数学家怀尔德对拓扑学的贡献

摘要: 雷蒙德· 路易斯·怀尔德是美国著名的数学家，也是数学文化领域的一位巨匠。在对原始文献与研 究文献进行研究的基础上，论述了怀尔德在转向数学文化之前的拓扑学研究，总结了他对拓扑学的主要贡 献，分析了他对拓扑学发展的重要影响。

关键词: 怀尔德; 莫尔; 位置分析; 拓扑; 流形

中图分类号: O11 文献标志码: A 文章编号: 1674 － 3873 － ( 2019) 04 － 0048-06

Raymond Louis Wilder

雷蒙德· 路易斯·怀尔德( Ｒaymond Louis Wilder) 是 20 世纪美国著名的拓扑学家，在数学文化领 域也卓有建树^[1]． 他一生的教学与研究工作主要集中在两大方面，一是纯粹数学的拓扑学研究; 二是对 数学基础、历史、哲学和人类学的思考。 在拓扑学的研究上，怀尔德做出了极为突出的成果，他是美国科 学院院士( 1963) ，并担任过美国数学会( AMS，1955—1956) 和美国数学协会( MAA，1965—1966) 的主 席． 怀尔德是美国德州拓扑学派的重要一员，还曾是普林斯顿高等研究院建院之初最早的几位拓扑学家 之一，与诸多拓扑名家一起从事过研究，他后来在密歇根大学领导的密歇根拓扑学派在美国非常知名。

1 怀尔德学习拓扑之路

1896 年 11 月 3 日，怀尔德出生于美国马萨诸萨州中西部的汉普登市( Hampden City) 。 少年时，他在当地求学，喜爱音乐并曾在家庭舞会和聚会上演奏过短号，在钢琴上的天赋极高。终其一生，怀尔德保持 了对音乐创作的热爱，并时常沉迷于古典音乐。1914 年，怀尔德进入布朗大学学习，想要成为一名保险精算师． 由于美国参加第一次世界大战的缘故，他作为一名少尉服了两年兵役( 1917—1919) ，并于 1920 年取得学士学位。

毕业后怀尔德留校任教，同时继续攻读研究生。1921 年，怀尔德获得了保险精算数学的硕士学位． 随后，怀尔德到以保险精算闻名的德克萨斯州立大学奥斯汀分校任教，继续开展这方面的研究与教学。在奥斯汀分校，怀尔德像一个本科生一样开始享受“纯粹数学”带来的乐趣。当时著名数学家莫尔( Ｒ． L． Moore) 在那里主持了一个“位置分析”( Analysis Situs，即拓扑学) 的讨论班，怀尔德对此十分着迷^[2]．

Eliakim Hastings Moore

莫尔是芝加哥大学毕业的博士，他的导师是著名的数学家 E． H． 莫尔( E． H． Moore) 和维布伦． 莫尔 在拓扑学研究和人才培养方面成就卓著，其著名的教学方法是从几个有限的公理和定义开始，然后他会 提出定理，让参与者来寻求证明^[3]． 莫尔在奥斯汀分校培养了 47 个博士，他和追随者们被称为德州拓扑 学派，与美国当时的普林斯顿拓扑学派交相辉映^[4]． 怀尔德请求参加莫尔的位置分析讨论班，但却遭到 了对方的质疑． 经过积极争取，怀尔德终于被允许参加讨论班，他非常珍惜这次机会，努力学习并证明了 一个比较难的命题，逐渐得到了莫尔的注意与青睐。

莫尔习惯于以作业为幌子，将一些未解决的数学难题发给学生。当怀尔德对于莫尔本人以及他在宾 夕法尼亚大学的博士生、美国数学家克莱因( J． Ｒ． Kline) 正在着手解决的一个关于连续曲线的数学问 题^[5]，给出了更为简洁的证明方案之后，莫尔邀请他赶紧将它写成博士学位论文． 在莫尔的指导下，怀 尔德于 1923 年 6 月以“关于连续曲线”( Concerning Continuous Curves) 为题完成了博士论文答辩^[6]． 至 此，怀尔德放弃了原先追求的保险精算事业，开始以拓扑学作为自己主要的研究领域。

2 对拓扑学的主要贡献

怀尔德是莫尔在德州大学奥斯汀分校培养的第一位拓扑学的博士． 当怀尔德开始学习和研究拓扑 学时，正值拓扑学蓬勃发展的时期． 怀尔德在此时进入这一领域，可谓赶上了拓扑学的黄金时代，他一生 共发表论著百余篇，其中拓扑学占据了一半以上。按照时间划分，怀尔德的拓扑学研究大致可以分为两 个时期。

第一个时期为 1924—1930 年，这一时期怀尔德主要沿着导师莫尔开创的德州学派的路线研究点集 拓扑，致力于连续曲线与连续理论的研究。第二个时期为 1930—1950 年，怀尔德主要研究高维拓扑与流 形的拓扑理论，他给出了球面的拓扑刻画，若尔当—布劳威尔定理的存在性以及广义流形的理论。实际 上，即使在 1950 年后，怀尔德仍发表了相当数量的拓扑学论文。我们将选取以下几个主题和一些重要的 论文来概述怀尔德在拓扑学上的主要贡献。

2.1 平面点集拓扑

怀尔德最开始的研究兴趣集中于平面点集拓扑。从 1924 年开始，他对集合的连续体、连通性等问题 进行了细致研究。在博士论文中，怀尔德证明一个紧的连续体局部连通当且仅当一个开集的连通分支强 连通^[6]． 1921 年，波兰数学家谢尔宾斯基与克纳斯特( Knaster) 、库拉托夫斯基等提出了一个问题: 对于点 P，是否存在具有非退化的拟分支的集合 N，使得 N∪{ P} 全连通但不包含非退化的拟分支． 1927 年， 怀尔德构造出了符合条件的一个极其复杂的例子^[7]．

1929 年，怀尔德定义了拟闭曲线，他证明如果 M 连通并且局部连通，则 M 是单闭曲线当且仅当 M 是一条拟闭曲线^[8]． 他还说明对于局部紧的连续体，遗传的局部连通性等价于它的每个分支或者是强 连通或者是弧连通^[9]．

莫尔曾给出过一个连通、局部连通、非退化连通但不弧连通的集合，怀尔德^[10]也曾给出一个这样的 集合。1928 年，怀尔德^[11]证明了对于 m 维欧氏空间 E^m的子集两点之间不可约连通，如果其局部连通则 弧连通． 1931 年，怀尔德^[12]又证明了对于连续体 M，如果 a，b∈M，并且对于每个分离 a 和 b 的 p∈M － ［a，b］，则 M 弧连通。

2.2 统一位置分析

1926 年到密歇根大学任教后，怀尔德在讨论班上学到了拓扑学家亚历山大在 1922 年发表的一篇 论文^[13]． 在这篇文章中，亚历山大证明了著名的对偶定理。这个定理在今天看起来并不是特别困难，但 那时上同调、相对同调、杯积、正合列、同伦论尚未问世，因此有一定的难度。受此激发，怀尔德的研究兴 趣开始转向用代数方法研究流形理论。

怀尔德从舍恩弗里斯( Schoenflies) 和布劳威尔关于若尔当曲线定理的高维推广及其逆定理出发， 解决了 3 维欧氏空间中两个球面的情形^[14]． 1930 年，怀尔德又从补域的同调条件得到了 3 维空间中若 尔当分离定理的逆定理^[15]．

1932 年，怀尔德在芝加哥作了美国数学会的研讨会报告^[16]． 当时美国有两个大的拓扑学派，一个是莫尔开创的德州点集拓扑学派，另一个是普林斯顿的组合拓扑学派。怀尔德逐渐从德州学派“脱离”， 在这次报告中，他通过将集合论与组合拓扑的方法结合，将平面上的一些定理推广到 n 维空间，展示了 如何在高维空间中使用同调论。不仅如此，他还意识到了两个学派各自的不足，这在当时是非常难得的。

1933 年，普林斯顿高等研究院成立． 在范因大楼中，著名的拓扑学家维布伦、亚历山大、莱夫谢兹、 范坎彭( Van Kampen) 、塔克( Tucker) 、齐平( Zippin) 等经常在走廊里散步，怀尔德也是其中的常客之一， 这也可以看作是对怀尔德当时在拓扑学界学术地位的一个证明。那时拓扑学家已经发明了多种同调理 论来处理一般空间和它们的子集，但拓扑学仍处于多面体的范畴之中，广义流形以及使用更抽象的同调 术语来构造拓扑空间尚没有形成． 怀尔德在拓扑学的这次转变中做出了重要贡献。

2.3 位置拓扑不变量

怀尔德有相当一部分论文研究的是“位置不变量”，即嵌入空间 S 中的空间 M 独立于嵌入的性质． 例如，中 补域的局部一致连通性( uniformly locally connected，简称 ulc) 在的同胚下保持不变． 局部一致连通用可以用同调的语言来表示，考虑 中若尔当曲线定理，D 为其中的一个区域。D 局部一 致连通意味着给定 中一个有限开覆盖 μ，存在一个有限开覆盖 υ 使得对于每一个 U∈μ，存在 V∈υ 使 得是平凡的． 通过同调定义 与 ，可以将局部一致连通推广到高维。

①，同胚映射导出的是平凡的。

②是 ，对于所有的 ．

怀尔德证明了如果是中的闭广义流形，则 M 的两个补域都是 ． 反过来，怀尔德还证明 了如果球面的子集 M 是最少两个域的公共边界，其中的一个域为 ，则 M 是一个可定向的闭维广 义流形． 更进一步，如果 S 是一个可定向的 n 维广义流形使得是平凡的，并且 U 是一个具有连通 边界 B 的 的域，则 B 为一个可定向的 n-1 维广义流形^[17]，这篇论文发表在久负盛名的美国《数 学年刊》上，极大地推广了莫尔的一个定理^[18]．

1924 年，亚历山大^[19]给出了著名的带角球( 亚历山大带角球) 的例子，使得舍恩弗里斯定理推广到 高维不再成立，即补域是，但它们不是局部单连通 1-ulc． 在仅有同调论的工具下，亚历山大认为补 域很坏是有一定道理的． 然而怀尔德在 1933 年证明，如果 U 是 的一个开子集并且 自由变 形到 U，则 M 为一个 n － 1 维广义流形^[20]．

2.4 流形的拓扑学

1942 年，怀尔德在美国数学会上作了讲座，由于第二次世界大战的缘故，他的报告直到 1949 年才 以《流形的拓扑》为题出版^[21]． 这部著作共有 402 页，在前半部分主要是平面拓扑，他以舍恩弗里斯纲领 开始: 设 M 为一个 2 维球面，K 为 M 的一个闭子集． 如果 K 是一条单闭曲线( 1 维球面的拓扑像) ，则 M － K是两个不相交的连通开集 A 与 B 的并，使得． 可知每个集合 与 同胚于一个闭圆盘.实际上，使得 K 是一条单闭曲线或佩亚诺空间的关于 M － K 充分必要条件的逆定理也存在。

《流形的拓扑学》

怀尔德在这本著作中的主要目标是将舍恩弗里斯定理推广到高维^[22]，他的主要工具是同调论。他 用 n 维广义流形代替 M，K 为满足特定连通与局部连通性质的闭集合。在一些情形中，K 本身即为一个 低维流形。在第一章中，怀尔德首先回顾了一般拓扑的一些概念，特别是关于连通性的概念． 第二章以局 部连通的讨论开始，然后转移到 n 维球面的一些性质，通过关于 K 与 M － K 的模 2 贝蒂数的亚历山大对 偶关系，怀尔德给出了布劳威尔分离定理，对若尔当曲线定理进行了推广。

之后，怀尔德开始证明舍恩弗里斯逆定理。在第三章中，怀尔德详细讨论了佩亚诺空间，并将这些结 果应用于 2 维球面，2 维圆盘与 2 维流形． 在对局部连通进行了一系列的讨论后，第四章给出了 2 维球 面 S闭子集 K 的位置性质，特别是为了使 K 为佩亚诺连续体，怀尔德给出了 S－ K 必须满足的充分必 要条件。从第五章开始，怀尔德引入了拓扑空间的切赫同调与上同调理论，给出了同调与上同调的对偶 定理以及杯积理论。在第六章中，切赫理论被局部化，并进而引出了局部连通的同调与上同调理论，局部一致连通以及相关的主题也被讨论。第七章讨论连续，主要是对舍恩弗里斯纲领进行推广。

从第八章开始，怀尔德开始大幅讨论流形，他将 n 维广义流形定义为局部紧致的 n 维空间，它从 0 到 n － 1 维都是局部连通的并且在它的每一个点都有等于 1 的 n 维局部贝蒂数。对于这样的流形，定向 的概念得到了定义。对于可定向的流形，庞加莱对偶定理得到了证明。在一些附加条件下，亚历山大对偶 定理也建立起来了． 在接下来的章节中，怀尔德证明了当 n = 1，2 时，一个分离的 n 维广义流形是一个经 典流形． 但当 n ＞ 2 时，结果不再成立。

在最后三章中，怀尔德对 n 维广义流形 M 的闭子集 K 的位置性质进行了讨论． 他对 K 为 n － 1 维广 义流形和其逆的情形进行了研究，还对 K 在维数为从 0 到 k( k ＜ n) 的局部连通或 K 为一个 k 维广义流 形进行了研究． 可以说，他建立了“局部对偶定理”，而为了得到这个定理，必须考虑接近性、避免性等这 些概念． 这些内容成功地将舍恩弗里斯纲领推广到 n 维。

总而言之，《流形的拓扑》包含了怀尔德前期大量未发表的研究成果，并将此前他的研究进行了推 广，可以看作是 20 世纪 50 年代之前怀尔德拓扑学研究的自我总结，是一部集大成之作^[23]． 在这部著作 中，怀尔德关于点集拓扑与组合拓扑统一性的思想体现地淋漓尽致． 艾伦伯格与贝格勒( Begle) 都曾高 度评价这部著作。

2.5 单调映射定理

进入到 20 世纪 50 年代以后，怀尔德的研究兴趣逐渐转入数学基础、数学史、数学哲学和数学文化 等领域。但是，他仍然没有放弃对拓扑学的研究． 1956 年，怀尔德又证明了单调映射定理^[24-25]: 如果 f: M→Y 是从一个定向的广义流形 M 到豪斯道夫空间 Y 的满射，对于所有的 y，f( y) 是循环的，则 Y 是一个可 定向的广义流形，f_* 是一个同构同调。这个定理极大地推广了莫尔单调映射定理． 除此以外，怀尔德还对 局部定向问题进行过研究^[26]．

2.6 拓扑学史

怀尔德对数学史有着很深刻的见解，特别是对他所研究的拓扑学的历史更是如数家珍。 他曾对整个拓扑学的发展进行了细致深入的历史研究^[27]． 在组合拓扑方面，怀尔德高度评价了莱夫谢兹引入的有 理系数链，因为有理系数的链不再符合几何直观，只有将其完全理解为一个代数对象，才能克服这个在 今天看起来很平凡的困难． 而一旦意识到这一点，群论方法的引入就很自然了。同调群的出现使得组合拓扑发展为代数拓扑。

对于点集拓扑，怀尔德指出舍恩弗里斯在若尔当曲线定理及其逆定理方面的工作被很多人忽略了， 并没有受到应有的重视，但是布劳威尔、波兰学派以及莫尔学派在舍恩弗里斯研究的基础上做了大量的 研究，得出了很多非常重要的结果。 怀尔德对组合拓扑与点集拓扑的统一进行了特别关注，这也成了他 对拓扑学历史评注中最为细致的部分，可以说是他对拓扑学史的最大贡献。除此以外，怀尔德还对拓扑 学中的“连通”( connected) 概念的演变进行了深入研究^[28]，认为舍恩弗里斯、黎斯( Ｒiesz) 、伦内斯 ( Lennes) 与豪斯道夫各自独立地得到了这个概念。

3 对后世的重要影响

怀尔德在拓扑学上的影响是深远的． 他 1924 年的博士论文在近 50 年后还有人在从事这方面的工 作^[29]． 他在 1927 年构造的具有非退化的拟分支的集合 N 的例子过于复杂，琼斯和罗伯特在 1942 年和 1956 年分别给出了两个简单的例子^[30-31]． 怀尔德 1927 年关于拟闭曲线的论文的一个问题在 1948 年由 柄解决^[32]，他 1929 年关于局部紧的连续体的研究在 1969 年由莫勒继续推进^[33]．

怀尔德最为人称道的是在广义流形理论方面的贡献^[34]，他从舍恩弗里斯的工作开始研究，后逐渐 发现广义流形理论是推广舍恩弗里斯纲领的合适框架． 20 世纪四五十年代，法国数学家莱瑞( Leray) 引 进了层与谱序列的概念． 嘉当( H． Cartan) 、波莱尔( Borel) 和塞尔( Serre) 等数学家发现了得到庞加莱对偶定理的新方法。 康纳( Conner) 熟悉广义流形理论和这种新方法，他将层、谱序列的方法引入到广义流 形。波莱尔与雷蒙德证明庞加莱与亚历山大的对偶的证明可以应用至广义流形^[35]． 1961 年，波莱尔与 莫尔又就广义流形专门引入了同调理论，被称为波莱尔—莫尔同调。

康纳和佛罗德( Floyd) 证明斯密斯流形与广义流形相同，而史密斯已经考察了周期映射的不动点集 合，因此也可以考虑拓扑变换群作用于广义流形． 1966 年怀尔德从密歇根大学退休，为了庆祝他的退 休，专门召开了一次拓扑会议，会议的主题是广义流形，大会的主题主要集中在以下 3 个主题: 局部定向 问题、广义流形的三角剖分、希尔伯特—史密斯猜想与广义流形的关系^[36]．

怀尔德还通过影响重要的拓扑学家而对拓扑学产生了重要的影响。斯廷罗德在怀尔德的指导下做 了他的第一次研究，后怀尔德安排他在哈佛大学学习代数拓扑。 怀尔德还曾帮助过艾伦伯格找工作，他 们二人还曾合作研究过局部一致连通的问题^[37]． 菲尔兹奖获得者斯梅尔也受到了怀尔德的影响． 在密 歇根大学作研究生时，斯梅尔曾参加过怀尔德的讨论班，他将怀尔德关于同调的讨论应用到同伦群，发 表了关于同伦群映射定理的维托里斯类型的论文^[38]，这是他的第二篇论文，而第一篇论文也是在怀尔 德的讨论班上完成的。可以说，怀尔德一生致力于拓扑学的研究与传播普及，早年他从事纯粹拓扑学研 究，晚年他研究拓扑学史，撰写拓扑学词条与书评，为拓扑学的发展贡献了自己一生的力量。

作者简介

王 涛( 1988—) ，男，河北省武安市人，助理研究员，博士． 研究方向: 近现代数学史。

刘鹏飞，长春师范大学教授，曾任吉林师范大学数学学院院长；中国数学会数学史分会常务理事。

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