|
苏联数学家亚历山大罗夫一生数学成就颇丰，尤其是作为点集拓扑学的创始人之一，深刻地影响了现代数学。此外，亚历山大罗夫也是一位优秀的教育家。
帕维尔·谢尔盖维奇·亚历山大罗夫(Pavel Sergeevich Aleksandrov)是苏联最具影响力的几位数学家之一。他的许多工作都得到了学界高度认可，尤其是，作为创始人之一，他在拓扑学上做出的巨大贡献，使他成为20世纪居于前列的数学大师。  走上数学的道路 亚历山大罗夫1896年5月7日出生于俄国博戈罗茨克(现今诺金斯克)，父母都接受过良好教育，他们对亚历山大罗夫有着很大的影响。父亲谢尔盖·亚历山大罗维奇·亚历山大罗夫(Sergei Aleksandrovich Aleksandrov)毕业于莫斯科大学医疗系，他拒绝了留校工作的机会，而是毅然决定前往边疆地区从事医务工作，他认为医疗应服务于人民群众。后来，亚历山大罗维奇成为著名的外科医生，他晚年工作(1897—1920)的斯摩棱斯克医院也正因为他被认为是俄国最好的医院之一。在父亲影响下，亚历山大罗夫自小对自然科学很感兴趣。母亲采扎丽娅·阿基莫夫娜·亚历山大罗娃(Tsezariya Akimovna Aleksandrova)将所有的精力都放在孩子们的教育上。亚历山大罗夫小时候因体弱不便到学校就读，母亲便承担起了孩子的教育工作。据亚历山大罗夫回忆，那时家中总是充满歌声。由于家庭的熏陶，亚历山大罗夫在音乐、文学、戏剧方面也展现出很高的天赋。
青年时期的亚历山大罗夫 亚历山大罗夫13岁时就读于斯摩棱斯克中学。数学课上，老师艾格斯(Eiges)在讲授罗巴切夫斯基几何时，激发了少年亚历山大罗夫对数学的兴趣。与其他同学不同，亚历山大罗夫对那些数学作图和方程问题并不感兴趣，他的兴趣在于数学的基本问题：几何学包括非欧几何的建立。亚历山大罗夫中学期间就已熟读非欧几何和微积分，此外，他还特别喜欢并精通天体力学。 1913年，亚历山大罗夫毕业并获得金质奖章，同年进入莫斯科大学物理—数学系学习。在此期间，鲁金(N. Luzin)和叶戈罗夫(D. F. Egorov)两位著名数学家在实变函数论上的研究取得了重要突破，创建了函数论学派。受其影响，亚历山大罗夫也开始了数学方面的研究，并取得很大进展。 1917年，亚历山大罗夫从莫斯科大学毕业并留校工作，1920—1921年又在斯摩棱斯克大学任教。工作期间，其定期往返于斯摩棱斯克和莫斯科之间，以参加各种学术交流。在交流中，亚历山大罗夫结识了一位对自己影响非常大的挚友——鲁金的年轻助教乌雷松(P. Urysohn)。1921年，亚历山大罗夫调到莫斯科大学工作，以额外教授的资格任教。1923年，亚历山大罗夫的生活进入了一个新阶段——“格丁根时期”。之后，他定期到德国格丁根游历并访问格丁根大学。他在美国、德国、奥地利等多国的许多学术团体中都有重要地位。 1923年亚历山大罗夫是和乌雷松一起来到格丁根大学的，他们一边学习，一边宣传拓扑学研究的新思想。从1924年开始，他们的论文在欧洲几份重要的数学杂志上发表。1924年8月，他们来到布里塔尼半岛。在一个名叫巴斯的小渔村，年仅26岁的乌雷松葬身大西洋。在得知痛失挚友的噩耗后，亚历山大罗夫悲痛万分，几乎不能再集中精力工作。此后，他强忍悲痛，将乌雷松的数学研究手稿进行整理，使得乌雷松的数学成就得以保存下来。 1929年，亚历山大罗夫晋升为莫斯科大学教授，并当选为苏联科学院通讯院士，24年后成为正式院士。此外，他还是莫斯科大学高等几何和拓扑学院的院长，也是数学系的主任。他还领导苏联科学院数学研究所的一般拓扑学系。1932年亚历山大罗夫开始任莫斯科数学学会主席，长达33年之久。他为学会付出许多精力，使得莫斯科数学学会成为世界上最重要的数学学会之一。也是在他的领导之下，举行了学校数学奥林匹克竞赛，并为年轻的数学家设立奖项。1958—1962年，亚历山大罗夫任国际数学协会副主席。1964年起，他成为了莫斯科数学学会的名誉主席。1982年11月16日，亚历山大罗夫在莫斯科去世，享年86岁。 苏联政府十分欣赏并重视他，于1969年授予他“社会主义劳动英雄”称号，并6次授予他列宁勋章、十月革命勋章、红旗勋章等诸多荣誉。 点集拓扑学上的杰出成就 亚历山大罗夫对数学的研究是从实变函数论和描述集合论开始的。1915年，亚历山大罗夫在研究中建立了“A-运算”，使用这种运算方法，证明了“不可数B-集合必定包含完备子集”的结论，这一结论引起了数学界的广泛关注，同时也对集合论方法的发展产生了重要影响。例如，苏斯林(M. Suslin)借助A-运算做出了更广的一类新集合——A-集合类。 1917年，亚历山大罗夫毕业后留在学校继续进行连续统问题的研究，但这项研究并未取得预期目标，导致他怀疑自己是否适合继续从事数学研究，并转而寻求在其他行业立足。他开始转投编导行业，对于数学的研究则告一段落。直至1920年他途径莫斯科时，在受到以鲁金为首的一批数学家的热烈欢迎下，这才重燃了对数学的热情。 1922年的夏天，亚历山大罗夫和乌雷松一起到波尔舍瓦度假。由此开始，亚历山大罗夫开始转向点集拓扑学的研究。 欧氏空间点集的研究始于德国大数学家康托尔(G. Cantor)，在此基础上，很多数学家都尝试进行更为深入的研究，并在19世纪末已取得重大突破，明确了欧氏空间的拓扑学结构。这样的进展为点集拓扑学的形成提供了丰富的理论依据。此后在1906年，法国数学家弗雷歇(M. Frechét)提出抽象空间理论。1914年，德国数学家豪斯多夫(F. Hausdorff)在此基础上得到了点集拓扑学的相关理论。而亚历山大罗夫正是点集拓扑学发展中一个不可或缺的角色。 1920年代初期，点集拓扑学的两个重要研究方向是证明拓扑空间是“紧的”和对其进行度量化处理。为解决这两个问题，亚历山大罗夫与乌雷松进行了大量的研究，使这两个课题都有了重要的研究结果。 1922年出版的乌雷松的论文《论康托尔流形》和《论康托尔曲线的分支》是俄国最早的两部拓扑学著作，也是维数理论的开端。 亚历山大罗夫和乌雷松共同提出并解决了有关绝对闭豪斯多夫空间的问题，对拓扑空间是否属于“紧的”进行了定义和证明，这奠定了莫斯科拓扑学派的基础。亚历山大罗夫和乌雷松提出的对紧空间的定义主要为以下三点： 定义1 假定空间中的一个无穷集A中存在一点x，A与x任何邻域所交的势都等同于A的势，那么符合x点特征的点，都称之为完全聚点，且拓扑空间R为紧的。 定义2 只有在空间中的递减超限序列都不是ϕ时，才能确定拓扑空间R是紧的。 定义3 如果对每一个覆盖R的无穷开集系统，都可以从中选出覆盖R的子系统，则拓扑空间R称为紧的。 根据这些定义，许多数学家以此为基础，进行了更为深入的研究，使得研究范围进一步扩展到紧扩张方面的理论。 亚历山大罗夫和乌雷松共同解决了拓扑空间的度量化问题，在1923年建立了第一个度量化准则，明确了当且仅当一个空间具有可数加细覆盖系统的特点时，拓扑空间才具有度量化的特征。 不仅如此，亚历山大罗夫和乌雷松还对特殊空间实现了度量化，并给出了相应的度量化准则。亚历山大罗夫通过研究得出，当且仅当该空间为豪斯多夫空间时，局部列紧空间才具有可度量化的特征，并可表示成互斥开集之和，每个开集的权不超过可数。 1925年，亚历山大罗夫建立了拓扑空间公理系统的新形式，该形式至今仍然沿用。 1920年代中期，亚历山大罗夫了解到布劳威尔(L. Brouwer)关于维数的拓扑不变性方面有较为精细的研究，因此他参考这方面的理论，对自己的研究做了进一步的创新，在这一阶段他的研究特点主要是将纯几何和纯集合论这两种研究方法有机结合起来，尝试将一些应用范围较窄的理论推导到紧与列紧空间当中，实现了使用组合拓扑学方法研究集合论对象，为同调理论奠定了坚实的基础。 1925年，亚历山大罗夫提出了覆盖网的定义：假定一个拓扑空间X，该空间具有一个有限开覆盖w，w的网是一个单纯的复型映成网Nw，如果该拓扑空间符合紧致性的标准，那么通过w的所有有限开覆盖所组成的投影谱S即可确定自己的极限空间，显然，只需要根据投影谱S即可描述该拓扑空间X的基本性质。在这一理论的指引下，拓扑学及其构造方法得到了进一步的创新，此后拓扑学的发展方向在很大程度上受到这种观点的影响。 由亚历山大罗夫创建的几个关于以同维多面体“逼近”列紧统的概念定理是覆盖网概念的第一个应用： Ɛ-平移：设Ɛ>0，A，B是度量空间X的子空间，f是A到B的连续映射，如果对任意的x∈X，ρ(x, f(x))<Ɛ均成立，则称f为Ɛ-平移。对此有Ɛ-平移定理：设X为m维欧氏空间Rm的有界子空间，且dimX≤n，则对任意的Ɛ>0，存在X到多面体K⊂Rm上的Ɛ-平移，且dimK≤n。 Ɛ-映射：设Ɛ>0，f为度量空间X到拓扑空间Y的连续映射，如果任意的y⊂Y, f -1(y)均为直径小于Ɛ的集，则称f为Ɛ-映射。对此有Ɛ-映射定理：m维欧氏空间Rm的紧子空间X符合不等式dimX≤n，当且仅当对任意的Ɛ>0，存在X到Rm中维数小于等于n的多面体K上的Ɛ-映射。 根据这些定理的进一步推导，在普通的拓扑空间中，Ɛ-映射定理同样适用。此后，Ɛ-位移定理又被推广，成为度量空间以ω-映射描述仿紧统的多克尔(Dowker)定理。 1928—1932年，亚历山大罗夫创立了同调维数论，使得同调理论得到进一步的发展和创新，为同调论的研究开辟了新天地，同时这对于拓扑学的发展也起着重要作用。 维数理论要追溯到20世纪初，布劳威尔和切赫(E. Čech)给出了维数的严格定义，称之为大归纳维数;门格尔(K. Menger)和乌雷松通过限定局部条件后，对小归纳维数进行了定义;勒贝格(H. Lebesgue)在发现方体覆盖后，切赫又引进了覆盖维数;而亚历山大罗夫所定义的同调维数是第四种维数——紧豪斯多夫空间关于可换群的维数。这项定义对于拓扑学的研究起到了重要的推进作用，在此基础上，关于积空间的庞特亚里金问题、关于任意空间Rn的闭子集的乌雷松问题等都采用亚历山大罗夫的相关理论得以解决。 1940—1942年间是亚历山大罗夫在拓扑学领域研究工作的高潮时期。在此期间，亚历山大罗夫着重研究复形和闭集的分布形式及正和序列。他所著的《复形和闭集分布的同调性质》中对这些研究成果皆进行了详细论述。1943年，由于这部著作的重要影响，苏联政府授予他代表着最高荣誉的国家一级奖金。 二战结束后，亚历山大罗夫与其学生共同研究了欧氏空间中开集的同调理论，进一步推动了同调论的发展。他将这些研究结果发表在著作《关于n维空间中开集的对偶性的基本定理》中。 1951年，亚历山大罗夫将研究重心转向集合论和一般拓扑学。他对拓扑空间映射理论的研究起到了至关重要的作用。这些1950年代初期的研究工作，几乎都是基于他在1920—1930年间的研究成果来进行的。 自1950年代后期开始，亚历山大罗夫转而侧重于一般连续映射理论的研究，与此同时，他在代数拓扑学和一般拓扑学中也不断突破，取得了更多的成绩。 亚历山大罗夫一生共著有150多篇论文和许多著作。除了上文提及的几部著作以外，他与霍普夫(H. Hopf)共同撰写的《拓扑学》(1935)是代数拓扑学与点集拓扑学有机结合的结果，虽然这部著作由于二战的原因只完成了第一卷，但依然成为了拓扑学的经典著作。流传较为广泛的还有《组合拓扑学》《群论导引》(1951)等。 强调情感教育的理念 除了在数学研究上的伟大成就，亚历山大罗夫对教育也有自己独特的想法，在教育界也享有盛名。莫斯科大学的很多知名数学家都曾受过他的培养，其中最优秀的是吉洪诺夫(A. Tikhonov)和庞特里亚金(L. S. Pontryagin)。可以说，全苏联绝大多数研究拓扑学的数学家都受到过亚历山大罗夫的教育和影响。作为一位具有独创性的数学家，他的优秀教学和个人魅力很快吸引了很多学生，经过长期的潜心研究，他的团队俨然在国际拓扑学领域自成一派，并取得了突出的成就。 亚历山大罗夫从来没有想过研究工作不同于教学，不与学生接触。他自己将他的学生按时间顺序分为四类。有必要提及的第一组是吉洪诺夫、图马金(L. Tumarkin)、涅米茨基(V. Nemytskii)、切尔卡索夫(Cherkasov)和韦德尼索夫(N. Vedenisov)。正是在这个时候，庞特里亚金成了亚历山大罗夫的学生，在他刚开始做研究的头几年，就在拓扑学上有了重要的发现。 亚历山大罗夫意义上的教育首先是一种情感教育。在面向一年级学生的“莫斯科大学”公报中，他写道：“任何科学天才都是由三部分组成的——智力、意志与情感。因为对科学的原创性工作来说，能够做出全力以赴的情感努力是必要的，而且往往是决定性的条件。”因此，他对学生的整体性格特别是他们的情感构成产生了浓厚兴趣，他通过在大学里的音乐晚会或个人邀请到小音乐厅来帮助他们发展，在莫斯科大学的会议厅里、在莫斯科或科马罗夫卡的家中，或在散步时，倡议进行公开的交谈。
中年时期的亚历山大罗夫 “情感教育”主要是通过亚历山大罗夫本人的榜样，通过他对学生的关心和善意来实现的。对亚历山大罗夫来说，情感不仅是科学原创的一个非常重要的因素，而且(也许在更大程度上)也是教学的一个非常重要的因素。他对学生作品的评价不是默默克制、冷漠理性的，而是给出一种清晰的情感评价。豪斯多夫的话——“数学中有一种东西能激发人的快乐”——正是指导亚历山大罗夫对待学生和所有亲近他的人的原创作品的态度的原则。在教学研究中他所表现出来的喜悦，为学生注入了新的力量，产生了新的灵感。 在亚历山大罗夫身边，总是有不同年龄和地位的学生，从著名学者到一年级学生。他给一些人讲课，给另一些人主持培训或研究性质的研讨会，指导他们的科学工作。他的演讲就像文学作品一样动听，这是学生们的感觉。 刘璐萤：硕士研究生，吉林师范大学数学学院，四平136000。 Liu Luying: Master Drgee Candidate, College of Mathematics, Jilin Normal University, Siping136000. [1]Whitney H. Moscow 1935: Topology moving toward America, A century of mathematics in America, part I. Edited by Duren P. History of Mathematics 1. American Mathematical Society (Providence, RI), 1988. Edited with the assistance of Askey R A and Merzbach U C, 97-117. [2]王昌.点集拓扑学的创立.西北大学博士论文, 2012. [3]Kolmogorov A N, Lyusternik L A, Smirnov Yu M, Tikhonov A N，Fomin S V. Pavel Sergeevich Aleksandrov. Translated by Porteous I R. Russian Mathematical Surveys, 1966(21): 2. [4]Arkhangel'skii A V, Kolmogorov A N, Mal'tsev A A, Oleinik O A. Pavel Sergeevich Aleksandrov(on his 80th birthday). Translated by Lofthouse A. Russian Mathematical Surveys, 1976, 31(5): 1-13. [5]Translated by Thompson D. Pavel Sergeevich Aleksandrov(on the occasion of his seventieth birthday)，1971 Russian Mathematical Surveys, 26, 183. [6]吴文俊, 主编. 世界著名数学家传记(下册). 北京: 科学出版社, 2003: 1510-1524. [7]Смирнов Ю М. Павел Сергеевич Александров и развитие топологии в СССР. Успехи математических наук, 1984, 5(239): 3-6. 关键词：亚历山大罗夫 点集拓扑学 同调维数论■  |
|
|
