年竖》，1895，pp．481—512)．在他早年的论文中，他有时使用“杂多”(Mannig-faltigkeit)一词代替集合．一个集合包含它的元素(或分子)，反过来这些元素属于集合．一给定集合S的一个子集是：它的所有元素都是S的元素；子集与元素不同，它是S的一部分．一个集合可以用列出它所有元素的方法来表示，如集合｛1，2｝；或者用一个性质来刻画它的元素．在每一种情况下，有相同元素的两个集合A和B，称为相等．记作A=B．至此可以看到，康托尔的集合论类似于G．布尔(Boole)的类理论，但更加复杂．
　　两个集合S和T称之为等价的，如果在它们之间存在一一对应，记作S T．
　　一个集合的基数是一切等价集合所共有而其他集合不具有的东西．集合P的基数被记作 ．这里两道水平线表示双重抽象．如果P有穷， 就是一个自然数；如果P无穷， 不是自然数，这个推广可借助对无穷所下的新定义而极易达到．我们说，一个集合是无穷的，当且仅当它能与它的一个真子集一一对应．
　　正如有穷集合的基数可比较，无穷集合的基数也可比较．因为如果任一集合S等价于集合T的某一子集但不等价于T本身，那么S的基数小于T的基数．
　　康托尔还借已知集合定义了构成新集合的并、交、笛卡儿积和嵌入等运算．除此之外，还定义了一种特别重要的集合，叫集合S的幂集．它是S的一切子集的集合(在S的子集中包括S本身和空集)，他常用“ S”表示，这里的字母 取自德文词Untermenge．现在人们则喜欢用P(S)表示S的幂集．
　　引进集合的运算以后，康托尔又定义了基数的一般算术，包括加、乘和幂运算．当考虑无穷集时，由定义所得的结果在许多方面与自然数算术不同．
　　7．超穷数
　　康托尔关于良序集和序数的理论，发表在1879年到1884年的《数学年鉴》杂志上．后来这些文章都被收入题为《关于无穷线性点集(5)》中．
　　康托尔指出：自然数序列1，2，3，…是从1开始，并通过相继加1而产生的．他把这种通过相继加1定义有穷序数的过程概括为“第一生成原则”．将全体有穷序数集称为第一数类，用(Ⅰ)表示，显然其中无最大元．但康托尔觉得，用一个新数ω来表示它的自然顺序没有什么不妥，这个新数ω是紧跟在整个自然数序列之后的第一个数——第一个超穷序数．从ω出发运用第一生成原则，可以得到一个超穷序数序列：
　　ω，ω+1，ω+2，…，ω+n，… (4)
　　在(4)里，没有最大数．不妨用2ω来表示它．继续使用第一生成原则，得
2ω，2ω+1，2ω+2，…，2ω+n，…
　　在这一过程中，可以把ω看成自然数(单增序列)的一个永远达不到的极限．不过，康托尔仅仅强调ω是作为紧跟在全体自然数n∈N之后的第一个序数．它比所有的自然数n都大．第二生成原则是：给定任意有特定顺序、但其中无最大元素的集合，可以作为原集合的极限或后继者而得一新序数．
　　反复运用这两个生成原则，就能产生无穷多个序数，如
ω，ω+1，…，n0ωμ+n1ωμ-1+…
+nμ-1ω+nμ，…，ω∞，…
　　等等．它们的全体构成第二数类，记为(Ⅱ)．这些序数的基数都是可数的．接着，康托尔证明了：第二数类的基数不可数，他把这个基数记作 ，第二数类中也无最大序数．根据第二生成原则，在这些新序数之后又有一新序数ω1．这是第三数类的始数．如此逐步上升可以得到一系列的始序数
ω1，ω2，ω3，…，
　　与其相应的基数为：
 1， 2， 3，…．
　　如果无限制地使用第一和第二生成原则，第二数类似乎不存在最大元素．为此，康托尔引出了第三生成原则——限制原则．限制原则的目的在于保证，一个新数类的基数大于前一数类的基数而且是满足这个条件的最小数类．
　　值得注意的是，康托尔的超穷数理论，不同于以往数学家们在变量意义下使用的无穷．他说，有穷集和无穷集的重要差别在于：在有穷集的情况下，不论其中元素的顺序如何，所得的序数相同；对无穷集来说，由于元素顺序不同，从一无穷集可以形成无穷多个不同的良序集，因而得到不同的序数．为了强调超穷序数是一种实无穷，是被看作象实数那样具有真实数学意义的数，在这篇文章中，他选用了ω代替∞．他还期望所引进的这些超穷序数能像无理数、复数那样，最终被数学家们所接受．
　　限制原则引进后，康托尔考虑了数集的顺序和它们的基数．他指出：(Ⅰ)和(Ⅱ)的重要区别在于(Ⅱ)的基数大于(Ⅰ)的基数．(Ⅰ)和(Ⅱ)的基数分别称为第一种基数和第二种基数，
　　康托尔在引进超穷基数以及相应的超穷算术的过程中，用了一个很重要的概念——良序集．
　　定义 给定良定义集，如果它的元素按确定的顺序排列．依照这个顺序，存在这个集合的第一个元素，而且对每个元素都存在一个确定的后继(除非它是最后一个元素)．这样的集合称为一个良序集．
　　显然，自然数集是良序的．数类(Ⅰ)与(Ⅱ)都是良序的．良序集的概念对于区别有穷集和无穷集起了重要的作用．
　　接下来，康托尔引进了无穷良序集的编号——它用于刻画给定集合中元素出现的顺序．他还指出，这个新概念赋予超穷数一种直接的客观性．他证明了：给定任何一个可数无穷的良序集，总存在(Ⅱ)中的一个数能够唯一地表示它的顺序或编号．因此，从一个简单的可数集出发，就可以产生不同的良序集，如正整数这个可数无穷集，可以形成序数为
ω，ω+1，ω+2，…，2ω，…，ωω，…
　　等无穷多个良序集．
　　如果两个良序集相似，则它们有相同的编号．因此，给定任意的(Ⅰ)或(Ⅱ)中的数α，按照自然顺序选出先于α的所有元素，则所有与之相似的良序集的编号由α唯一确定．以下三个良序集
　　 ｛α1，α2，α3，…，αn，αn+1，…｝，
　　 ｛α2，α1，α4，…，αn+1，αn，…｝，
　　 ｛1，2，3，4，…，n，…｝
　　的编号均为ω．下面的三个良序集
　　｛α2，α3，…，αn，…，α1｝，
　　｛α3，α4，…，αn+1，…，α1，α2｝，
　　｛α1，α3，…，α2，α4，…｝
　　的编号分别为ω+1，ω+2和2ω．
　　康托尔还用数和编号之间的差别，给出了有穷集和无穷集的新解释．有穷集中不管元素怎样排列，编号总是相同的．有趣的是，具有相同基数的无穷集，其元素的个数相同，也可有不同的良序并产生不同的编号．因此，集合的编号完全依赖于集合无素所选取的顺序．他还强调，有穷集的基数和编号的概念是一致的．对于无穷集，基数和编号之间的区别是重要的．康托尔还把编号看成是计数概念的一种推广．一个无穷集的编号由它的一个超穷数给定．另外，良序的概念还为定义超穷算术提供了基础．
　　8．康托尔定理和边续统假设
　　n维空间的点与直线上的点相比，并不是更大的无穷．那么，是否能从已知的无穷集合出发，根据正确的数学运算，构成更大的无穷集呢？康托尔在1891年的论文“集合论的一个根本问题”( ber eine elementare Frage der Mannigfaltig keitslehre)里作了肯定的回答．他用对角线方法证明 1899年，康托尔在给戴得金的信中说，1891年论文里的结果可以表示成：2a＞a．这里a为某一集合的基数，不管这个集合是什么，这个命题在康托尔的理论中都具有重要意义．它还被叙述为：一集合的幂集，其基数比原集合的基数大．因此，给定一集合，我们可以通过其幂集来形成一更大的集合；给定一基数，我们可以得到一更大的基数．所以没有最大的集合，也没有最大的基数．给定集合S，用求幂集的方法，可得下面一系列一个比一个大的集合：
S，P(S)，PP(S)，…．
　　 如果S的基数为a，其相应的一个比一个大的基数为：
a，2a，22a，…．
　　以上是用幂集来构成更大集合和更大基数的办法．至此，我们有两个系列的无穷基数．
　　第一系列： 0  1 2，…， (5)
　　第二系列： ，2 0，22 0，…． (6)
　　第二系列分别表示集合
ω，P(ω)，PP(ω)，…
　　的基数．
　　在康托尔之前，不同的无穷集的大小没有明确的区分；它们都是无穷的，因而所有的无穷集都很大．可是，从康托尔的工作之后，这已变成一个具有明确意义的问题．
　　1878年，康托尔猜想
　　2 0= 1． (7)
　　现在人们称康托尔的这个猜想为连续统假设．连续统假设的英文为continuum hypothesis．因此，(7)常缩写成CH．从那时起，康托尔试图作出这样的一个证明而未能成功．1883年他又宣称，他希望不久用一个精确的证明来正确地回答这个问题．一年后，在他的主要著作《关于无穷线性点集(5)》的结尾，他再一次允诺在稍后的续篇中给出这个证明．但是，直到他去世，也没有给出这个证明．基于各种原因，连续统问题是重要的，并且具有挑战性．
　　1900年夏季在巴黎举行的第二次国际数学家大会上，D．希尔伯特(Hilbert)做了题为“数学问题” (Mathematische problem)的著名演说，提出了23个未解决的难题，其中第一个问题就是“证明连续统假设”．这个问题在20世纪引起了全世界数学家的兴趣，从而激发了很多有趣的工作．现在，公理集合论中的两个最有趣而富有成果的方法，即1940年K．哥德尔(G del)使用的可构成性方法和1963年P．J．科恩(Cohen)使用的力迫法，都部分地回答了这个问题．
　　9．全序集的理论
　　《越穷数理论基础》是康托尔的最后一部重要的数学著作．这本书初稿的第Ⅰ、第Ⅱ部分于1895年5月和1897年5月分别发表在《数学学报》(Acta Mathematica)上，主要内容随即译成各种文字．1895年首先由F．格贝迪(Gerbaldi)将第Ⅰ部分译成意大利文，1899年由马洛特(Marotte)给出两部分的法文译文，而英文译文直到1915年才由P．E．B．朱德因(Jourdain)作序出版．
　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了集合的抽象定义．集合M是能够明确区分的思维或感知的对象m(称为M的元素)的总体．十年前，康托尔在点集的领域内，给集合以特定的内涵．他曾写道：“作为一个整体，集合指确定对象的这样一种总体，其中的对象由某一法则联结成一个整体．”这表明《超穷数的理论基础》与《集合通论基础》有很大不同．
　　在Ⅰ中，康托尔又一次给出了基数的定义．但他仍采用1887年引进的记号．他还通过集合又一次定义了基数的加法和乘法运算．为了定义基数的方幂，康托尔首先定义了什么叫覆盖．引进基数的方幂以后，康托尔得出：2 0=C．这里的C为连续统的基数．他还得到
　　C·C=2 0·2 0=2 =C．
　　一般地，Cn=C，C 0=C．
　　这些公式表明，n维和一般 0维的连续统，同一维连续统有相同的基数．这样，似乎连续统假设问题的解又有希望前进一步．这些公式还可以用来更直接、更清晰地证实超穷数的一些数论性质，从而也就进一步证明了超穷数在数学上的合理性．
　　康托尔在Ⅰ中还讨论了有穷基数．它可以通过两种方式确定：或者通过相继加1的归纳过程，或者与无穷集相反，将它作为不与自身真子集等价的集合的基数来确定．
　　作为一个整体，全体有穷基数N对于康托尔定义超穷数是必不可少的．N中的元素可以彼此区分，且每个基数都大于它前面所有的数而小于后面的每个数，任何两个相邻基数N和N+1之间不存在另一个基数．但是令人疑惑的是在Ⅰ中，康托尔没有明确给出有穷数的定义．在简单声明了具有有穷基数的集合称为有穷集合后，康托尔开始定义超穷集合及超穷基数．第一个超穷基数定义为全体有穷基数的集合的基数．他还感到用熟悉的希腊字母或罗马字母表示超穷基数不合适，应当选择一套独特的记号．在选择记号方面，康托尔一向很讲究．他选第一个希伯来字母 0来表示第一个超穷基数，因为这个字母代表数1．此外它还代表一个新起点．康托尔确信超穷数理论标志着数学的一个新起点．
　　康托尔对超穷基数新的解释是值得注意的，在此之前，他从未把超穷基数等同于数．相反，他总是避免超穷基数也是数的暗示，对于最小的超穷序数，康托尔已用ω表示，但对于最小的超穷基数当时还没有适当的符号．可见，序数的概念对康托尔集合论的早期发展较基数概念重要得多．正是序数的引进，使得定义超穷基数成为可能．而且直到建立了超穷数类的序型，康托尔才精确定义大于最小超穷基数的所有超穷基数，并决定用 表示序型ω的基数．最后决定用 0表示第一个超穷基数时，已到了1895年．
　　Ⅰ的最后五章，康托尔系统阐述了全序集的一般理论．
　　一个集合称为全序的，如果它的元素可按某种规则排序，使得它的 
　　接着又引进序集M的序型概念：对每个全序集M，都相应地存在一 其顺序的特性而得出的一个一般概念．
 
　　康托尔进一步指出，任给两个全序集，如果具有相同的序型，它们总能以多种方式彼此映射；所有具有有穷和超穷序型的良序集，只允许有一种到相似集合的保序映射．这一结论提供了康托尔称无穷良序集的序型为“超穷序数”，称无穷集的基数为“超穷基数”的合理性．当然这里有一个重要的区别，每个超穷基数并不与唯一的一个超穷序数相对应．
　　为了建立各种序型的联系，康托尔模仿《集合通论基础》中的方法引进了它们的运算，还特别指出，序型运算不满足交换律．最后，康托尔总结了基数运算和序数运算的联系．特别有
 
　
　　成立．于是，所有关于序数的算术法则同样适用于基数．
　　康托尔还证明了：如果一个全序集M满足：(1) = 0；(2)M中无最大、最小元；(3)M是处处稠密的；则M的序型等于η， 
　　康托尔在给出具有序型η的集合M的充要条件之后，想方设法地刻画具有更高基数的全序集的序型，特别是连续统的序型．但没有得出新结果．只是在Ⅰ的最后一章里，才对这一问题作了分析，严格阐明了一般连续域的性质．他对序型的一般研究得出了有关连续性的新见解，还引进了基本序列极限元的概念．
　　10．良序集的理论
　　《超穷数理论基础》Ⅱ，主要介绍无穷序数和无穷基数理论．无穷基数从 0扩展到第一个不可数的无穷 1，阐述了良序集的特殊理论，定义了第二数类的基数，还研究了超穷算术．但连续统假设以及每个超穷基数是否都可比较等问题，仍未得到彻底解决．
　　在《集合通论基础》中，康托尔已经认识到良序集对于超穷数理论的重要，因为它们的序型构成了有穷和无穷序数．因此在Ⅱ中，他系统地阐述了良序集理论的基本知识．特别是与无穷集合相对应的无穷序数和无穷基数的理论．
　　在Ⅱ中，一个良序集是建立在全序集的基础上的．同时，给出了序数的一个良序序列：
1，2，3，…，ω，ω+1，…，2ω，…，nω，…，ω2，…，
ωω，…ωωω，…．
　　为了能够给出一个较以前的文章中更好的基数定义，康托尔扩充了 算与Ⅰ中全序集序型的运算相同．
　　在Ⅱ的最后几章里，康托尔更详细地讨论了第二数类的序数以及它们的运算性质．他还把超穷数理论建立在序型的基础之上，这与他以前的处理方法不同．因为这里的生成原则，可以用来产生更高阶的超穷序数类．为了将有穷指数的方幂扩充到超穷方幂，还引进了包括ωω这种超穷数的运算．为此，康托尔建立了超穷归纳法，并通过超穷归纳法得到了超穷序数方幂的一些重要结果．
　　11．关于实无穷
　　由于康托尔的集合论是以无穷集为研究对象的，从而肯定了作为完成整体的实无穷．为此，他遭到了一些数学家、哲学家的批评和攻击．为解决一些理论问题，也为了答复这些人的批评和攻击，康托尔作了大量的工作．他的《关于无穷线性点集(5)》不单纯是对于新的超穷集合论的严格的数学阐述，也第一次公开地为实无穷这一受到大多数数学家、哲学家和神学家长期反对的概念提供了辩护．它的目的之一就是论证这种对实无穷的反对是毫无根据的．他在给瑞典数学家、历史学家G．埃斯特姆(Enestir m)的信中写道：“正像每个特例所表明的那样，我们可以从更一般的角度引出这样的结论：所有反对实无穷数的可能性的所谓证明都是站不住脚的．他们从一开始就期望无穷数具有有穷数的所有特性，或者甚至把有穷数的性质强加到无穷数上．与此相反，如果我们能够以任何方式理解无穷数的话，倒是由于它们(就其与有穷数的对立而言)构成了全新的一个数类，它们的性质完全依赖于事物本身．这是研究的对象，而不属于我们的主观臆想和偏见．”康托尔有关实无穷的观点包括以下三个方面．
　　(1)数学理论必须肯定实无穷 康托尔指出：在数学中要完全排斥实无穷的概念是不可能的，实无穷必须肯定．因为很多最基本的数学概念，如一切正整数，圆周上的一切点等等，事实上都是实无穷性的概念；关于极限理论，康托尔指出：它是建立在实数理论之上的，而实数理论的建立(无理数的引进)又必须以这样或那样的实无穷的概念为基础，例如，戴德金分割和康托尔的基本序列都是一种实无穷的概念．极限理论事实上也是建立在实无穷的概念之上；因此，承认作为变量的潜无穷，就必须承认实无穷．变量如能取无穷多个值，就必须有一个预先给定的、不能再变的取值“域”，而这个域就是一个实无穷．康托尔又指出，数学证明中应用实无穷(无穷集合)由来已久，并且也是不可避免的．后来的数学家们，如J．L．拉格朗日(Lagrange)、A．M．勒让德(Legendre)、P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)、柯西、魏尔斯特拉斯、B．波尔察诺(Bolzano)等人在证明中都使用过．康托尔还举出一个复杂证明的例子([8]，pp．210—212)：假设把一无穷点集分为有穷个子集，其中必有一个为无穷集．
　　出于对数学研究的实际需要，康托尔对无穷集合进行了数量研究，实无穷的概念就成了数学的研究对象．康托尔在他1883年的一篇论文里说，把无穷大不只是作为无穷增长的量，而是以完成的无穷的形式，数学地通过数量来确定下来，这种思想“我是经过多年科学上的努力，几乎违背我的意愿……，逻辑地被迫承认的”．
　　(2)不能把有穷所具有的性质强加于无穷 无穷有其固有的本质．尽管康托尔对无穷集合的研究出于数学研究的实际需要，但是他仍然面临着怎样对这种研究的合理性作出说明的问题．尤其重要的是，他必须对历史上提出的各种关于“实无穷不能成为数学的研究对象”的“论证”作出合理的解释．
　　1874年，康托尔在这方面迈出了关键性的一步．他提出了“一一对应”原则：如果在两个集合的元素之间能建立一一对应，就说这两个集合具有相同的基数，即在数量上被认为相等．这个原则构成了对传统的“整体大于部分”观念的直接否定．然而，在康托尔以前，由于这一观念的束缚，使很多数学家认为实无穷性的概念不能成为数学的研究对象；现在，康托尔则大胆地冲破了这一思想桎梏，并由此发展出一套关于无穷集合的数学理论——超穷数理论．对此，康托尔解释说：“两个集合，其中的一个是另一个的部分，而又具有相同的基数，这是经常会出现的，而且也没有什么矛盾．我认为，正是由于对这一事实缺乏认识，才形成了关于超穷数引进的主要障碍．”([17]，p．75)
　　为了更清楚地说明自己的研究工作的合理性，康托尔还曾对各种相反意见的错误根源进行分析，认为一切关于“实无穷不可能”的所谓证明都是错误的．
　　(3)有穷的认识能力可以认识无穷 康托尔在《关于无穷线性点集(5)》里还讨论了J．洛克(Locke)、B．斯宾诺莎(Spin-oza)和G．W．莱布尼茨(Leibniz)的观点．他认为，这些人的思想虽有很多不同之处，但在无穷问题上，一致认为：“有穷性是数的概念的一部分；另一方面，真正的无穷，那就是上帝，是不允许有任何规定的．”反对实无穷的人还有一个理由是，人类认识能力是有限的，所以形成的数量只限于有穷．
　　康托尔认为，人的认识能力虽然有限，却可以认识无穷．无穷和有穷一样，是可以“通过确定的、明确的、彼此不同的数量”来表达和理解的．在一定意义下，也可以说人们有“无限的才能”，一步一步地去形成更大的数类或集合，去形成一个比一个更强的基数．
　　康托尔还强调，数学的无穷与哲学的及神学的无穷不同．超穷数可以增添，这是数学的无穷，与宗教和上帝无关．哲学上的绝对与神学上的上帝都不能被规定，“一切规定都是否定”，因之也不能增添．他又说，人们可以有坚定的信念必然能够认识那“绝对的存在”．([10]，p．280) 　
　　12．柏拉图主义的观点
　　为了证明超穷数理论的“合法性”，康托尔也从事过关于超穷数的客观实在性的分析．康托尔指出：跟有穷数一样，超穷数也是从真实的集合中抽象出来的——这突出地表现在康托尔所给出的关于集合的基数和序数的定义上，集合的基数是两次抽象的结果：一次是从对象中抽去它们所具有的质的特性，另一次则是抽去在对象之间所存在的次序关系；(良序)集合的序数则是一次抽象的结果，即是从对象中抽去了它们所具有的质的特性．因此，和有穷数一样，超穷数也具有同样的客观实在性，它们的存在在物理世界的时空中，以及具体事物的无限性中有着自然的反映．数学的本质不在于它与经验世界的联系，而在于数学思维的自由性．
　　为了说明数学思想的自由性，康托尔引进了“两种真实性”的概念并对它们之间的关系进行了分析，首先，他指出数学对象具有两种真实性：“内在真实性”和“外部真实性”．其中，“内在真实性”主要是指数学对象在逻辑上的相容性，“外部真实性”是指数学对象所具有的客观实在性，即“应把数看成是对于外在于我们智力世界的事物和关系的一种表述和描述”．其次，康托尔认为这两种真实性事实上是一致的：一个概念如果具有内在真实性就必然具有外部真实性．因此，对数学家来说，就只需考虑数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性，而无须考虑它们的客观内容．在康托尔看来，在数学对象的“创造”中，数学家们就具有了充分的“自由性”．康托尔写道：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对它的概念的限制只在于：必须是无矛眉的并且和先前由确切定义引进的概念相协调．……数学的本质就在于它的自由性．”
　　但是，究竟应当怎样来认识超穷数和无穷集合的客观实在性呢？为了解决这一问题，康托尔最后倒向了神学．他在1895年致法国数学家C．埃尔米特(Hermite)的信中，明确表达了这种思想．他说，数学对象的实在性并不在于真实世界，而是存在于上帝的无穷的智慧之中；数学对象的内在真实性、即逻辑上的相容性保证了这种对象的“可能性”，而上帝的绝对无限的本性则保证了这种“可能的对象”在上帝思维中的永恒存在．此外，康托尔还谈到，他的集合论就是直接渊源于神的启示的．其实，早在1869年，即康托尔刚刚开始学术生涯的时候，他就已经建立了这种神学的观念．正如J．W．道本(Dauben)所言：“这是一种强烈的柏拉图主义思想，而康托尔则不断由此而取得支持．”也就是说，正是柏拉图主义的哲学立场为康托尔提供了从事集合论、特别是超穷数理论的研究的信心和勇气．
　　1886年，德国的哲学家和神学家C．哥德伯累特(Gutberlet)发表了一篇文章．其中援引了康托尔的集合论来为他自己关于无穷的哲学和神学性质的观点进行辩护．他主要关注的是数学的无穷对于上帝独有的绝对无穷本性的挑战．他和康托尔还就这个问题通了几次信．哥德伯累特的许多思想，激起了康托尔去研究超穷数理论的神学意义．康托尔断言，超穷数并没有削弱上帝的无穷本性．恰恰相反，正是超穷数使之更加至高无尚了．
　　当时，天主教的学者们所关心的一个主要问题是，超穷数究竟是一种“可能”的存在，还是一种“真实”的存在．康托尔认为可以通过区分两种不同类型的无穷来消除神学家们对于真实的、具体的无穷的怀疑．1886年1月他在给哥德伯累特的老师J．弗兰西林(Franzelin)的一封信中指出，除了“可能的”与“真实的”区分之外，我们还应注意绝对的无穷与真实的无穷的区分：前者是上帝特有的，后者则是见诸于上帝创造的世界，并以宇宙中对象的实无穷数为其典范．康托尔认为超穷的真实存在正是上帝的无穷性存在的反映．他还发起了关于超穷的真实存在的两种论证．一种是先验的，认为可由上帝的概念直接导出超穷数创立的可能性和必要性；另一则是后验的，认为仅仅依靠有穷的假定不可能对自然现象作出充分解释．不管怎样，康托尔认为他已经证明了接受真实存在的超穷的必然性，而在这种论证中，康托尔毫不犹豫地求助于上帝．他还声称，自己并非超穷数理论的创造者，而只是一个记录者：是上帝给他以启示，他所做的仅仅是组织和表述的工作．康托尔认为这是他的一种神圣职责，即以上帝所恩赐的知识去防止教会在无穷性质的信条上所可能发生的错误．
　　13．集合论悖论
　　在康托尔集合论中有没有悖论呢？在19世纪末，虽然有些数学家反对康托尔集合论中研究无穷集合这样的对象，对他的无穷推理过程表示怀疑，但又找不出毛病来．康托尔深信他的工作是正确的．可是后来却发现，康托尔的超穷数理论包含着矛盾．这就是布瑞利-福蒂(Burali-Forti)的最大序数悖论和康托尔的最大基数悖论．后来，康托尔又发现了更简单、更基本的集合论悖论，这一悖论就叫康托尔悖论．它说：假 是一集合的集合，它必定是一切集合的集合S的一部分．由此可得： 
　　 布瑞利-福蒂悖论的构造与康托尔悖论是十分相似的．当时因为这两者牵涉到序数和基数这样较为复杂的理论．人们还认为，是由于在其中某些环节处不小心地引入一些错误所致，所以没有引起大家的注意．1902年，B．罗素(Russell)在集合论中发现了一个悖论，这个悖论是从集合的基本概念着手，论证方法又和康托尔的著名定理中所用的方法相类似．
　　 “罗素先生发现的一个矛盾现在可以陈述如下：没有一个人想要断定人的类是一个人．这里我们有一个不属于自身的类．当某物归属于以一个类为其外延的概念时，我就说它属于这个类．现在让我们集中注意这个概念：不属于自身的类．因此这个概念的外延(如果我们可以谈论它的外延的话)就是，不属于自身的那些类构成的类．为简短起见，我们称它为类K．现在让我们问，这个类K是不是属于自身．首先，让我们假定它属于自身．如果一个东西属于一个类，那么它就归属于以这个类为其外延的概念．这样，如果类K属于自身，那么它就是一个不属于自身的类．因此我们的第一个假定导致自相矛盾．第二，让我们假定类K不属于自身，这样它就归属于以自身为其外延的概念，因此就属于自身．这里我们又一次得到同样的矛盾．”([13]，p．808)这就是著名的罗素悖论．在当时，它曾引起了某些大数学家的极大震动．
　　 对于悖论，康托尔曾表示过这种意见，即认为集合论悖论出现的原因在于使用了太大的集合．康托尔指出：我们应把集合区分成相容的和不相容的，后者因太大不能看成是“一”，而必须看成是“多”．这也就是说，不能把太大的集合看成是一种真正的集合．他说：“对于多来说，那种把其所有元素联合起来的假设可能导致矛盾．因此，不能把多看成是一种‘完成了的对象’，这种多我称之为绝对无限或不协调的多．”([15]，p．214)
　　由于严格的实数理论和极限理论都是以集合论为基础的，因而，集合论悖论导致了数学的第三次“危机”．
　　最后，我们引用几位大数学家对康托尔的评论作为本文的结尾．1926年，希尔伯特称康托尔提出的超穷数理论，是“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，“数学精神最令人惊羡的花朵，人类理智活动最漂亮的成果”．罗素把康托尔的工作描述为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．苏联著名的数学家A．N．科尔莫戈洛夫(Kolmogorov)说过：“康托尔的不朽功绩，在他敢于向无穷大冒险迈进，他对似是而非之论、流行的成见，哲学的教条等作了长期不懈的斗争，由此使他成为一门新学科的创造者．这门学科(指集合论)今天已经成了整个数学的基础．”