直线的方程、两条直线的位置关系

直线的方程、两条直线的位置关系

 

二. 教学重、难点：

1. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。

2. 掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

 

【典型例题】

[例1] 已知点P到两个定点M（），N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程。

解：设点P的坐标为（x，y） 

由题设有   即

∴   ①     ∵ N到PM的距离为1，

∴     ∴ PM的方程为：②

②代入①：     ∴

∴ P（）或（）；或

∴ PN的方程为或

 

[例2] 已知的顶点A（3，4），B（6，0），C（），求的内角平分线AT所在的直线方程。

解：方法一：∵ 直线AC到AT的角等于AT到AB的角

又 ∵ ，

设AT的斜率为或，则

化简得，解之，得或（舍去）

∴ 直线AT的方程为

即所求的方程为

方法二：设直线AT上的动点P（x，y）则P点到AC、AB的距离相等

∵

∴ 直线AB的方程为，即

直线AC的方程为

即   那么

即或

结合图形分析知是的角A外角的平分线，故舍去。

∴ 所求的方程为

 

[例3] 的三个顶点分别为A（），B（2，1），C（），试分别求出：

（1）BC边所在直线的方程；

（2）BC边上的中线AD所在直线的方程；

（3）BC边的垂直平分线的方程。

解：（1）由题意，根据直线方程的两点式，可得BC边所在直线的方程为，即

（2）由题意，BC中点P的坐标为（0，2）又A（），可由直线方程的截距式求得中线AD所在直线的方程为，即。

（3）由题意，，其中点为（0，2），BC的垂直平分线的斜率为2，由直线方程的斜截式，求得直线方程为，即

 

[例4] 已知两直线，，当为何值时，与（1）相交；（2）平行；（3）重合?

解：当时，     ∴

当m时，

∴ 与相交

当且时，由，得或

由，得

故（1）当，且时，与相交

（2）当或时，

（3）当时，与重合

 

[例5] 已知点P（2，），求：

（1）过P点与原点距离为2的直线的方程；

（2）过P点与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P点与原点距离为6的直线？若存在，求出方程，若不存在，请说明理由。

解：（1）过P点的直线与原点距离为2，而P点坐标为（2，1），可见，过P（2，1）且垂直于轴的直线满足条件

此时的斜率不存在，其方程为

若斜率存在，设的方程为，即

由已知，得  解之，得

此时的方程为

综上，可得直线的方程为或

（2）作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由，得

所以。由直线方程的点斜式得，即

故直线是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为

（3）由（2）可知，过P点不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过P点且到原点距离为6的直线

 

[例6] 已知函数，求的最小值，并求取得最小值时的值。

    解：∵

它表示点P（x，0）与点A（1，1）的距离加上点P（x，0）与点B（2，2）的距离之和，即在轴上求一点P（x，0）与点A（1，1），B（2，2）的距离之和的最小值。

由图可知转化为求两点和间的距离，其距离为函数的最小值

∴ 的最小值为

再由直线方程的两点式得方程为

令，得  当时，的最小值为

 

[例7] 已知n条直线，…

（其中），这n条平行直线中，每相邻两条直线之间的距离顺次为2、3、4、…、n。

（1）求；

（2）求与轴、轴围成的图形的面积；

（3）求与及x轴、y轴围成的图形的面积。

解：（1）原点O到的距离为1，原点O到的距离为1+2，…原点O到的距离为

∵      ∴

（2）设直线交x轴于M，交y轴于N，则面积

（3）所围成的图形是等腰梯形，由（2）知，则有

∴

∴ 所求面积为

 

[例8] 已知三条直线：（），直线：和直线：，且与的距离是。

（1）求a的值；

（2）求到的角

（3）能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件：① P是第一象限的点；② P点到的距离是P点到的距离的；③ P点到的距离与P点到的距离之比是？若能，求P点坐标；若不能，请说明理由。

解：（1）即

∴ 与的距离     ∴

∴     ∵     ∴

（2）由（1），即    ∴ ，而的斜率

∴

∵       ∴

（3）设点P（），若P点满足条件②，则P点在与平行的直线：上，且   即或

∴ 或

若P点满足条件③，由点到直线的距离公式有

即    ∴ 或

由P在第一象限     ∴ 不可能   

联立方程和

解得但不符合题意应舍去

  解得

即为同时满足三个条件的点。

 

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 曲线在点（）处的切线方程为（    ）

A.                            B.

C.                         D.

2. 若点P（2，）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程为（    ）

A.                        B.

C.                        D.

3. 直线与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么的范围是（    ）

    A.     B.     C. 且    D. 或

4. 已知平面上直线的方向向量，点O（0，0）和A（1，）在上的射影分别是和，则=，其中等于（    ）

    A.     B.     C. 2    D.

5. 已知过点和的直线与直线平行，则m的值为（    ）

    A. 0    B.     C. 2    D. 10

6. 已知的顶点，B（6，4），重心H（5，2），则点C的坐标为（    ）

    A.     B.     C.     D.

7. 已知是直线上两点，则A、B两点间的距离是（    ）

A.     B.     C.      D.

8. 已知两直线的方程分别为，，它们在坐标系中的位置如图所示，则（    ）

A.

B.

C.

D.

 

二. 解析题：

1. 若点A（），B（），直线过点P（1，1），且与线段AB相交，求直线的倾斜角及斜率的取值范围。

2. 过点M（0，1）作直线，使它被两已知直线，所截得的线段恰好被M所平分，求直线的方程。

3. 已知点A、B的坐标分别是，直线的方程为，问直线是否与线段AB相交？

4. 已知直线经过点P（3，1）且被两平行直线和截得的线段长为5，求直线的方程。

 

 

 

 

 

 

【试题答案】

一.

1. B

    解析：，则，即曲线在点（）处的切线的斜率为，又切点为（），∴ 所求切线方程为，即

2. A

    解析：由圆的弦的性质，圆心O（1，0）与P点连线与AB垂直，由知，∴ 直线AB的方程为，即

3. C

解析：令得，令，得

∴ 三角形面积    又，即    ∴

又 ∵ 时不合题意，故选C

4. D

解析：如图所示，令过原点，与方向相反，排除A、C，验证D即可。

5. B

    解析：，令，解得

6. B

解析：设点C的坐标为（6，y），由题意，知BH⊥AC，AH⊥BC，得

∴ C（6，）

7. B

8. C

解析：对于直线，令可得，斜率，直线，令，得<0，斜率，从图中可以看出，即，可得

 

二.

1. 解析：结合图象，知直线与线段AB有交点，只需直线从PB逆时针绕P转到直线PA，而，，在这个旋转过程中，的斜率由变化到无穷大，又由负无穷大变化到，所以斜率的范围是，倾斜角的范围是

2. 解析：设所求直线与的交点分别为M₁、M₂，由题意，M点是线段M_1­M₂的中点

设，则

从而   解得

此时上有两点已知，故其方程为，即

3. 解析：设直线与直线AB相交于P（x，y），且点P分有向线段AB的比为

则     ∵ 点P在直线上    ∴

解得     ∴ 点P在BA延长线上

故直线与线段AB不相交

4. 解析：若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时与的交点分别为和，截得的线段长，符合题意

若直线的斜率存在，则设直线的方程为

解方程组    得

解方程组    得

由，得

解之，得，即所求的直线方程为，综上，可知所求的方程为或