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书名 | 解析几何解疑（第2版） 书号 | 978-7-303-22714-3 作者 | 章士藻 段志贵 左铨如 时间 | 2018年4月 定价 | 40.00元 彭翕成老师说：30年前的书，还能重印。必然有过人之处。而且是全新修订，增加了不少篇幅。你不想看看吗？ 后 记 本书原由我与扬州大学左铨如先生(第二作者)合作编著，于1988年由北京师范大学出版社出版，次年曾重印一次，发行近万册。 出版后，受到读者普遍欢迎，被不少教师作为教学参考与研究引用.在2000年前后曾有河北唐山、甘肃张掖、广西河池等地读者因难以购买到，来信出版社要求重印.当时我因教学任务重，手头又有多个研究项目急需完成，实在无力顾及修订之事，以致一直未能如愿再次出版或重印。 2016年，又有读者提及此事.北京师大出版社编辑来电后，我三次试图与左先生联系，均因他退休多年，长住外地子女处而无法联系.我退休多年，目前虽精力尚好，但缺乏继续进行科研的工作条件，于是与我校在职的段志贵先生相商，他愿承担部分修订任务，决定保持原书结构，共同将原书78个问题补充修订成100个问题.由于得到了盐城师院领导的大力支持和同行的热心相助，并经刘风娟编辑的精心策划和过细的工作，这样才能得以再次与读者见面。 为何一本普通的教学参考书能如此引起广大读者的极大关注呢？ 我想这主要是由于该书的内容翔实，涉及面广，既有广度，又有深度，提供了许多难得的教学与研究的参考资料所致。 现追究其成因有三个： 一是，与我受到名师的教诲和众多大师的指导有关.20世纪50年代，我在江苏师院（现苏州大学）读书时，蔡介福教授任教解析几何、金品老师任教高等几何，他俩教艺高超，对几何学研究造诣很深.当时蔡老师编著的《解析几何》（高等教育出版社，1960年），近60年来一直是高校的首选教材.金老师对几何解题很有研究，解法简捷、巧妙，尤善用初（高）等方法解决高（初）等几何的问题，是我国近当代唯一敢说从没有遇到过几何难题的人。后来，我又结识了南开大学吴大任教授、陈教授，东北师大马忠林教授等，这些几何学大师对我的来信请教，都及时认真详尽地解答,并给我不断勉励。 二是，我于1962年从教后，除“文化大革命”中下放滨海县9年，曾担任一段中学数学教学与县、市数学教研员外，先后在盐城教师进修学院、盐城师专、盐城师院任教初等几何、高等几何、解析几何、微分几何等课程长达40年之久，且多次承担过省内外几何学方面的讲座、培训与研讨，参与当地中小学教学的调研与指导，接触教学教改实际，也积累了较为丰富的教学教改经验.书中不少问题就是当年与学生、学员、同行们接触时，由他们所提出问题中经过筛选与提炼出来的。 三是，在我出版的10多本专著、教材，发表的90多篇论文中，有近三分之一是关于几何学，特别是有关解析几何方面的.书中有些问题的解答，实质上已涉及高等几何、微分几何的知识；有些问题难是解析几何本身难，且长期未能得到解决。例如，从理论上说，所有的初等几何问题都可以用解析法进行研究，但实践上往往很为困难，为此我进行了较为系统、深入的研究。 正如人们翻地，在大幅地上用机耕、牛耕；在山坡、庭院用耙筑、镐挖；在花坛、花盆中只可用小铲、小刀挖土一样，需要根据不同情况运用不同的工具.同样，在解析几何中也必须运用多种坐标系（工具）进行研究.例如对平面几何问题的解析法研究，只有灵活运用直角坐标系、斜角坐标系、仿射坐标系、单极坐标系、甚至双极坐标系、三线坐标系才有可能，而这些是人们很少知晓的.为此，我除发表多篇论文外，且成书于《坐标系与解析法证题》（章士藻著，江苏人民出版社，1983年）一书，从而较好地解决了解析几何教学中这一长期存在的难题。 因此，本书的编写，既是我们一份的研究成果，解析几何教学与研究中的结晶.同时，在某种意义上说，也是广大同行的共同参与，更是我的恩师与众多几何学大师们赐教的结果.只是由于我们能力所限，未能将他们的思想、精神、理解、表述充分地反映出来，其中难免存在不当甚至错误之处，还恳望广大读者多多指正。谢谢！
章士藻 前 言 解析几何，这是产生于17世纪初，运用代数方法研究几何对象的一个重要的数学分支学科。 16、17世纪，随着西方资本主义的兴起，生产实践向自然科学提出了许多新的研究课题，迫切需要力学、天文学等基础科学来研究解决，从而，也就要求数学提出相应的新的概念与方法.当时就是在这样的历史条件下，法国著名哲学、数学、物理学家笛卡儿（1596—1650），在前人研究的基础上，认识到几何过分地依赖于图形，而代数又完全受公式、法则所约束等缺陷，提出建立坐标系，通过平面上点与实数对（x，y）之间的对应关系，将几何与代数两者结合起来，互相取长补短，以此为基本思想，创建了解析几何学。 创建了解析几何，建立变量数学才有了可能.至今解析几何与微积分不仅是学习高等数学的基础，而且是一切理工科的基本工具，它不仅在工程技术和物理学以及现代医学、经济学、教育统计学、实验心理学等方面有着广泛的应用，而且它的基本思想与基本方法几乎渗透到大多数学研究的领域，成为初等数学进入高等数学的转折点。 解析几何，目前不仅是一切理工科院校的专业基础课，其平面部分还是中学、中专学校的重要教学内容，且在高考数学中的地位十分突出.作者早期任教过中学中师，后担任本专科初等几何、高等几何、解析几何、微分几何教学30多年，多次承担几何学方面讲座、培训与研讨，曾参阅不同时期、不同层次、不同国籍解析几何方面的教材、专著（包括有的孤本）达100多册，积累了较丰富的教学教改经验，发表了多篇研究性论文,出版了多本几何学方面著作，为本书编写创造了条件,奠定了基础。 为有助于读者系统地学习与研究这门课程，本书基于数学与应用数学专业人才培养要求，兼顾大学、中学师生的需要，结合我们从事实际教学与研究的体会，分10个部分，即第1章总论；第2章关于点的坐标与常用公式；第3章曲线与方程；第4章关于直线；第5章关于圆锥曲线；第6章关于二次曲线一般理论；第7章关于二次曲线的应用；第8章关于参数方程；第9章关于极坐标；第10章关于空间解析几何中的一些问题。 本书共提炼出100个问题，以问答形式进行编写，每题独立成编，长短不拘统一，力求文字生动精练，内容明白易懂，具有学术性、先进性、针对性、实用性、启发性。 本书目的在于激发读者的学习兴趣，帮助读者进一步加深对解析几何基本思想、基本概念、基本公式、基本方法、基本技能技巧的理解与掌握，进一步培养分析问题与解决问题的能力.同时，由于本书中有一定数量的问题属于理论问题的阐述，理论联系实际的实例，深入钻研教材的教学体会，资料较为少见，这也为从事这门课程教学与研究的同志，提供一份内容较为丰富翔实的参考资料。 在编写中，我们注意学习、吸收近几年来的研究成果，特向所引用的有关书籍、期刊的作者表示感谢.在编写中，曾一度考虑反映教学教改的问题，但由于我们已脱离该课程教学多年，且本书也不能面面俱到，故只能忍痛割爱，未涉及该课程当前的教学教改问题。 以上数端，只是我们一片愿望，鉴于我们自身的水平、能力和条件所限，加之修订时间仓促，书中难免有不足之处，敬盼有关专家、学者、老师和同学们多多提供指导性的意见，以待进一步修订、提高。 编 者 目 录 第1章 总 论 1 何谓数学,它有哪些基本特征? 2 何谓几何学，它有哪些主要分科？ 3 何谓解析几何，它是怎样产生与发展起来的? 4 解析几何的方法、主要内容是什么，学习解析几何有何意义？ 5 解析几何教材有哪些基本的处理手法和安排体系? 6 在解析几何教学中应着重注意哪些问题? 7 在解析几何解题中应注意掌握哪些技能技巧？ 第2章 关于点的坐标与常用公式 8 何谓有向线段，有向线段、有向线段的数量与有向线段的长度三者之间有什么关系？ 9 何谓向量与向量的模，向量与有向线段有何区别？ 10 何谓张量，数学中引进张量有何意义？ 11 怎样证明沙尔定理，它在解析几何中有什么重要作用? 12 数学中为什么要引进坐标的概念，构成坐标的通则是什么? 13 平面直角坐标系有哪些要素，原点是否一定要取在两轴的交点处，两轴上的单位长能否不一致? 14 什么叫平面斜坐标系，平面直角坐标与斜坐标的互换公式是怎样的? 15 何谓平面仿射坐标系，它有哪些基本公式？ 16 平面仿射坐标系与平面斜角坐标系在解题中有何具体应用？ 17 何谓平面三线坐标系,它有何应用? 18 平面解析几何中有哪些基本公式，它们之间有何内在的联系? 19 如何计算平面简单多边形的面积? 20 如何求平面简单多边形的重心？ 第3章 曲线与方程 21 如何深刻理解曲线与方程的概念? 22 求曲线的方程有哪些主要步骤，并需要注意些什么问题? 23 在求曲线方程时，一般要不要进行纯粹性与完备性两方面的证明? 24 如何利用方程的同解性化简曲线方程？ 25 由方程画曲线一般有哪些主要步骤? 26 函数与图象、曲线与方程这两个概念有何联系与区别？ 第4章 关于直线 27 二元一次不等式的几何意义是什么，如何确定二元一次不等式组所表示的平面区域? 28 如何推导点到直线的距离公式，在应用此公式时，又如何去掉绝对值的符号? 29 什么叫直线系方程，研究直线系方程有何意义? 30 什么叫解析法证题，它与解析几何的方法证题、代数法证题各有什么区别？ 31 解析法证题有哪些主要步骤，实施中应注意掌握哪些技能技巧？……64 32 什么叫直线型经验公式，建立直线型经验公式有哪些常用的方法，各有何优缺点？ 第5章 关于圆锥曲线 33 圆的方程有哪些形式，为什么要三个条件才能确定一个圆？ 34 何谓共轴圆系，它有什么性质与应用？ 35 为什么将椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线，它们的统一定义与方程是怎样得到的？ 36 如何用解析法证明平面与圆锥面相截，所得的截线是椭圆，双曲线或抛物线？ 37 建立椭圆、双曲线的标准方程时，应如何论证方程的同解性？ 38 为什么说离心率相等的两个圆锥曲线是相似的？ 39 如何求一般方程f(x,y)=0的近似解？ 40 如何简捷地作出圆锥曲线的切线？ 41 椭圆和双曲线各有哪些常见的几何画法？ 42 徒手画双曲线应注意什么问题? 43 椭圆有哪几种四心画法，为什么说由四段圆弧所连成的是两两吻接的？ 第6章 关于二次曲线的一般理论 44 直线与二次曲线至多有几个交点？为什么？ 45 为什么说圆锥曲线的直径都可认为是直线，研究圆锥曲线的直径与共轭直径有何意义？ 46 如何求二次曲线的对称轴，它有多少条对称轴？ 47 如何求二次曲线的渐近线？ 48 如何求经过定点或给定斜率的二次曲线的切线方程，又如何判别定点在二次曲线的内域或外域？ 49 如何建立求平面曲线关于定点、定直线对称曲线的统一方法？ 50 两曲线相切的充耍条件是什么，解有关这类习题时应注意什么？ 51 何谓二次曲线的极点与极线，引进这两个概念有何意义？ 52 坐标变换与点变换之间有何联系与区别？ 53 在移轴变换下二次方程有何变化规律，利用移轴变换能否消去方程中的xy项？ 54 在转轴变换下二次方程有何变化规律，利用转轴变换能否消去方程中的y2（或x2）项？ 55 如果选择双曲线的一条渐近线为坐标轴，那么它的方程将成为什么形式？ 56 何谓二次曲线方程的不变量，研究其不变量有何意义？ 57 如何用不变量表示二次曲线的离心率与焦点等几何量？ 58 如何用不变量判别中心二次曲线的类型，并确定二次曲线的位置？ 59 如何用不变量确定抛物线的开口方向？ 60 怎样最简捷的化简一般二元二次方程？ 61 研究二次曲线族有何意义，有哪些常见的二次曲线族方程？ 第7章 关于二次曲线的应用 62 如何具体鉴别一段圆锥曲线弧，如何简便地画抛物线弧？ 63 如何简单地求两条二次曲线的交点，应用此法又如何解一元四次方程？ 64 如何运用伸缩变换来研究椭圆的性质？ 65 如何计算椭圆的周长？ 66 何谓双曲线时差定位图，其绘制原理与使用方法是怎样的？ 第8章 关于参数方程 67 化曲线的参数方程为普通方程有何作用，有哪些基本的方法，并应注意些什么问题？ 68 化曲线的普通方程为参数方程有何意义，选择参数的原则与方法各是怎样的？ 69 如何选取参数建立轨迹的方程，又如何利用参数与变换解轨迹题？ 70 如何讨论参数方程所表示曲线的性质？ 第9章 关于极坐标 71 何谓双极坐标系，它有何应用？ 72 为什么要引进广义极坐标，何谓曲线极坐标方程的通式与特式？ 73 在广义极坐标系下，如何正确理解曲线与方程的对应关系？ 74 何谓曲线的周期，它与曲线ρ=f(θ)的特式与函数ρ=f(θ)的周期有什么关系？ 75 研究曲线的直角坐标方程与极坐标方程的互化有何意义，在互化中应注意什么问题？ 76 如何求曲线的极坐标方程，并应注意些什么问题？ 77 如何讨论极坐标方程所表示曲线的性质? 78 如何求极坐标系中两曲线的交点？ 79 如何推导旋轮线和圆内外旋轮线的统一方程，并正确地对它们进行分类？ 80 为什么说椭圆、帕斯卡蜗线和玫瑰线都是圆内外旋轮线的特例？ 81 尖旋轮线为何又称为最速降线和摆线，摆线的等时性是什么意义？ 82 何谓圆的广义渐伸线，为何它是圆外旋轮线的极限情形？ 83 为何阿基米德螺线又是圆的渐伸线的特例？ 84 如何推导天体运行的轨道方程ρ=p1+ecos(θ-θ0)? 85 如何推导人造地球卫星的周期T=2πR3/2GM1+h近+h远2R3/2？ 86 如何推导三种宇宙速度，它与天体的运行轨道有何关系？ 第10章 关于空间解析几何中的一些问题 87 向量是怎样产生的，在解析几何的研究中引入向量有何意义？ 88 为什么应用向量解决几何问题往往会简便些？ 89 如何推导空间绕定直线的旋转变换公式？在此变换下,如何确定旋转轴和旋转角度？ 90 如何计算空间简单多边形的面积？ 91 如何计算空间四面体的体积？ 92 如何求关于定点，定平面对称的曲面与曲线的方程？ 93 何谓柱面坐标，它有何重要应用？ 94 何谓球面坐标，它有何重要应用？ 95 如何画二次曲面的直观图？ 96 求动曲线的轨迹方程时，如何消去参数？ 97 如何求二次曲面的对称平面和二次曲面的基本不变量及半不变量？ 98 化简二次曲面的方程有何简捷的方法，又如何判别二次曲面的类型？ 99 如何确定二次曲面的位置，又如何确定抛物柱面和抛物面的开口方向？ 100 何谓二次直纹面，它有哪些重要的性质与作用？ 不管高中教材如何改，高考如何改，解析几何始终占据非常重要的地位。大题、小题都有。如何深刻认识解析几何中的一些问题，很有必要听听大学教授的看法。 电子版（老版）领取方式： 先将本文转发到 朋友圈或数学群，然后 向公众号发送关键词 解析几何解疑 即可获得下载地址。
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