Borel 集

quasiceo 2017-12-01

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Borel 集的作用？意义？它为什么重要？

它在数学研究过程中通常会起到什么作用呢？它为什么要这么定义？是为了什么意义呢？

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9 个回答

知乎用户

数学话题的优秀回答者

1:1 起初数学家定义（非负实值）外测度。
1:2 空间是空虚混沌；数学家的目光流转在集合上。
1:3 数学家说：“要有非负集函数（set function）。”就有了非负集函数。
1:4 数学家看空集是好的，就把空集和非空集分开了。
1:5 数学家让空集的函数值一定为零。有起点，这是头一条。
1:6 数学家说：“并集的值一定要被包含它的任意集合的各个部分值之和所控制。”
1:7 数学家就造出可数次可加性（顺带单调性）。事就这样成了。
1:8 数学家感觉对外测度满意了，是第二条。
1:9 数学家说：“好的集合一定要能够把每个集合分为两部分，使得这两部分的外测度加和与原集合相等。”事就这样成了。
1:10 数学家称这样为可测的，称其它的集合为不可测的。数学家看着是好的。
1:11 数学家说：“所有可测的集合会形成一个结构，我们称这种结构为 $\sigma-$ 代数。”事就这样成了。
1:12 于是数学家定义了 $\sigma-$ 代数，并验证了可测集组成一个 $\sigma-$ 代数。这样的做法符合公理化原则。数学家看着是好的。
1:13 有可测集，有不可测集，是第三条。
1:14 数学家说：“空间有意义，需要拓扑，可以谈开闭集。
1:15 开集都要可测才好。”事就这样成了。
1:16 于是数学家造了一个包含所有开集的最小 $\sigma-$ 代数，称其为Borel代数。
1:17 就把代数中的元素称为Borel集。标在空间中。
1:18 所有开集有测度，则必然可以延拓到Borel集上。数学家看着是好的。
1:19 有拓扑，赋测度，是第四条。
……【下略】

编辑于 2015-08-04

慧航

计量经济学、统计学、经济学

话题的优秀回答者

我来从概率论的角度说一下Borel集的意义吧。

首先回忆一下概率空间的定义，概率空间是一个三元组，样本空间、事件的集合、概率。

我们的概率函数是定义在事件上的，而不是定义在样本空间上的。

概率的定义必须满足几个性质，也就是Kolmogorov公理：

当样本空间离散的时候，概率非常容易定义，只要分配给每一个结果一个概率值，其和等于1就好了。这个时候我们可以定义概率的所有事件的集合就是样本空间的全部子集，没毛病。

但是当样本空间不是离散的，比如说是实轴R，那么概率的定义就比较麻烦了。我们发现，并不是R上的所有子集（事件）都可以被定义上概率，比如：

看，我们发现，如果严格按照概率函数的定义，并不是R上的所有子集（事件）都能被定义概率的。那么我们能不能把那些能定义概率的集合（事件）挑出来只对他们进行研究呢？

当然可以。但是挑出来的这些事件的集合必须有一些要求，比如：

空集必须在这个事件的集合里面
如果我们关心某个事件A，那么「事件A不发生」，也就是A的补集也必须在这个事件的集合里面
如果我们关心一系列事件，那么这些事件同时发生、至少有一个发生的概率也必须能被研究。

这就诞生了所谓的σ-代数的概念。

那么我们怎么在R上定义概率呢？这个时候我们需要引入分布函数了：

有了分布函数，我们可以先在区间上定义概率：

然后通过所谓的内测度外测度定义出一些集合的概率函数。R上所有的区间所生成的最小σ-代数就是Borel σ-代数，Borel σ-代数的元素叫做Borel集。我们发现，刚好所有的Borel集都是可以被定义上概率的，而且是最符合我们直觉的（除非特意构造，碰到的多数集合都是Borel集），所以我们就干脆只研究Borel集的概率算了。

所以它为什么重要？因为通过它，我们排除了那些不好的集合，限制了我们讨论的范围，把我们的问题简单化了。

以上如果有看不懂的可以看这里：http://sijichun.pro/attachment/171801Math.Stats/Lec1_probability.pdf

编辑于 2017-10-03

知乎用户

我从近代数学使用的结构观点来给出一个解释。
数学大致可以分为四个结构：序结构、代数结构、拓扑结构、测度结构。其实测度结构某种意义上是前面三个的衍生，但用得多就单独放出来了。
我们研究一个具有多个性质的对象，当然希望他的性质是有联系的。不然若各个性质都不想关，都是独立的，那就分开讨论各个性质就行了。那样过于简单，而且不能产生有价值的结论。比如拓扑群，要求群的运算对于拓扑是连续的。这样就把代数结构（群的运算）和拓扑结构（连续）联系了起来。

看borel集的定义，一个拓扑空间的开集全体所生成的sigma代数就是borel集。
拓扑结构是用来刻画映射的连续性的，而sigma代数式测度结构的基础。borel集就这样建立拓扑结构和测度结构的联系，可以看出这个定义是十分自然的。自然和谐的定义往往来带无法估量的价值，可能也是数学美得体现。马上我们就有了一个我们需要的重要的结论：连续函数都是可测的。同时令所有连续函数可测的最小的sigma代数就是borel集。从中可以看出borel集不大不小，刚刚好，再多一个元素少一个元素都不行。

可能还有个问题，为什么要提出sigma代数这种结构。我觉得本质上是为了在做测度相关的操作时，涉及的所有运算都是有定义的。这些运算涉及集合的操作就是交、并、差，还有为了极限运算成立还需要可列交，sigma代数也就是满足这样性质的集合族。

发布于 2015-08-04

匿名用户

当你遇到一个困难的问题的时候，通常的策略是先考虑相对简单的特殊形式，而Borel sets对于某些问题就是一个非常自然的候选：比如什么样的集合满足continuum hypothesis，比如什么样的Gale-Stewart game的winnning set一定有一个必胜策略，以及实分析教科书里最常见的什么样的集合外测度和内侧度相等，也就是可测？

对于这些问题最trivial的特殊形式就是开集合和闭集合，那么接下来很自然的问题就是开集合的可数无穷交呢,闭集合的可数无穷并呢？它们的补集呢？可以证明，这样的问题你如果一步一步来证明的话，虽然相对简单，但是由于新集合的生成无穷无尽（你需要证明 $\omega_1$ 次），所以我们把它们打包起来，说有这样一族集合，由开集生成，满足关于可数无穷并，可数无穷交，补集这些运算封闭。

编辑于 2015-08-04

mwuliao

我的那句MMB还是不讲了

所谓测度，就是一个具有可列可加性的非负集函数。当然这不是测度的唯一定义，外测度也是一种方法，不过殊途同归。既然讨论的是函数，而且它的值域是0到正无穷，那么需要关心的就是它的定义域。如果承认选择公理(不可数的)，那么每个(非平凡的)正测度都存在不可测集，所以它的定义域必然不是全空间的所有子集。
因为我们更关心开集，所以我们希望我们讨论的测度，它的定义域至少是要包含全部的开集。而从σ代数，或说σ域的优良性质在于，它包含了全空间和空集，并且只要它包含所有开集，就也包含所有闭集，同时又有一定的完备性，因此我们划定了一个“包含所有开集的最小σ代数”，只有定义域至少包含这个集族的集函数，才是我们关心的对象。当然，存在大量的非开非闭集合；我们最常用的单点测度和勒贝格测度，它们的可测集也不仅仅是博雷尔集，但是只要说一个测度是正博雷尔测度，我们就清楚这个测度是相当有意义的。如果一个测度不是正博雷尔测度，那么存在不可测的开集，很大程度上这个测度没什么价值。

发布于 2017-10-03

Wildcity

金融/法律/计算机/日系作品/美食

如果不是borel集，可以构造borel不可测集使得可数无穷下集合的极限等于样本全集，且每一个子集概率都相等不交，就会引发矛盾（方法是利用有理数集合构造等价类，取等价类一点作为等价类代表，然后利用有理数集可数性质来构造）。

下面这个集合是borel集，但是即使是borel集合，概率也难说——
有这么个违反概率公理的“概率”：
集合是整个自然数集合，f（x）是从全部自然数里选中1（0）到x的集合概率，那么f始终是0，但是f（自然数集）是1，x趋于无穷大的时候f（x）趋于0，这不符合概率公理，就自相矛盾了。

编辑于 2017-11-03

丁匡宇

数学统计

Borel集是由拓扑生成的σ代数，而σ代数上可以定义测度。

编辑于 2017-10-03

知乎用户

对极限封闭