一条直线被两条直线L1:2x+y+3=0,L2:2x-3y-6=0

1、一条直线被两条直线L1:4x+y+6=0，L2:3x-5y-6=0截得线段的中点是P点，当P点坐标为（0,0）时，求此直线方程

2、若直线L与两条直线y=1，x-y-7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点昨标为（1，-1）求L的方程

（1）截得线段的中点是P点，当P点坐标为（0,0）时，说明二个交点是关于原点对称的
设一条直线与直线L1:4x+y+6=0的交点为（m,n）则另一个交点为(-m,-n)
所以满足：4m+n+6=0  （1）-3m+5n-6=0  （2）由（1）（2）联立解得
m=-36/23，n=6/23，由两点式（0，0）与（-36/23，6/23）得直线方程为
x+6y=0
(2)若直线L与两条直线y=1，x-y-7=0分别交于P(x,1)、Q（m,n）两点,
线段PQ的中点昨标为（1，-1）所以n=-3，代入x-y-7=0
得m=4，由两点式（1，-1）与（4，-3）得到直线方程为
2x+3y+1=0
 
 
一条直线被两条直线L1:x+2y-1=0,L2:2x+y+1=0截得线段的中点是点P（2，-1），求此直线方程
设L1上点为（1-2y，y)
   L2上点为（x，-1-2x)
(1-2y+x)/2=2
(y-1-2x)/2=-1
即：
x-2y=3
y-2x=-1
解得x=-1/3  ,y=-5/3
代入得：1-2y=13/3，-1-2x=-1/3
设直线方程为y=kx+b
二点代入得
-5/3=（13/3）k+b
-1/3=(-1/3)k+b
解得k=-2/7  b=-3/7
此直线方程为：y=(-2/7)x-3/7
即2x+7y+3=0
 
已知一条直线经过两条直线l1：2x-3y-4=0和l2：x+3y-11=0的交点，并且垂直于这个交点和原点的连线，求此直线方程
设所求直线的斜率为k，交点为P（x，y），
由方程组
2x-3y-4=0
x+3y-11=0
，解得P（5，2）．
故kOP=
2
5．
因直线与直线OP垂直，则k=-
1
kOP
=-
5
2，
所以所求直线的方程为y-2=-
5
2
(x-5)，
即5x+2y-29=0，
答：此直线的方程为5x+2y-29=0．

考点名称：直线的方程

• 1、定义：以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线。 
  2、基本的思想和方法：求直线方程是解析几何常见的问题之一，恰当选择方程的形式是每一步，然后釆用待定系数法确定方程，在求直线方程时，要注意斜率是否存在，利用截距式时，不能忽视截距为0的情形，同时要区分“截距”和“距离”。 
  3、点斜式方程：
  （1），（直线l过点，且斜率为k）。
  （2）当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y₁。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于x₁，所以它的方程是x=x₁。 
  4、斜截式方程：已知直线在y轴上的截距为b和斜率k，则直线的方程为：y=kx+b，它不包括垂直于x轴的直线。 
  5、两点式方程：已知直线经过（x₁，y₁），（x₂，y₂）两点，则直线方程为：
  6、截距式方程：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为：（a、b≠0）。
  7、一般式方程：（1）定义：任何直线均可写成：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的形式。（2）特殊的方程如：平行于x轴的直线：y=b（b为常数）；平行于y轴的直线：x=a（a为常数）。

 

一直线被两直线L₁：4x+y+6=0，L₂：3x-5y-6=0截得线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程．

答案：解：设所求直线与l₁、l₂的交点分别是A、B，设A（x₀，y₀）．
∵A、B关于原点对称，
∴B（-x₀，-y₀）．
又∵A、B分别在l₁、l₂上，
∴

4x0+y0 +6=0…① -3x0+5y0-6=0…②

①+②得x₀+6y₀=0，即点A在直线x+6y=0上，又直线x+6y=0过原点，
∴直线l的方程是x+6y=0．
故所求直线方程是x+6y=0．

点评：本题解答比较有技巧，两次利用过原点这一条件，同时点的坐标适合方程，来求直线方程．除此之外：此线经过原点，设所求直线为y=ax 它与 L1：y=-4x-6=ax的解x1； L2：y=3x/5-6x=ax的解x2，有题意知x2=-x1 就可以算出a，从而取得直线方程．

解析：截得的线段的中点恰好是坐标原点．∴直线与L₁：4x+y+6=0，L₂：3x-5y-6=0的交点关于原点对称，交点适合两直线，联立方程，又因为过原点，因而消去常数可得所求直线方程．