克莱因

克莱因
胡作玄
(中国科学院系统科学研究所)
　　克莱因，F．(Klein，Felix)1849年4月25日生于德国的杜塞尔多夫；1925年6月22日卒于德国的格丁根．数学、数学史、数学教育．
　　菲利克斯·克莱因出身于德国的莱因地区普鲁士家庭．他的祖父是位铁匠，父亲是州长的私人秘书．母亲出身于亚琛工业资本家的家庭．1857年秋天，克莱因进入了天主教文科中学，受了8年的片面的文科教育，只是在他朋友的家里，他才开始接触到一些化学、植物学、动物学、天文学以及工业技术方面的初步知识1865年秋天进入波恩大学．第一年他听数学、物理学的课不多，主要听植物学，虽听过R．李普希茨(Lipschitz)的初等数学课程，但他贫乏的基础知识既不能使他理解数学，也引不起他对数学的兴趣．1866年复活节，他成为J．普吕克尔(Plücker)的助手，帮助他准备实验．普吕克尔原是一位数学家，因为受到J．施泰纳(Steiner)的排斥，转而研究实验物理学．普吕克尔使他对数学和物理学产生了兴趣．这时，普吕克尔又继续进行关于解析几何学的研究，继续自己先前的工作，力图把空间解析几何建立在以直线为元素的基础上，他正写他的《基于以直线为空间元素的新空间几何学》(Neue Geometriè des Raumes，gegründet aufder geraden Linie als Raumelement，1868—1869)．克莱因积极协助这项工作，在工作过程中，逐步充实自己的知识．不久普吕克尔于1868年5月去世，这部著作只完成了第一卷．在普吕克尔的指导下，克莱因写了博士论文“线坐标的一般二次方程到典则形式的变换”( ber die Transformation der allgemeinen Gleichangdes Zweiten Grades Zwischen Linienkoordinaten auf eine kano-nische Form，1868)，并于1868年12月12日获得了博士学位．
　　1869年初，克莱因离开波恩前往格丁根，协助接替黎曼的A．克莱布什(Clebsch)整理普吕克尔的遗著，出版了他的《新空间几何学》第二卷．他在格丁根从克莱布什那里学到不变式论以及光学，并完成了他的一篇重要论文，发现一阶和二阶线性复形与库默尔(E．Kummer)曲面有关．当时的数学中心在柏林，于是克莱因在1869年8月底到柏林去．在这里，他结识了挪威来的S．李(Lie)，两人成为终生密友．他还结识了从奥地利来的O．施托尔茨(Stolz)，从他那里知道H．И．罗巴切夫斯基(ЛoбaчeBCKий)的非欧几何学．1870年2月，他在K．魏尔斯特拉斯(Weierstrass)的讨论班上，报告了A．凯莱(Cayley)关于射影距离的工作，并提出把凯莱的工作推广到非欧几何学上，但受到魏尔斯特拉斯的批评．1870年4月，克莱因和李结伴到巴黎，并在巴黎科学院的院报上发表了他们在柏林的合作论文．在这篇论文中，已经提出在某些变换下的不变性质，成为后来他们各自研究的出发点．李研究所谓连续变换群，而克莱因研究的却是离散变换群．在巴黎，李与克莱因见到了法国数学家C．若尔当(Jordan)和G．达布(Darboux)当时若尔当的《代换论及代数方程论》(Traité des substitutions et des equations algébriques，1870)刚刚出版，而达布也刚完成了反演几何学的研究，这对他们后来的研究有着深远的影响．不久，普法战争爆发，克莱因赶回德国报名参军，被编入波恩的急救团，参加了9月1日和2日在梅斯和色当的战役．由于传染上伤寒，被送回家，一直到11月中才康复，并于1871年元旦第二次来到格丁根．1月7日，他取得授课资格．在夏天同施托尔茨的多次讨论中，越来越明确非欧几何学是射影几何学的一部分，8月份发表“论所谓非欧几何学”( ber diesogenannte nicht-euklidische Geometrie Ⅰ)的第一篇论文，但受到哲学家及数学家的攻击．这促使他更深入地研究几何学的基础．
　　在克莱布什的推荐下，1872年10月他到埃朗根大学就任正教授，不久克莱布什病逝，他成了克莱布什的学术研究及组织工作的继承人．他把克莱布什的朋友及学生吸引到自己的周围，接替他的《数学年鉴》(Mathematische Annalen)的编辑工作，协助编辑克莱布什的讲义．在大学评议会上他提出了著名的埃朗根纲领(Erlanger Programm)即“新近几何学研究的比较考察”(Vergle-ichende Betrachtangen über neuere geometrische Forschungen)，在埃朗根时期，克莱因教课范围仍然是几何学，但“碰到的学生数量极少以及毫无研究空气的环境”使他非常失望．不过与朋友及同事的交流大大扩大了他的眼界，他的研究工作也从几何学扩展到代数学、分析学，他与国外同行的交流也更加频繁起来．
　　1873年4月，克莱因决定到英国，参加英国科学促进协会召开的会议，为此，他学习英文．8月中旬，他经过汉堡和爱丁堡，到布拉德福德，在那里，克莱因不仅结识了他慕名已久的凯莱和J．J．西尔维斯特(Sylvegter)，而且还结识了R．鲍尔(Ball)和W．K．克利福德(Clifford)．鲍尔关于螺旋面的理论和克利福德的工作，对克莱因后来的工作有很大影响．会议期间，他第一次遇见伟大的英国物理学家C．麦克斯韦(Maxwell)和P．G．泰特(Tait)，他对英国的数学物理学留下深刻的印象，后来，多次在德国加以介绍．
　　1874年，他又到意大利去旅行，先后见到L．克雷莫纳(Cre-mona)、E．贝尔特拉米(Beltrami)和E．贝蒂(Betti)等数学家，在埃朗根最后一个学期，P．哥尔丹(Gordan)来到埃朗根，与他结下终生的友谊．哥尔丹关于不变式论方面的研究，对他很有影响．克莱因到了慕尼黑以后，两个人还经常在星期天在埃朗根和慕尼黑的中间城市艾希施泰特相聚会，这对他们俩人关于代数方程的工作都有所促进．
　　1874年11月，克莱因被任命为慕尼黑工业大学教授，继承O．黑塞(Hesse)的职务，同时，达姆施塔特工业大学的A．布里尔(Brill)也被任命为该校教授．这是一个培养工程师和学院教师的学校，但是，德国的工业学院水平并不高，克莱因同布里尔一起，决心对工业学院的教学进行改革．1875年他在离开埃朗根之前同安娜·黑格尔(Anna Hegel)结婚．她是大哲学家G．W．黑格尔的孙女，她的父亲是埃朗根大学历史学教授．克莱因夫妇共有一子三女．
　　克莱因在慕尼黑的研究工作先是代数方程，接着是椭圆模函数理论．他独立于R．戴德金(Dedekind)引进模函数J(τ)，克莱因是从椭圆积分引进，并称之为绝对不变量．在这期间，他还研究黎曼的著作，并对拓扑学作出贡献．他认为这段时期是他最快乐、数学上最富创造性的时期．于此同时他培养出一些他最好的学生．
　　1880年秋，他到莱比锡大学就任几何学教授．他给未来大学教师开了系统的几何学课程并把大学数学教学系统化，在1881年创办莱比锡大学第一个数学讨论班．在其上他报告了黎曼代数函数及其积分理论，用几何观点来整理黎曼的工作，开创了几何函数论的方向．同时指导他的学生W．迪克(Dyck)搜集制造数学模型．1881年夏天，他见到初露头角的法国数学家H．庞加莱(Poinearé)在《法国科学院院报》(Comptes Rendus)上发表的三篇关于自守函数的论文，于是开始了他同庞加莱的通信，两人之间有一场竞赛．由于克莱因用脑过度，到1882年底身体完全垮了，断断续续休息了一年才恢复，这时已经不能干多少创造性的工作了．他开始整理过去的工作，做小的改进，写出专著《二十面体及五次方程解讲义》(Vorlesungenüberdas Ikosaeder und die Aufl -sung der Gleichungen vom fünften Grade，1884)．从此之后，他主要从事教学及组织工作，这使他在德国及国际上进一步产生巨大的影响．
　　1886年春，他就任格丁根大学教授，从此开始一个新时期．他的创造性研究的黄金时代已经过去，虽然其后他也发表五、六十篇论文，但大多数都是以前论文的继续和发展．他的兴趣越来越转向应用数学．他的活动更加趋向于教学工作、行政组织工作以及国际上的交流等方面．他的雄心是把格丁根建成世界上数学及物理学的中心．不过，在他刚到达时，这一切并不顺利，一直到1892年H．A．施瓦兹(Schwarz)离开格丁根后，特别是1895年初D．希尔伯特(Hilbert)的到来，格丁根逐步成为世界数学及物理学的中心，而这个中心的无冕之王就是克莱因．1892年在克莱因领导下，开始对格丁根大学教育制度及教学计划进行巨大的改革，在这个过程中大大加强了应用数学的份量，陆续设立了应用数学的教授、副教授席位．
　　1890年，在G．康托尔(Cantor)的倡议下，德国数学家联合会正式成立．克莱因作为创始者之一，积极参加其活动．他在1894年会上报告“黎曼及其对近代数学发展的意义”，并于1897，1904，1908三年任大会主席．
　　1893年为纪念C．哥伦布(Columbus)发现新大陆400周年，在美国芝加哥举行世界工业博览会，同时召开国际数学家大会．克莱因代表德政府参加这次会议，在大会上作“当前数学的状况”的报告．他还携带十几篇德国数学家的论文在大会上宣读．会后，他又专门为大会参加者作了12次当前数学状况的报告，对于美国数学家是个极大的促进．他先后还培养许多美国数学家，例如 H．B．范因(Fine)就是他的博士生．1896年10月为纪念普林斯顿大学建校150周年纪念，他再次赴美，并作了他新研究的“陀螺理论”的报告．他在这个问题上，用自守函数简化了前人的证明，并给复数时间以新的解释．他和A．索末菲(Sommerfeld)合著的四卷《陀螺理论》( ber die Theorie des Kreisels，1897—1910)长期以来是这方面的标准著作．
　　1895年他积极参与德国《数学百科全书》(Enzyklop die derMathematischen Wissenschaften)的筹划工作，1899年起任力学部分的主编．1896年5月，克莱因被授予枢密顾问官职务．表明他在学术界的地位的提高．1897年6月，E．C．J．谢林(Sche-ring)去世，他于是创立了两个新的职位给O．R．M．布伦德尔(Brendel)和E．维谢尔(Wiechert)，布伦德尔是理论天文学教授，在克莱因指导下，负责编辑高斯的全集，这个工作原来是由谢林开始的，但未完成．正是由于克莱因发起编辑高斯的全集的工作，使得许多高斯生前没有发表的手稿得以重见天日，例如高斯关于椭圆函数和阿贝尔函数的工作的研究．不过原来克莱因还计划写一部全面的详尽的高斯的传记，但这个计划未能实现．克莱因同时在应用数学、物理学和工程方面做了大量的组织工作，1897年在C．林德(Linde)等人的帮助之下，建立起了一个机械实验室，而且建立一个教授席位，由R．莫利尔(Mollier)担任．1898年2月，克莱因创立了格丁根应用数学及物理学促进学会，他仿照美国人的先例，这个协会目的是在格丁根大学内部建立更多的应用数学的机构，由工业界和大学以及私人的赞助人进行财政上的资助，由此逐渐产生一系列的应用数学的分支，首先是画法几何学，其次是保险数学，而且还有自己单独的讲课教室．同年，克莱因发表了一篇文章，是关于建立一个单独的数学研究所的规划，第二年该研究所开始工作，以谢林为主任，由于数学系的扩张，使得数学系的职位增多．1900年著名的荷兰物理学家H．A．洛伦兹(Lorentz)被任命为技术物理学教授．1904年，克莱因又请来C．龙格(Runge)为应用数学教授．从此在格丁根形成一个纯粹数学、应用数学协调发展的黄金时代．
　　从1872年在埃朗根作就职演说时，克莱因就谈到数学教育，其后特别从19世纪末起，克莱因积极参与国际和国内数学教育的研究工作．
　　1910年春天，他的健康情况开始恶化，经常请假．1912年几乎全年没上班，于是1912年底他决定提前退休．退体之后，他开始讲授数学史以及相对论等课程，有时就在自己家里举行．1918年起，他开始编订自己的全集，写下了许多有历史意义的评注．三卷全集在1921年到1923年陆续出版．他的《19世纪数学史讲义》(Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im19．Jahrhundert，Ⅰ，1926，Ⅱ，1927)在他去世后出版．
　　当时数学可以分为两大部分，纯粹数学以及包括力学、数学物理学、天文学、测地学在内的应用数学．而纯粹数学则可一分为二：分析学及几何学．分析学包括数论、代数、微积分及函数论．当时的代数主要问题仍然是方程论，群论并没有形成一门学科，甚至抽象群的定义也没有严格地给出．伽罗瓦理论刚刚为大家知道，数学家所知道的群仅仅是代换群或置换群．另外一个热门是不变式论，它研究齐次多项式(型或形式)在线性变换之下的不变式．一般的函数论刚刚处于萌芽状态，函数论主要的题目是椭圆函数、超椭圆函数、阿贝尔函数、黎曼、魏尔斯特拉斯及克莱布什都是因为他们在这些方面的工作而在当时获得极大声誉，这些具体问题已成为数学家才能的试金石．
　　纯粹数学的另一半是几何学，从1795年到1872年，几何学经历了它的黄金时代．在这期间，古典的欧几里得几何学不再是几何学的唯一对象，射影几何学正式成为一门新学科．接着是综合方法与解析方法的对立，出现了综合几何学、解析几何学及无穷小几何学(即微分几何学)三大分支．几何学也从“现实的”三维欧几里得空间及其中的点、线、面作了三方面的扩张：一是非欧几何的创立，从而结束了欧几里得几何唯我独尊一统天下的地位．二是高维几何学的出现，开始研究四维及四维以上的空间及流形，这时代数及解析方法更显示其优越性．三是空间元素不再局限为点，而可以是线、圆、球等，形成线几何学、球几何学等等新学科，其中有些还在力学、光学等方面有着重要应用．
　　面对着这种复杂多样的数学学科，克来因的突出贡献就是用群的观点来统一整个数学，具体来说就是：
　　1．提出埃朗根纲领，用变换群的观点统一几何学；
　　2．用几何学及群的观点来研究五次及五次以上代数方程及线性常微分方程；
　　3．用群与几何学的观点来研究函数论，发现自守函数，它是椭圆函数等的重大推广．这样通过群把几何学、代数学、分析学连接成一个统一的数学整体，通过他和别人的工作，直接或间接联系上代数数论、不变式论、数学物理等等学科．
　　 Ⅰ 几何学与埃朗根纲领
　　 在埃朗根纲领之前，克莱因从1870年到1872年发表过五篇论文，其中“论所谓非欧几何学”( berdie sogenannte nicht- euk- lidische Geometrie，1871)成功地把各种度量几何归结为射影几何．早在1822年J．V．彭塞列(Poncelet)在他的书《论图形的射影性质》(Traité des propriétes projectives des figure)中已经指出，虽然射影性质及度量性质有所区别，射影性质在逻辑上更为基本．K．G．C．施陶特(Staudt)在《位置几何学》(Geometrieder Lage，1847)中引进“投”的概念，在摆脱长度与角度的情形下建立射影几何学(克莱因在1870年指出，施陶特仍用到平行公理从而不够纯粹)．在普吕克尔的指导下，克莱因读了凯莱的著作，后者成功地把平面中欧几里得度量(长度及角度)用射影几何的语言来表达，用凯莱的话讲“度量几何是画法几何(按：指射影几何)的一部分，画法几何学就是全部几何学．”克莱因在两方面大大推广了凯莱的结果：一是不仅欧几里得几何，而且把非欧几何学也包括在射影几何学内，二是在射影基础上建立坐标．凯莱的坐标概念是含混的，其中有时也用到欧氏几何的距离．而施陶特的书中又用到欧几里得平行公理，这使得他们由射影几何得到度量几何，既不够纯粹也不能推广．克莱因去掉了平行公理，使四个点、四条直线或四个平面的坐标和交比都可以在纯粹射影基础上定义．由于选为绝对形的二次曲线或二次曲面的不同．由同一距离及角度公式，可以得出双曲几何、抛物几何及椭圆几何，它们分别是罗氏几何，欧氏几何、黎氏几何．这样非欧几何与欧氏几何从射影几何学中平行地导出来，从而为射影几何学的公理化铺平道路．
　　克莱因对非欧几何学的贡献还有，建立平面非欧几何学的平面模型，例如在椭圆或圆之内建立平面非欧几何学，另外他还发现存在第二种椭圆几何．在通常球面模型中，两个点不唯一决定一条直线，而他指出，在所谓单重椭圆几何中，两个点永远唯一决定一条直线，他还提出单重椭圆几何的曲面模型(半球模型)，实际上这是射影平面．
　　克莱因成功地把各种度量几何归纳为射影几何之后，他便寻求更广泛的观点来刻画几何学的特征而不只是根据射影的性质和度量的性质以及各种度量间的区分，他提出的埃朗根纲领的基本观点是：每种几何学都由变换群所刻划，每种几何学所要研究的就是几何图形在其变换群下的不变量，而一门几何学的子几何学就是研究原来变换群的子群下的不变量．例如最一般的射影几何学在二维的情形就是研究从一个平面上的点到自身的变换群下的不变量，用射影坐标来表示，每个变换形式为
x1′=a11x1+a12x2+a13x3，
x2′=a21x1+a22x2+a23x3，
x3′=a31x1+a32x2+a33x3，
　　其中系数aij是实数，系数行列式不等于零．这些变换组成射影变换群，射影变换群下的不变量有：线性、共线性、交比、调和集以及保持为圆锥曲线不变等．射影变换群的一个子群是仿射变换群，仿射变换群保持一条直线l∞不变，因此仿射几何学是射影几何学的子几何学，仿射变换下的不变量除了射影几何学的不变量之外，还有把直线变成直线，平行直线变成平行直线等性质，仿射几何学虽然早已出现在L．欧拉(Euler)及A．F．麦比乌斯(M bius)的著作中，但克莱因在他的纲领中并没有提到．克莱因进一步考虑了比仿射变换群更小的欧几里得变换群，他称之为等仿变换群，实际上其变换就是旋转、平移和反射，在这种变换群下的不变量是：长度、角度以及任意图形的大小和形状．类似地，他进一步刻划双曲度量几何，也就是研究射影平面上使一个任意的、实的、非退化的二次曲线保持不变的所有变换所构成的子群下的不变量，这个子群叫做双曲度量群，相应的几何学叫做双曲几何学，其中的不变量是与合同有关的那些量．同样，单纯椭圆几何学所研究的变换是使射影平面上一个虚椭圆不变，而二熏椭圆几何学则要复杂一些．
　　克莱因进一步推广了这种观点，他提出更一般的问题，给了一个流形和这个流形的一个变换群，以在这个变换群的变换之下其性质保持不变的观点研究这个流形的实体．在这广义的意义下，克莱因考虑的不仅仅是通常以点为基础的几何学，而且考虑以任何一种点集，特别是一条曲线或一个曲面为基础的几何学，例如线几何学和球几何学．但是只要取同一变换群为几何学研究的基础，那么这种几何学的内容就不会改变，所以像流形的维数只是做为某种次要的东西出现．从这种观点出发他不仅把圆几何及球几何也看成研究某些射影变换群的某些子群的不变性质，而且还更进一步扩大他的纲领的应用范围：代数几何学研究双有理变换下的不变性，拓扑学研究连续变换下的不变性等．虽然并非所有几何学都可以纳入克莱因的分类框架，但是这种观点至今对几何学仍有影响．特别是强调变换下的不变性，对于力学及物理学思想的推动，大大超出了数学的范围．
　　Ⅱ 代数学与“超伽罗瓦纲领”
　　19世纪的代数学中心问题是解代数方程．N．H．阿贝尔(Abel)及 伽罗瓦(Galois)作出最大的贡献：一方面他们证明一般高次代数方程不可能用根式解，另一方面给出那些五次方程可解的判据．至此，对于五次及五次以上的方程研究并未结束，数学家仍进行两方面的研究：一方面是通过超越函数来解方程，另一方面研究方程的群与方程的性质．这两方面都涉及一个任务，找出根与系数的函数关系并加以简化．历史上简化的方法有两条．一是方程的变换：最早是契恩毫斯(E．W．Tschirnhaus)变换，后来英国数学家G．B．杰拉德(Jerrard)独立发现1786年瑞典人E．S．布灵(Bring)把五次方程化简为只依赖于一个系数的结果，Ch．埃尔米特(Hermite)把它化为标准形
t5-t-A=0．
　　1858年埃尔米特通过椭圆函数给出其明显解．二是构造预解式．这种方法始于J．L．拉格朗日(Lagrange)1771年的工作．但是这种预解式往往带来更大的困难而不是本质的简化．只有到1858年L．克罗内克才得出一个六次的预解式，可以从另外一个途径同椭圆函数挂起钩来．克莱因发现，克罗内克实际上是做出两个发现：1．由一般五次方程加上判别式的平方根，可以得出一个预解式，它是雅可比方程；2．这样得到的雅可比方程可以简化为标准型，从而可以用椭圆函数解．克莱因早在1871年就把方程论的主要思想几何化，即把正多面体群与方程的群与预解式联系起来．对于五次方程则与二十面体群联系在一起．通过适当的坐标选择，二十面体群可以表示为一个复变元的分式线性代换，这样五次方程解可以如下得出：
　　1．把五次方程化为“主五次方程”
y5+5αy2+5βy+y=0．
　　2．引进
pv=y0+εvy1+ε2vy2+ε3vy3+ε4vy4，v=0，1，2，3，4，
　　有
 
　
　　后一方程为一个四次曲面方程，它有一个变换方程，在五个根的120个置换之下也即p1，p2，p3，p4的120个线性代换之下不变．此即二十面体方程．
　　3．对于二十面体方程，z是方程的系数α，β，γ，及判别式平方根的有理函数．这样可以计算出五次方程的根y．
　　莱因利用二十面体群研究五次方程的方法，进一步运用于高次方程，哥尔丹戏称之为“超伽罗瓦纲领”，即“把解方程的问题归结为求最少可能变元的有限线性代换群相联系的‘形式问题’”．所谓形式问题，就是对于一个给定的射影变换群G，只通过在G中存在的不变式来计算n维点的坐标．因此，解代数方程的问题归结为给定群G的形式问题．
　　1884年，克莱因写了一本著作《二十面体及五次方程解讲义》，这本书大部分材料都在论文中发表过，但是这本书写得简洁明了，同时还讨论了不变式问题．这本书出版后，哥尔丹进一步地简化了书中的材料，他后来还把克莱因的理论推广到六次方程．关于六次方程的研究，克莱因交给了他的学生来作，特别是莱沙特(Reichardt)和F．N．科尔(Cole)．克莱因还曾打算用四元的线性学来研究六次方程，但实际上有一位名叫H．瓦伦替那(Va-lentiner)的人在1889年发现了360阶的三元线性单群，由于这篇文章首先是用丹麦文发表的，所以没有引起注意．直到1896年，A．维曼(Wiman)注意到了这个事实，并且证明这个群同六个字母的偶置换群同构，这件事引起了普遍的惊异．克莱因在一封给G．卡斯特尔诺沃(Castelnuovo)的信中证明六次方程的一般解可以使得它依赖于这个360阶的单群而不必依赖于一个四元群，1899年它发表了，这篇文章结束了他关于代数方程的工作．
　　Ⅲ 自守函数论
　　克莱因关于代数方程的几何理论涉及到有限变换群很快地推广到无限的离散变换群上，这导致自守函数论的产生．自守函数是过去熟知的三角函数、椭圆函数的推广，最简单的情形是如下的分式线性变换
 
　
　　所构成的群Γ，当群是不连通的时，在这些变换下不变的亚纯函数(即对于z∈上半复平面，f(z)=f(z＇))称为自守函数．自守函数的名称是克莱因在1890年在“一般拉梅函数理论”一文中提出的，后来得到国际上的公认．但系统的自守函数理论是庞加莱在1881年到1884年系统阐述的，这在某种程度上使克莱因的贡献黯然失色．据克莱因自述，他关于自守函数的研究开始于1874年，当他看到庞加莱在1881年初发表的三篇关于自守函数(庞加莱称为富克斯函数)的短文时，他指出自己从1878年发表的五篇关于椭圆模函数理论的文章．从1881年6月到1882年9月，两人通了25封信，进行了友好的“竞争”，一直到1882年底克莱因病倒为止．
　　克莱因对于自守函数的贡献：
　　1．引进椭圆模函数的基本域的概念，这是椭圆函数周期四边形及二十面体群相应的圆弧三角形的自然推广．但是庞加莱考虑更一般的基本域，并独立于戴德金(1877)发现基本不变量j(t)，它取基本域内的每个值只有一次，从而所有椭圆模函数都可表为j(t)的有理函数．
　　2．进一步研究Γ的有限指标子群，即同余子群：Γ中满足a≡d≡+1，b≡c≡0(modm)条件的所有变换构成的子群Γ1，最小可能的m称为Γ1的级．同余子群与数论密切相关．
　　3．在庞加莱的暗示下，1882年克莱因“证明”了边界圆定理，他称之为基本定理：复数域不可约多项式f(w，z)=0可以由g1(t)=w，g2(t)=z来参数化，按照f(w，z)=0的黎曼面的亏格为0，1，和大于1，g1(t)，g2(t)分别可写成大的有理函数，椭圆函数和边界圆群的自守函数．实际上，这是著名的单值化定理，不过，克莱因的证明并不完全，庞加莱稍后也得出同样定理，也不完全．一直到25年后，P．克贝(Koebe)和庞加莱才独立地得出完整的证明．
　　克莱因关于这方面的研究总结在他同R．弗里克(Fricke)合作的两部书中：《椭圆模函数论讲义》(Vorlesungen über dieTheorie der elliptischen ModulfunktionenⅠ 1890，Ⅱ 1892两卷)和《自守函数论讲义》(Vorlesungen über die Theorie derautomorphen Funktionen，两卷，1897，1912)．
　　 克莱因用直觉的几何观点整理了黎曼曲面理论，在这个过程中他发展了一些拓扑的概念．他提出用p个柄的球面代替黎曼多叶曲面，他注意到曲面的可定向性及不可定向性，并证明射影平面的不可定向性．他明确概括前人的结果：两个可定向曲面同胚当且仅当亏格相等，他还指出在定向曲面有边界的情况下，还需边界曲线条数相等．他首次引进不可定向单侧闭曲面——克莱因瓶．这些工作在曲面拓扑学上有着历史意义．
　　 除了数学的工作之外，克莱因的数学史至今仍是19世纪数学史上的重要的标准著作，作为当时的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家有所启迪．他的《高观点看初等数学》(Elementarmathematik vom h heren Standpunkte aus Ⅰ 1908，Ⅱ，1909)反映了他对数学的许多观点，是一本译为多种文字的通俗读物，影响至今不衰．