亚历山德罗夫

亚历山德罗夫
杜 瑞 芝
(大连理工大学)
　　亚历山德罗夫，П．С．(Александров，Павел Сергеевич)1896年5月7日生于俄国博戈罗茨克[Богородск，今诺金斯克(Ногинск)]；1982年11月16日卒于莫斯科．数学．
　　亚历山德罗夫出生于博戈罗茨克一位著名的区段医生(Участковыйврач)的家庭．父亲谢尔盖·亚历山德罗维奇·亚历山德罗夫(Сергей Александрович Александров)是沙俄末期一名进步的知识分子，在莫斯科大学医疗系毕业后，他放弃留在大学里工作的机会，自愿到边远地区担任区段医生，为普通民众治病．经过多年的实践，终于成为当时俄国著名的外科专家．父亲的生活道路对亚历山德罗夫人生观的确立有很大影响．他从小就热爱劳动，对自然科学有浓厚兴趣．母亲采扎里娅·阿基莫夫娜·亚历山德罗娃(Чеэария Акимовна Александрова)是一位受过良好教育的妇女，她把自己的全部精力都用在照顾丈夫和抚育子女上．亚历山德罗夫幼时体质较弱，不便到学校就读，母亲就亲自承担他的早期教育．
　　在早期的家庭教育之后，亚历山德罗夫进入斯摩棱斯克公立中学读书．他在13岁时开始对数学发生兴趣．在一堂数学课上，教师A．P．艾格斯(Эйгес)给同学们讲授罗巴切夫斯基几何．非欧几何的创立及其原理使少年亚历山德罗夫激动不已，他在课后立即向老师追问其中不解之处．不久，艾格斯向他的学生推荐一本关于几何基础的书，亚历山德罗夫在老师的帮助下很快就理解了它的内容．这本书使他大开眼界，亚历山德罗夫从此迷恋于数学．在艾格斯老师的鼓励和指导下，亚历山德罗夫在中学期间就熟读了非欧几何和微积分．艾格斯学知广博，他的文学修养和对人文科学的兴趣对亚历山德罗夫也有很大影响．他们师生之间建立了深厚友谊，并一直保持到亚历山德罗夫成为著名学者之后．
　　1913年，亚历山德罗夫以优异成绩从中学毕业，并获金质奖章．同年进入莫斯科大学物理－数学系学习．在以前的很长时间内，莫斯科大学的数学研究远远落在欧洲几所一流大学之后．亚历山德罗夫学习期间，正值H．H．鲁金(Луэин)和Д．Ф．叶戈罗夫(Егоров)在实变函数论领域取得经典结果之时．不久，在莫斯科大学就以鲁金为核心，形成了函数论学派．亚历山德罗夫在大学期间就开始了科学研究，并取得出色的成果．
　　1917年，亚历山德罗夫大学毕业并留校工作．次年，他根据鲁金的建议着手研究连续统问题，没有获得成功．这使他对自己的数学能力产生怀疑．在以后的两年内，他脱离了数学研究，先后在谢维尔诺夫戈罗德和契尔尼戈夫等地的剧团从事编导工作，结交文学艺术界的名流．1920年，当他路经莫斯科时，受到鲁金、叶戈罗夫、И．М．普里瓦洛夫(Привалов)、B．B．斯捷潘诺夫(Степанов)的亲切欢迎，使他重新产生从事数学研究的激情．
　　1920—1921年，亚历山德罗夫在斯摩棱斯克大学任教，并定期到莫斯科大学参加学术活动．在此期间，结识了鲁金教授的年轻助教——П．С．乌雷松(Урысон)，他们很快成为最亲密的朋友．1921年，亚历山德罗夫调到莫斯科大学工作．最初他以额外教授的资格任教，1929年晋升为教授．
　　1922年夏，亚历山德罗夫和乌雷松到莫斯科郊外的波尔舍瓦度假．就是在这个暑期，他们开始了在拓扑学领域的创造性工作．最初的成果在国内没有引起重视．1923年夏和1924年夏，他们两次共同出国留学．第一年，他们来到欧洲数学发展的中心——格丁根大学．当时格丁根大学的学术环境与莫斯科大学鲁金学派繁荣时期很相似．他们一面向各位数学大师学习，一面宣传自己在拓扑学研究中的新思想．他们的工作很快引起F．克莱因(Kline)和D．希尔伯特(Hilbert)的兴趣，并得到赞许．1924年以后，他们的论文开始在欧洲几种主要的数学杂志上发表．在此期间，A．E．诺特(Noether)及R．库朗(Courant)的工作对他们有很大影响．1924年夏，亚历山德罗夫和乌雷松先后来到波恩和阿姆斯特丹，拜访F．豪斯多夫(Hausdorff)和L．F．布劳威尔(Brouwer)．他们对拓扑学研究中的一些感兴趣的问题，进行了愉快的讨论．
　　1924年8月，亚历山德罗夫和乌雷松在经过巴黎时的短暂逗留之后，来到布里塔尼半岛，在一个名叫巴斯(Bourg de Batz)的小渔村住下，准备在这里研究一些新课题．不幸的是，1924年8月17日，年仅26岁的乌雷松在海水浴中葬身大西洋．就在出事的当天早晨，乌雷松还写出新的研究论文的第一页．失去挚友的悲痛使亚历山德罗夫几乎不能继续工作．1925年春到1926年夏，他在荷兰与布劳威尔共同整理乌雷松的科学手稿，并安排了付印计划．由于他们的努力，乌雷松的许多贡献才没有埋没．
　　亚历山德罗夫和乌雷松在20年代初的研究是苏联数学家在拓扑学领域工作的开端，他们的工作奠定了莫斯科拓扑学派的基础．在以后的几十年内，亚历山德洛夫继续为该学派的发展和壮大做出卓越的贡献．
　　从1925到1932年间，亚历山德罗夫每年大约有四分之三的时间在国外度过．通常是夏末去国外，来年春天才返回．他定期到格丁根大学进行学术交流，如开设拓扑学讲座、参加诺特的研究班、与Ｈ．霍普夫(Hopf)共同举办拓扑学讨论班，等等．亚历山德罗夫在1926年与霍普夫相识，并结为好友．他们在拓扑学方面的合作是极富成效的．1927年秋，他们一起来到普林斯顿，又结交了当代著名拓扑学家J．W．亚历山大(Alexander)、S．莱夫谢茨(Lefschetz)和O．维布伦(Veblen)等人，共同探讨拓扑学中的问题．亚历山德罗夫在这一时期所进行的广泛的学术交流对拓扑学的发展有很大推动作用，他所建立的国际关系促进了苏联数学水平的提高．
　　亚历山德罗夫从1921年起一直在莫斯科大学工作．早年他开设过实变函数论、一般拓扑学(在莫斯科大学首次讲授)和伽罗瓦理论等课程．他还主持了高等几何和拓扑学讲座，创办了拓扑学讨论班，并领导苏联科学院斯捷克洛夫数学所一般拓扑学研究室的工作．1932年以来他担任莫斯科数学会主席达33年之久，1964年开始任名誉主席．1958—1962年，担任国际数学协会副主席．亚历山德罗夫是苏联一些主要数学杂志的编委，《数学科学成就》(Успехи Математическихнаук)的主编．
　　亚历山德罗夫的科学、教育和社会活动得到社会的高度评价．他于1929年当选为苏联科学院通讯院士，1953年成为正式院士．他还是许多国家的科学院和学术团体的成员，如柏林科学院、奥地利科学院、波兰科学院、民主德国科学院、美国国家科学院、美国哲学学会等等．苏联政府于1969年授予他社会主义劳动英雄称号，他还曾获得多种奖励和荣誉称号．
　　亚历山德罗夫的数学研究开始于实变函数论和描述集合论．在19世纪，数学家们主要研究连续函数，到20世纪初，由于数学分析的发展，连续函数的许多结果被推广到更一般的函数类上．这时，由G．康托尔(Cantor)创立的集合论已成为数学研究，特别是分析学研究的有力工具．法国数学家R．L．贝尔(Baire)、E．波莱尔(Borel)和H．L．勒贝格(Lebesgue)成功地用集合论方法来研究间断函数、集合测度和积分概念的推广等课题，特别是划分出B－函数与B－集合类，研究了B-集合的构造．由于这些工作，产生了数学中一个新的研究方向——描述集合论．当时所研究的两个关键性问题是：1．详细研究B－集合的构造；2．构造出非B－集合的新集合类．
　　在20世纪第二个10年中，由于鲁金和叶戈罗夫在实变函数论方面的工作，莫斯科大学内集合论和函数论研究方兴未艾．亚历山德罗夫在大学一年级时就参加了叶戈罗夫领导的函数论讨论班．1915年，他得到了第一个研究成果，即证明了凡不可数B－集合必包含完备子集．由此可知，凡不可数B－集合的势必等于连续统的势．为证明这个结果，他建立了A－运算．这种运算对集合论方法的发展产生了重要影响．苏联数学家Ｍ．Я．苏斯林(Суслцн)就是借助于A－运算作出了比B－集合类更广的一类新集合——A－集合类．由此还引出射影集合理论、集合的一般理论的研究．
　　1922年以后，亚历山德罗夫转向拓扑学的研究．他早期和乌雷松共同创立和发展了紧与列紧空间理论．之后，他又引进了一系列基本概念和拓扑结构，建立了本质映射定理和同调维数论，导出一系列对偶性原理的基本规律，发展了连续映射理论，为现代拓扑学做出奠基性的贡献．
　　自康托尔研究欧氏空间的点集开始，数学家们对欧氏空间的点集理论进行了细致深刻的研究，到19世纪末已清楚地掌握了欧氏空间的拓扑结构，给点集拓扑学的形成提供了一个内容丰富的模型．在此基础上，法国数学家Ｍ．弗雷歇(Frechét)提出抽象空间理论(1906)．不久以后，德国数学家豪斯多夫建立了拓扑空间理论(1914)，标志着点集拓扑学的产生．在点集拓扑学的发展过程中，亚历山德罗夫的贡献是卓越的．他是主要的奠基人之一．
　　在20年代初，这一新的数学分支有两个中心课题，一个是拓扑空间的紧致性问题，另一个是拓扑空间的度量化问题．亚历山德罗夫在与乌雷松合作期间，在这两方面都得到了重要结果．他们首先研究豪斯多夫空间类，提出了丰富而有趣的问题．例如，他们提出并解决了有关H闭空间(即绝对闭于豪斯多夫空间)的问题，给出了几个等价条件．自1923年他们提出紧性定义之后，共同建立了紧空间和列紧空间理论．他们引进了一系列基本概念，证明了关于紧性与列紧性的若干定理．他们给出的紧空间的三个定义如下．
　　定义1．拓扑空间R称为紧的，如果对于空间的每一个无穷集A，都存在点x，使A与x的任一邻域的交的势与A的势相等(他们称这种点为完全聚点)．
　　定义2．拓扑空间R称为紧的，如果空间中所有的非空闭集的递减超限序列都是不空的．
　　定义3．拓扑空间R称为紧的，如果对每一个覆盖R的无穷开集系统，可从中选出有限个元的子系统，它也能覆盖住R．
　　他们证明了定义1，2，3中所阐明的三个性质是等价的．他们所确定的紧空间类完全独立于奥地利数学家Ｌ．韦特利(Vieto－ris)的工作．他们还引进“紧统”、“常空间”、“法空间”等概念，研究紧空间及与上述概念相关的性质，建立一系列定理．他们把关于紧空间的许多结果推广到列紧空间，建立了相仿的概念和定理．
　　此外，亚历山德罗夫还建立了局部紧空间的理论，证明了关于一点紧化定理、关于势敛的定理以及关于权与拟权关系的定理等．
　　亚历山德罗夫和乌雷松关于紧与列紧空间的理论被许多数学家发展．例如，在他们工作的基础上，A．H．吉洪诺夫(Тихонов)解决了具有紧豪斯多夫扩张的一般空间的问题，奠定了紧扩张理论的基础；而Ｈ．Б．韦杰尼索夫(Веденисов)则证明了在连续映射下紧性保持不变的定理．
　　拓扑空间的度量化问题就是用纯拓扑的语言来表达可度量空间的特征．这个问题由亚历山德罗夫和乌雷松解决．他们在1923年建立了第一个度量化准则，即给出拓扑空间可度量化的充要条件：该空间是具可数加细覆盖系统的仿紧空间．他们还建立了几个关于特殊空间类的度量化准则．关于可数重空间和列紧空间的度量化准则属于乌雷松．对于局部列紧空间，亚历山德罗夫证明了其可度量化的充要条件是该空间是豪斯多夫空间，并可表示成互斥开集之和，每个开集的权不超过可数．亚历山德罗夫还对可分空间证明了关于Gδ集完全可度量化是遗传的，这一工作不久被豪斯多夫推广．1960年，亚历山德罗夫引进点正则基的概念，并应用它得出新的度量化准则：拓扑空间可度量化的充要条件是它是族状正规的且有点正则基．他的学生A．B．阿尔汉格尔斯基(Аргангедъский)也得到类似的结果．
　　1925年，亚历山德罗夫建立了现在通用的拓扑空间公理系统的最终形式．
　　在点集拓扑学中，除上述的紧空间、列紧空间、局部紧空间、H闭空间、完全聚点等，还有许多重要的基本概念是亚历山德罗夫提出并研究的，如二进空间、闭映射、局部有限族、商空间、逆向序列的极限等．还有些概念是他和乌雷松共同提出的，如林德勒夫空间、正则空间类等．
　　20年代中期，亚历山德罗夫了解到布劳威尔在拓扑学方面的工作，特别是关于维数的拓扑不变性的研究，对他有很大启示．从此以后，他的研究工作进入一个新的阶段．在此之前，数学家们在研究拓扑问题时，或运用纯几何的方法(又称组合方法)，或运用纯集合论的方法．亚历山德罗夫在这一时期研究工作的主要特点是把上述两种方法有机地结合起来，从而把以前仅限于多面体的某些结果移植到紧与列紧空间中来，实现把组合拓扑学方法向集合论对象上的转移，奠定了同调理论的基础．
　　亚历山德罗夫在1925年引进的覆盖的网的概念是他进一步研究的基础．设X是拓扑空间，w是X的有限开覆盖，w的网是一个单纯复形   映成网Nw)．所以，如果X是紧统，而w通过它的所有有限开覆盖的 组成的投影谱S．S以某种自然形态确定自己的极限空间，它同胚于紧统X．这样一来，空间X的所有拓扑性质可以通过它的投影谱的性质来描述，即通过网Nw及其单纯映射的性质来描述．特别地，关于维数和同调的性质就可以这样描述．
　　由这种方式所产生的关于点集拓扑学及其构造方法的新观点具有重要意义，这种观点在很大程度上影响了拓扑学发展的方向．
　　覆盖的网的概念的第一个应用是亚历山德罗夫建立的关于以同维多面体“逼近”列紧统的几个著名概念定理：
　　ε-平移：设ε＞0，A，B是度量空间X的子空间，f为A到B的连续映射，如果对任意。x∈X，ρ(x，f(x))＜ε均成立，则称f为ε－平移．
　　ε－平移定理：设X为m维欧氏空间Rm的有界子空间，且dimX≤n，则对任意ε＞0，存在X到多面体K Rm上的ε－平移，其中dimK≤n．
　　ε－映射：设ε＞0，f为度量空间X到拓扑空间Y的连续映射，如果对任何y∈y，f－1(y)均为直径小于ε的集，则称f为ε－映射．
　　ε－映射定理：m维欧氏空间Rm的紧子空间X满足不等式dimX≤n，当且仅当对任意ε＞0，存在X到Rm中维数≤n的多面体K上的ε－映射．
　　后来亚历山德罗夫把ε－映射定理推广到更一般的空间．
　　亚历山德罗夫还研究了度量空间的本质映射，建立了关于维数的另一个重要的特征定理．拓扑空间X到Rn＋1中的(n＋1)球的连续映射f：X→Bn＋1是本质的，如果不存在连续映射g：X→Bn＋1，使g[f－1(Sn)]＝f[f－1(Sn)]且Bn＋1＼g(X)≠φ．亚历山德罗夫证明了下面的本质映射定理：空间X满足不等式indX≤n(≥0)的充要条件是没有连续映射f：X→Bn＋1是本质的．这个定理又被他推广到更广义的空间类．本质映射定理在维数论中有重要地位，它是联系乌雷松－门杰(K．Menger)维数论与亚历山德罗夫的同调维数论的中心环节．
　　1928—1932年，亚历山德罗夫在上述工作基础上，创立了同调维数论，这是同调理论的重要应用．这项工作不仅使维数论得到巨大发展，而且开辟了同调论研究的崭新途径．这是亚历山德罗夫在拓扑学中最重要的贡献．
　　20世纪初，布劳威尔以及稍后的Ｅ．切赫( ech)给出了维数的严格定义，称为大归纳维数；门杰及乌雷松把上述思想局部化之后，得到另一种维数定义，即小归纳维数；勒贝格发现了方体覆盖的有趣事实后，切赫又引进了第三种维数，称为覆盖维数．亚历山德罗夫所定义的同调维数是紧豪斯多夫空间关于可换群的维数，是第四种维数．他研究了同调维数的性质，证明了一系列基本定理，如求和定理、列紧统必包含康托尔流形的定理、障碍定理等，研究了几种维数的关系，特别是同调维数与小归纳维数的关系．同调维数论为拓扑学提供了新的有力的研究工具．例如，关于积空间的庞特里亚金问题、关于任意空间Rn的闭子集的乌雷松问题等都在同调维数论的基础上得到解决．由于亚历山德罗夫的理论具有十分明显的几何特征，所以它可以作为抽象维数论的直接例证．特别地，在很广一类的列紧空间中，同调维数与其他维数的一致性证明了维数定义的正确性和自然性．
　　同调维数论被许多数学家继承和发展．这一领域的某些结果在集合论中又得到十分美妙的推广．如亚历山德罗夫ε－位移定理在很多年以后又穿上了新的外衣——成为度量空间中以ω－映射描述仿紧统的多克尔(Dowker)定理，这一结果现已成为仿紧空间的基本理论之一．
　　同调维数论的另一个应用是J．W．亚历山大(Alexander)建立的对偶性理论在A．H．科尔莫戈罗夫(Колмогоров)和亚历山大发现了上同调群后得到进一步的发展．欧几里得空间或更一般的流形中列紧统的同调群和它的补之间的对应是这一类对偶性的例子．问题的提出显然包含了开集的同调群的定义——列紧统的补集．亚历山德罗夫的理论建立了这一研究领域的坚实的基础．Л．С．庞特里亚金(Цонтрягин)在这个方向上发现并证明了著名的对偶规律．
　　这样一来，在接近30年代中期的时候，拓扑学的两个完全不同的分支——H．庞加莱(Poincaré)的代数拓扑学和由弗雷歇、豪斯多夫开创，亚历山德罗夫建立了重要功绩的点集拓扑学之间出现了实质性的联系．亚历山德罗夫和霍普夫合作的专著《拓扑学》就是这两个拓扑学分支综合发展的结果，是集合论方法与组合拓扑学方法有机结合的典范．遗憾的是，战争干扰了这部著作的完成．原定三卷的计划仅完成了一卷，这就是著名的《拓扑学I》(1935)．两位驰骋在拓扑学不同方向上的优秀大师所写的这部专著已成为拓扑学的经典之作．它的出版是对拓扑学发展有重大影响的著名事件．
　　在1940—1942年间(战时疏散时期)，亚历山德罗夫在拓扑学领域的研究工作达到高峰．他完成了用同调方法研究复形和闭集的形式和分布的工作，也包括闭集及其补集的群的正合序列的研究．这一时期的工作总结在他的专著《复形和闭集分布的同调性质》．这部著作在1943年荣获苏联政府授予的最高奖——国家一级奖金．
　　在40年代末到50年代初，亚历山德罗夫及其学生建立了欧几里得空间中开集的同调理论，推动了同调理论的进一步发展．亚历山德罗夫本人得到了第一个关于欧几里得空间中开集的一般对偶性规律及一系列有关结果．这些工作发表在他的论著《关于n维空间中开集的对偶性的基本定理》中．
　　亚历山德罗夫在拓扑空间同调论方面的工作，特别是创立维数的同调理论的工作与他在纯集合论领域的研究同时进行．1939年，他开展了完全正则空间中列紧扩张的重要研究．他提出的新观点是极有启发性的．后来为В．И．波诺马廖夫(Пономарёв)所发展。这一时期，他在点集拓扑学方面的另一个重要结果是证明了每一个权等于τ的紧统是广义康托尔不连续统Dτ的闭子空间的连续像．早在1927年，他就曾证明每一个列紧统都是寻常康托尔不连续统的 连续像．与此相关，对任意τ，作为每一个广义康托尔不连续统Dτ的连续像，他引进了二重紧统的概念．不久后，E．马尔切夫斯基(арчевский)证明了每一个权τ＞ 0的紧统都不是二重的，而当τ＝ 0时情形却完全相反．因此，二重紧统理论就显得十分有趣和重要．
　　亚历山德罗夫还提出关于任意紧群空间的二重扩张(Диадичностъ)的假设，后来由Л．Н．Ивановский(伊万诺夫斯基)和В．Л．库兹明诺夫(Куэъминов)证明．他们还证明了二重紧统(диадический бикомпакт)的可度量性可由第一个可数公理得出．苏联和其他国家的一些数学家继承了这项工作．50年代初，拓扑空间映射理论在亚历山德罗夫的直接影响下得到发展．在他20年代创立的连续映射以及与之相关的紧统的连续剖分理论中，几乎每一个重要的结果都是进一步研究的起点．例如，关于每一个列紧统的表示——作为康托尔完备集的连续像的理论，发展为关于每一个紧统是同权的零维紧统的连续像的定理和二重紧统理论．而紧统的连续映射理论则在任意空间的全映射理论中得到发展，等等．亚历山德罗夫本人还得到了关于紧统开映射的第一批基本结果，提出这一领域的基本问题，证明了紧统的维数当施行可数重开映射时保持不变，这是一个与零维及有限重开映射密切相关的结果．在亚历山德罗夫的影响下，完成了非紧度量空间到度量空间的闭连续映射理论的奠基性工作．他的学生И．А．魏国施泰因(Вайнщтейн)得到了关于这种映射边界紧性的结果，这个结果是通向闭映射理论的重要阶梯．
　　1954年以后，亚历山德罗夫着重研究一般连续映射理论，同时在代数拓扑学和一般拓扑学的有关分支做出新的贡献．
　　亚历山德罗夫的研究工作有很大的国际影响．他先后在1961和1966年于布拉格举办的国际拓扑学会议上作重要报告．在1961年的报告中，围绕连续映射理论，他提出了三个密切相关的问题，由此引发出大量的研究工作．在1966年的会议上，他作了关于一般拓扑学研究的综合报告，其中给出空间和映射分类的基本原理，提出一些未解决的问题．这两个报告对拓扑学的发展起到积极作用．
　　亚历山德罗夫著述甚丰，他一生共发表论文150多篇，著作多种．除前文提到的以外，流行较广的还有《组合拓扑学》、《集与函数的泛论初阶》、《拓扑对偶定理，第一部分：闭集》、《群论导引》(Введение в теорию групп，1951)、《非欧几何是什么》(Что такое ноэвклидова геометрия，1950)，等等．他和乌雷松早年合作完成的重要论著《关于列紧空间的研究报告》已于1971年译成俄文出版．
　　亚历山德罗夫不仅是一位才思敏捷的数学家，而且是一位杰出的教育家．他在半个世纪的时间内为莫斯科大学培养了好几代数学家，其中最优秀的是吉洪诺夫和庞特里亚金．在苏联，很难举出一个在拓扑学领域做出贡献的数学家，而未受过亚历山德罗夫的教育和影响．
　　亚历山德罗夫具有作为杰出的教育家所必备的优秀品德．他的性格热情而开朗，充满激情，对学生和周围的人有一种很强的感召力．他讲课的气氛活泼而热烈，使人感到很亲切．他的教育方式也很独特．他经常带领他的讨论班上的年轻人进行所谓“拓扑学旅行”：有时是远距离的、持续数日的水上旅行(划船)，有时带领他们游泳(如横渡伏尔加河)，冬天在莫斯科近郊进行滑雪旅行，夏天则进行远距离的徒步郊游．在旅途中，自然要谈论沿途的建筑、名胜古迹及民族风俗等，但最重要的是给学生指定拓扑学的研究课题．在旅行中他与每个人多次交谈，大家也在一起讨论．每次旅行，大家都能接受许多数学思想．这种方式使参加者感到既兴奋又紧张，人人都在为完成自己的目标而努力．
　　他的优秀品德还体现在对学生的关心．他不仅在工作时间内与学生在一起，而且许多闲暇时间也与学生共同度过．许多学生回忆道，当他们遇到困难(学习上或生活上的)而来到亚历山德罗夫身边时，不仅得到一位长者的深切同情和关心，而且得到科学研究方面或待人处事方面的具体建议，直到帮助他们从困境中摆脱出来．
　　亚历山德罗夫这种生动活泼的教育方式，吸引了一批又一批的年轻人来从事比较抽象的拓扑学研究．由于他多年坚持不懈的努力，终于使以他为核心的研究队伍发展为世界著名的拓扑学派．
　　亚历山德罗夫还是一位音乐爱好者．当他的学生到他的宿舍或家中来讨论问题时，常播放一些古典音乐来缓解气氛．他还常带几个学生去大学的俱乐部听音乐会，培养学生这方面的兴趣．他还是莫斯科大学礼堂公开讲演的支持者，并鼓励学生参加这项活动．总之，他认为高等学校不仅要使学生获取科学知识，而且要把他们培养成为具有高度文化修养的人．他在70年代莫斯科大学校报的“大学生寄语”中写道：“任何科学天赋都由三部分组成——智力、意志和激情，它们形成一种能完全被激情所支配的力量，这种力量是科学创造必不可少的，甚至是决定性的条件．”亚历山德罗夫的这种教育思想在莫斯科大学有很大影响．
　　最后还要提到亚历山德罗夫在数学界所建立的广泛的友谊．除了早年与乌雷松的友谊外，他在1923年以后的国际旅行中，又结交了希尔伯特、诺特、库朗、布劳威尔、豪斯多夫、霍普夫、亚历山大等著名数学家，与他们结下深厚的友谊并进行了长期合作．除此之外，他与科尔莫戈罗夫的友谊特别值得一提．他们在1929年相识，很快结为终生朋友．他们经常沿着伏尔加河、第聂伯河，或者到高加索、克里米亚和法国南部旅行，在旅途中探讨数学问题．1935年以后，在他们的生活中出现了“科马洛夫卡时期”．在莫斯科郊区的一个名叫科马洛夫卡的小村庄，从1935年开始，有一所属于亚历山德罗夫和科尔莫戈罗夫的住宅．在这里，他们规划和完成了许多重要的数学研究．在1935年以后的40多年内，这里发生的许多事情对莫斯科大学数学发展有过影响．这所住宅里经常有他们二位的学生来访和居住，亚历山德罗夫与学生的很多次郊游就在科马洛夫卡结束，然后他们共进午餐(或晚餐)．一些外国数学家，如J．阿达马(Hadamard)、M．R．弗雷歇、S．巴拿赫(Banach)、K．库拉托夫斯基(Kuratowski)以及霍普夫等也曾来此访问并进行学术交流．这些活动对提高苏联数学科学水平起到促进作用．
　　(本文承蒙方嘉琳教授仔细审阅，提出许多宝贵意见，特此表示感谢．)