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说到数学，很多人以为数学就是解题，以为数学家的工作就是用那些复杂的知识和技巧去解决一些特殊的、困难的问题。诚然解题是数学中不可缺少的部分，但解题从来不是数学的全部，也不是最重要的部分。数学要追寻的是世界内在的普遍、深刻的规律、结构，而不是那些表面的、特殊的现象。数学有自身的研究对象和发展动力。 起初，人们在日常生活中需要计数、计算、测量，这些活动的经验让人们得到了最初的数学知识和技巧。后来，人们把数量和形状从具体的物体中抽象出来作为独立的客体进行研究，数学才正式诞生，因为只有把数量和形状作为独立的对象进行研究，才有可能进而研究以数量和形状为基础的更复杂的结构。对数量和形状的研究在古希腊人那里达到巅峰，他们发明了严密的论证体系来组织他们庞大的数学知识体系，并保证他们的数学知识的正确性；他们开发了大量复杂的技术来发现一些艰深的数学知识，这些知识对外行人来说是很难想象能够被人类的理智所理解的。然而无论古希腊的数学成就多么辉煌，他们能够研究的也只是恒定的数量和具体的形状，而自然界中更加普遍的是各种变化和运动。 只有在把变化也作为独立的研究对象，发现自然界各种变化背后更深层的规律，数学的力量才开始展现。真正的数学从这里才刚刚开始。 变化是什么？一种变化的每一次发生都会把一个物体变成另一个物体，变化前后的两个物体决定了这次变化与其它变化的区别，所以一次变化实际上就是两个物体的一次对应。在数学中我们只关心物体那些能够被量化的属性，那么发生在物体上的一次变化就是那些能够被量化的属性在数量上的变化，所以在数学上一次变化实际上就是两个数量的对应x→y，这里x代表变化前的数量（变量），y代表变化后的数量（因变量）。而一种变化就是一个集合里的数量与另一个集合里的数量的一一对应，x1→y1，x2→y2,x3→y3,…,且同一种变化作用在同一个数量上得到的结果是不变的，也就是同一个变量只对应一个因变量，这其实就是函数的定义，函数就是变化的另一种说法。尽管函数表示的是那些能够被量化的变化，看起来似乎只是对自然界多种多样的变化的简化，然而实际上客观世界里的所有属性都能进行某种程度的量化，所以函数实际上是包罗万象的概念。 对变量和数字进行加减和乘法运算，把得到的函数看作是变量，再与别的函数进行加减和乘法运算，如此反复，所有能通过这种步骤得到的函数就是多项式。多项式是最简单的一类函数，是研究一切其它函数的基础。除了多项式，人们在实践中还发现了其它一些函数。这些函数起初是通过不同方式被定义的，但在微积分出现以后，这些函数被发现互相之间存在着深层次的联系。 说起微积分，它本质上就是人类认知事物的一种方法。它将事物的整体与局部联系起来，使人们可以通过事物局部的信息而知道整体的性质；或者反过来，通过整体的信息可以知道局部的细节。比如，一个物体的整个运动过程是一个整体，而它在某个时刻的运动状态是局部信息，科学家可以通过分析物体在某个时刻的运动状态而知道物体的整个运动过程。又比如：空间中某个几何图形是一个整体，几何图形上每一点的几何性质都是一个局部信息，科学家可以通过关于几何图形整体的信息知道局部每一点的几何性质。 实际上微积分在两千年前就已经有了萌芽，古希腊最伟大的数学家可以根据几何图形的局部性质计算出几何图形的整体性质。但古希腊人的方法需要对每个具体的几何图形都构建出一个复杂的论证过程。而17世纪有了函数的概念，这不仅意味着复杂的论证推理过程可以被简化为简单的函数计算，更重要的是，很多不同的图形对应着本质上相同的一类函数，只要计算出这种函数，就相当于计算出这种函数对应的无数种图形。这就是把数学研究的对象从具体的量上升到函数所到来的飞跃。 微积分的发明彻底改变了人类认知世界的能力。自然界的大多数运动、变化，人类可以通过观测、分析等方法获得它们的某些局部信息，但很难获得它们的整体信息以及那些观测不到的局部的信息。有了微积分，人类就可以通过某些局部的信息，计算出整体的信息，还可以再通过整体的信息，计算出没有被观测到的局部的信息。能够得到未被观测到的信息让人类有了预测的能力，自然科学由此从哲学和神话中脱颖而出。表达运动、变化的局部信息的关系式叫微分方程，从局部信息计算出整体信息的过程其实就是在求解微分方程。对于17、18世纪的科学家来说，自然科学的任务就是求出自然界各种运动、变化的微分方程，再求出这些微分方程的解。 微积分还成为了连接不同函数的桥梁：某种函数在局部的性质其实是另一种函数，而某种函数经过“累积”而形成的整体其实是另一种函数。微积分让数学家可以发现许多不同函数之间的联系，复杂的函数可以“分解”为简单的函数，不同种类的函数可以通过统一的方式进行描述，无数神秘奇妙的关系（公式）通过函数之间的联系而被挖掘出来，大量新的函数不断涌现，函数的概念被极大地扩展。 微积分的强大威力让数学家们肆无忌惮地应用微积分的计算技术，得到了很多荒谬怪异的结果。17、18世纪的数学家并未因这些富有争议的结论而止步不前，他们可以依靠自己的直觉和经验避开谬论，对他们来说，用数学解决真实世界的问题比用逻辑或哲学澄清概念上的混乱更有吸引力。到了19世纪，数学的进一步发展让数学家不得不面对底层概念的混乱，一批数学家着手于在这片混乱中整理出秩序来。他们澄清了概念上的混乱并将概念推广到了新的数学领域；仔细区分了在什么对象上可以使用微积分、在什么条件下可以使用微积分。他们的工作把数学建立在逻辑之上而不再依赖于物理和直觉，这带来了不小的争议：一方面极大地扩展了很多数学概念的内涵，数学家可以自由地使用数学而不必限制于直觉，大量超出日常经验的数学内容被创造出来，数学的疆域迅速扩张；另一方面大量繁琐抽象的语言和逻辑掩盖了数学本身的思想，数学很大一部分变成了枯燥的文字游戏，而那些反直觉的新颖概念也难被那些保守派们接受。这种争议到今天仍在继续，关于这个话题有很多可以谈的东西，但这不是我们这里要谈的，所以这个话题到此为止。 总之，我们前面提到的：把自然规律用微分方程表示出来；求解微分方程；研究不同函数之间的关系；研究函数的性质和结构；推广函数的种类；研究在什么对象上可以使用微积分、在什么条件下可以使用微积分，...。所有这些内容构成了我们称之为分析的数学分支。 除了分析，数学的另外两个主要分支是几何和代数。 我们先来讲讲代数。起初并没有代数这个分支，只有解方程以及对整数性质的研究。随着对解方程的研究的深入，越来越多不同种类的数被发现，自然数、分数、整数、实数、复数、四元数、八元数等，数的概念不断扩大。这些不同类型的数各有其独有的性质，并且它们的内部也各有不同的结构。随着对这些不同类型的数的认识的不断积累，对这些数的研究也逐渐摆脱解方程的需要而成为独立的分支。而整数作为最基本的一类数，对整数的研究也揭示了其内部的各种结构，比如：任给一个整数m，比如说m=5，所有的整数被5整除后的余数只能是0、1、2、3、4。如果你要计算2343435^2+2842738486242^5-913720426*21764123-924239236被5整除后的余数是多少时，由于2343435被5除余0，2842738486242被5除余2,913720426被5除余1,21764123被5除余3,924239236被5除余1,于是你只需要计算0^2+2^5-1*3-1被5整除后的余数是多少即可。这看似简单的改变背后蕴含的事实是：整数内部的结构会保持某些运算性质而“抹掉”其它一些运算性质，这样对整数的某些性质的研究就可以被转移到这些更简单的内部结构上来。 除了对于数的研究以外，很多对其它领域的问题的研究也产生了与之相关的某种抽象结构的知识。比如：几何的尺规作图问题；对保持空间中的客体的某种性质不变的变换的研究；对如何化简方程组的研究等。其中最有影响力的工作是伽罗瓦对方程根式解问题的研究，他把无穷多个方程是否有根式解的问题转化为有限的抽象结构的问题，不但彻底解决了方程根式解的问题，还改变了后世数学家思考问题的方式，是数学史上最重要的两、三项工作之一。总之，到了19世纪，人们已经知道了大量关于各种抽象结构的事实。19世纪中叶以后的数学家从这些具体的结构中抽象出共同的特征、性质，以抽象的概念替代变换、数系等具体的结构，进而脱离了对具体结构的研究，转而研究不同的具体结构们所共有的性质和规律。 不严格地说，一个抽象代数结构是由一些元素组成的集合，以及元素之间的（一种或几种）相互作用所决定，元素们在相互作用之下是封闭的，也就是说，不同元素之间经过相互作用之后得到的元素仍然属于这个集合。抽象代数结构按照相互作用的个数、相互作用必须满足的条件等，又可分为群、环、域、李代数等不同类型的代数结构。对于一种类型的代数结构（比如群）而言，一个自然而然的问题是，这种代数结构的成员具体都是什么样子？也就是说，这种代数结构里有哪些不同的种类？就像生物学家把地球上的生物划分为不同的种类一样，数学家需要把代数结构划分为本质上不同的种类，寻找每一种可能存在的结构（分类）。此外，数学家还需要像化学家把简单的小分子合成复杂的大分子那样，把简单的结构“合成”复杂的结构，确定有哪些不同的“合成”方式（代数结构的扩张）；需要像物理学家把肉眼无法看见的微观世界的现象通过实验转化成肉眼可见的宏观世界的现象那样，把难以研究的抽象的代数结构转化回容易研究的具体的代数结构，以具体的性质反映抽象的性质（表示论）。总之，数学家所做的与自然科学家所做的并无二致，都是对自然界中客观存在的规律进行研究，只不过自然科学家研究的是一定范围内可观测的客体，而数学家研究的是无限多种可能存在的客体共同具有的抽象结构。代数结构是两种最重要的抽象结构之一。而代数学正如前面所述，主要研究各种代数结构的分类、表示、扩张等一般的性质以及一些具体的代数结构的具体性质等。代数结构与另一种重要的抽象结构——拓扑结构一起，支配了现代数学世界，绝大多数数学对象都可以看作是这两种结构的复合。 在说拓扑之前，我们先谈谈几何学。众所周知，坐标几何（解析几何）的出现是几何学史上的一大进步。平面图形上的每一个点都可以由两个量（x,y）描述，也就决定了两个量的一个对应x→y。一个平面图形是一些点的集合，也就决定了两个集合的量的对应：x1→y1，x2→y2,x3→y3,…,也就是一个函数（方程）。这样，就可以把对几何图形的研究转化为对函数（方程）的研究。而函数（方程）对图形每一个点的精确描述能力，是以前依靠推理的初等几何学无法企及的。而微积分的出现更让数学家们可以计算任意几何图形的面积、体积，这是古希腊的几何学家难以想象的。然而这种进步只是用更强大的工具去解决旧的问题，还没有形成新的问题，发现新的研究对象，还算不上变革。17、18世纪的几何学更多的只是分析的附属品，是分析的应用。 所有的变革都是从一步步积累开始的。17、18世纪随着微积分的发展数学家需要研究像求切线、曲率、拐点这样的问题，对这些问题的研究最终产生了关于曲线和曲面的一般性理论，这些理论关注的是所有曲线或曲面共有的一般性质，而不是某种具体几何图形的性质。1827年高斯发表了《关于曲面的一般研究》，在这篇文章中高斯考虑了曲面在不同坐标下如何转换的问题。对这个问题的研究使高斯计算出了与曲面相关的一些量，这些量决定了曲面的几何性质。也就是说，对曲面几何性质的研究完全可以转化为对这些量的研究。并且，这些量与曲面所在的三维空间的坐标系如何选取无关，只与曲面本身以及曲面上的距离如何定义有关，也就是说，这些量反映了曲面内在的几何性质，而与曲面所处的外部空间无关。内蕴几何学由此诞生，人们开始意识到可以从空间的内部研究空间而不必身处空间之外。高斯的思想由黎曼继承并被超越。黎曼重新思考了人类如何研究空间（几何）这个根本问题，他考虑的是哪些东西是依赖于经验的，而哪些东西不会随经验而改变。黎曼的思想是通过研究空间的局部性质来确定空间的整体性质。由高斯的工作知道一个曲面的几何性质完全可以由曲面上两点间的距离如何定义所决定，而黎曼把曲面上两点间的距离看作一个函数，这个函数随着点在曲面上的位置变化而改变，它在每一个位置上的取值都决定了曲面在这个位置的几何性质，于是曲面的整体性质就由每个位置的局部性质决定，曲面不再被视作一个不变的整体，而是一个每个位置都在变动的“流形”。 “几何空间（比如曲面）中两点间的距离决定这个空间的几何性质”这个数学事实不会改变，而“空间中两点间的距离如何定义”则依赖于经验，每一种距离的定义都会产生一种相应的几何学。这样，黎曼所提出的几何学就不是一种具体的空间的几何学，而是关于无数种可能的空间的几何学。黎曼超越了那种什么才符合现实什么不符合现实的狭隘争论，而把所有可能性纳入其中。这也是为什么黎曼创立的几何学能够在黎曼死后半个世纪成为爱因斯坦提出广义相对论的必要工具，也是为什么数学在物理学中有着不可思议的有效性，因为数学不只考虑现实的世界是什么样的，数学考虑的是所有可能存在的世界是什么样的，世界不可能不按照数学的规律运行。 现在可以说说什么是拓扑了。前面已经提到，一个几何对象（曲面）的性质由这个几何对象本身以及它上面的距离如何定义所决定的。两点间的距离决定了像长度、面积、角度、形状这样的度量性质，而还有一些性质，它们与度量无关，是几何对象本身内在最本质的性质，它们不是由局部性质决定的，是几何对象整体的性质，拓扑学就是研究这样的性质。比如：平面上一个圆和把平面分为两个部分（一个内部一个外部），任意一条连接这两个部分的曲线都会与圆相交，这个性质与圆的形状、面积等可度量的性质无关，任意一种平面上的闭曲线都有这个性质，在这个意义上，圆与任意一种平面上的闭曲线在拓扑学的意义上是等价的，是同一种拓扑结构。然而，对于三维空间中的球面和环面，两者虽然也都把三维空间分割成两个部分，但是两者的“内部连通方式”明显不同，而这种“内部连通方式”也不属于可度量的性质，是属于球面和环面内在固有的性质，是拓扑学需要区分的性质。 拓扑学的一个基本任务就是要把具有不同拓扑性质的数学对象区分开来，进行分类，把拓扑性质完全相同的数学对象归类到同一种拓扑结构中，并找出所有可能存在的不同的拓扑结构。为了对拓扑结构进行分类，数学家需要找到足够的性质，通过这些性质区分不同的拓扑结构，使得相同的拓扑结构拥有相同的性质，不同的拓扑结构具有不同的性质。这些性质称为不变量，因为把一个数学对象变换成与它拓扑结构相同的另一个数学对象，这些性质是保持不变的。有些不变量是数字，但由于拓扑结构的多样性，只用数字作为不变量是不够的，还需要比数字更一般的对象——代数结构（主要是群）作为不变量。（代数）拓扑学的工作主要就是寻找新的未知的不变量以刻画拓扑结构，以及对每种拓扑结构计算出它的已知的不变量具体是什么。 以上就是数学的三个主要分支——分析、代数、几何的一些基本内容。由于篇幅和本人能力有限，这里只包含了这三个分支最基础的思想和内容，更深入的东西都没有介绍，而且数学也不只只有这三个分支。事实上，所有分支都是人为划分的。不同分支的差别只是看待问题的视角或研究的工具不同，但最终目的都是相同的——都是要把隐藏在问题背后的数学结构揭示出来，理解它们。数学从来不是像一些外行所说的那样是一门演绎学科，而是从自然中发现规律，再把这些规律抽象出来，并把它们作为独立的对象——数学结构，进行研究。所有关于结构的知识和思想到今天形成了一个庞大宏伟的数学世界。这个世界并不是一堆零星的没什么关联的知识的总和，而是像一颗参天巨树一样，有着清晰的脉络枝干，将不同的部分联系到一起。我们今天概览了三个最大的枝干，今后将带大家了解这棵树更多具体的部分。 参考文献： M.克莱因 《古今数学思想》 维基百科 《普林斯顿数学指南》 mathworld.wolfram.com Encyclopedia of Mathematics R.柯朗, F.约翰 《微积分和数学分析引论》 |
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