§8.2 两条直线的位置关系
1．两条直线的位置关系 直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：
2.三种距离公式 (1)两点间的距离公式 ①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)． ②结论：|P1P2|＝. ③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离 点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝. (3)两条平行直线间的距离 两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
1．直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)． (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)． (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2. 2．五种常用对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)． (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)． (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)． (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)． (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)．
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.( × ) (2)若两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.( × ) (3)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) (4)若点A，B关于直线l：y＝kx＋b(k≠0)对称，则直线AB的斜率等于－，且线段AB的中点在直线l上．( √ )
1．点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为( ) A．2 B. C. D. 答案 C 解析 点A(2,5)到直线l：x－2y＋3＝0的距离为d＝＝. 2．若直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，则m等于( ) A．4 B．－4 C．1 D．－1 答案 A 解析 因为直线2x＋my＋1＝0与直线3x＋6y－1＝0平行，所以＝≠，解得m＝4. 3．直线x－2y－3＝0关于x轴对称的直线方程为________． 答案 x＋2y－3＝0 解析 直线x－2y－3＝0的斜率为k＝且与x轴交于点(3,0)， 故所求直线的斜率为－，且过点(3,0)， 其方程为y＝－(x－3)， 即x＋2y－3＝0.
题型一 两条直线的平行与垂直 例1 (1)(2023·合肥质检)若l1：3x－my－1＝0与l2：3(m＋2)x－3y＋1＝0是两条不同的直线，则“m＝1”是“l1∥l2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 C 解析 若l1∥l2，则3×(－3)＝－m×3(m＋2)， 解得m＝1或m＝－3， 而当m＝－3时，l1，l2重合，故舍去， 则“m＝1”是“l1∥l2”的充要条件． (2)(2022·桂林模拟)已知直线l1：ax＋(a－1)y＋3＝0，l2：2x＋ay－1＝0，若l1⊥l2，则实数a的值是( ) A．0或－1 B．－1或1 C．－1 D．1 答案 A 解析 由题意可知l1⊥l2，故2a＋a(a－1)＝0， 解得a＝0或a＝－1，经验证，符合题意． 思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况． (2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论． 跟踪训练1 (1)(2023·襄阳模拟)设a，b，c分别为△ABC中角A，B，C所对边的边长，则直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sin C＝0的位置关系是( ) A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．重合 答案 B 解析 由题意可知，直线xsin A＋ay＋c＝0与bx－ysin B＋sinC＝0的斜率分别为－，， 又在△ABC中，＝， 所以－·＝－1， 所以两条直线垂直． (2)已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m＝________；若l1∥l2，则m＝________. 答案 3或－2 解析 因为l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0， 所以，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2， 若l1∥l2，则m－1＋6m＝0，解得m＝，经检验符合题意． 题型二 两直线的交点与距离问题 例2 (1)两条平行直线2x－y＋3＝0和ax－3y＋4＝0间的距离为d，则a，d分别为( ) A．a＝6，d＝ B．a＝－6，d＝ C．a＝－6，d＝ D．a＝6，d＝ 答案 D 解析 依题意知直线2x－y＋3＝0与直线ax－3y＋4＝0平行， 得2×(－3)－(－1)×a＝0，解得a＝6， 所以两直线分别为2x－y＋3＝0和6x－3y＋4＝0， 即6x－3y＋9＝0和6x－3y＋4＝0， 所以两直线间的距离d＝＝. (2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知直线l经过点P(3,1)，且被两条平行直线l1：x＋y＋1＝0和l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，则直线l的方程为( ) A．y＝1 B．x＝3 C．y＝0 D．x＝2 答案 AB 解析 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3， 此时l与直线l1，l2的交点分别为A(3，－4)，B(3，－9)， 截得的线段|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－1＝k(x－3)， 且设直线l与直线l1和l2的交点分别为A，B. 联立得A； 联立得B. 由|AB|＝5， 得2＋2＝52， 解得k＝0，即所求直线l的方程为y＝1. 综上所述，所求直线l的方程为x＝3或y＝1. 思维升华 利用距离公式应注意的点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等． 跟踪训练2 (1)经过两直线l1：2x－y＋3＝0与l2：x＋2y－1＝0的交点，且平行于直线3x＋2y＋7＝0的直线方程是( ) A．2x－3y＋5＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－2＝0 D．3x＋2y＋1＝0 答案 D 解析 由解得所以直线l1与l2的交点为(－1,1)，设与直线3x＋2y＋7＝0平行的直线为3x＋2y＋m＝0(m≠7)，所以3×(－1)＋2×1＋m＝0，解得m＝1，所以所求直线方程为3x＋2y＋1＝0. (2)若点(m，n)在直线l：3x＋4y－13＝0上，则(m－1)2＋n2的最小值为( ) A．3 B．4 C．2 D．6 答案 B 解析 由(m－1)2＋n2的几何意义为点(m，n)到点(1,0)距离的平方， 得其最小值为点(1,0)到直线l：3x＋4y－13＝0的距离的平方， 即d2＝2＝4. 题型三 对称问题 命题点1 点关于点的对称问题 例3 直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为( ) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 答案 B 解析 方法一 设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为， 因为点在直线3x－2y＝0上， 所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0， 所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 方法二 在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)， 设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′， 则O′，M′， 所以所求直线方程为＝， 即3x－2y－2＝0. 命题点2 点关于直线的对称问题 例4 (2022·太原模拟)已知两点A(－4,8)，B(2,4)，点C在直线y＝x＋1上，则|AC|＋|BC|的最小值为( ) A．2 B．9 C. D．10 答案 C 解析 依题意，设B(2,4)关于直线y＝x＋1对称的点为B′(m，n)， ∴解得 ∴B′(3,3)，连接AB′交直线y＝x＋1于点C′，连接BC′，如图，
在直线y＝x＋1上任取点C，连接AC，BC，B′C，显然，直线y＝x＋1垂直平分线段BB′， 则有|AC|＋|BC|＝|AC|＋|B′C|≥|AB′|＝|AC′|＋|B′C′|＝|AC′|＋|BC′|，当且仅当点C与C′重合时取等号， ∴(|AC|＋|BC|)min＝|AB′|＝＝，故|AC|＋|BC| 的最小值为. 命题点3 直线关于直线的对称问题 例5 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为( ) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 答案 C 解析 设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)， 则解得(*) ∵点M′在直线3x－2y－6＝0上， ∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0， 化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程． 思维升华 对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题． 跟踪训练3 已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 解 (1)设A′(x，y)，由已知条件得 解得∴A′. (2)在直线m上取一点，如M(2,0)， 则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点为M′(a，b)，则 得M′. 设直线m与直线l的交点为N， 由得N(4,3)． 又m′经过点N(4,3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)方法一 在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1,1)，Q(4,3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上， 易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)， 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. 方法二 ∵l∥l′， ∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1)． ∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得＝， 解得C＝－9， ∴l′的方程为2x－3y－9＝0. 课时精练
1．已知直线l1经过点A(2，a－1)，B(a,4)，且与直线l2：2x＋y－3＝0平行，则a等于( ) A．－2 B．2 C．－1 D．1 答案 C 解析 直线l1的斜率k1＝＝，直线l2的斜率k2＝－2， 所以＝－2，解得a＝－1，经检验符合题意． 2．若直线ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，垂足为(1，b)，则a＋b＋c等于( ) A．－6 B．4 C．－10 D．－4 答案 D 解析 因为ax－4y＋2＝0与直线2x＋5y＋c＝0垂直，故2a－20＝0，即a＝10， 因为垂足为(1，b)，故故 故a＋b＋c＝－4. 3．(2023·漳州质检)已知a2－3a＋2＝0，则直线l1：ax＋(3－a)y－a＝0和直线l2：(6－2a)x＋(3a－5)y－4＋a＝0的位置关系为( ) A．垂直或平行 B．垂直或相交 C．平行或相交 D．垂直或重合 答案 D 解析 因为a2－3a＋2＝0，所以a＝1或a＝2. 当a＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：4x－2y－3＝0， k1＝－，k2＝2，所以k1·k2＝－1，则两直线垂直； 当a＝2时，l1：2x＋y－2＝0， l2：2x＋y－2＝0，则两直线重合． 4．在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程分别为x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0，另一组对边所在的直线方程分别为3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0，则|c1－c2|等于( ) A．2 B．2 C．2 D．4 答案 B 解析 因为菱形四条边都相等， 所以每条边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线x－2y＋1＝0和x－2y＋3＝0之间的距离为 ＝， 3x＋4y＋c1＝0和3x＋4y＋c2＝0之间的距离为＝， 于是有＝⇒|c1－c2|＝2. 5．(2023·牡丹江模拟)直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是( ) A.x＋y－2＝0 B.x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 答案 C 解析 直线y＝x与直线x＝1交于点A， 所以直线l的斜率为－且过点A， 所以直线l的方程为y－＝－(x－1)， 即x＋y－2＝0. 6．设直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，P，Q分别为l1，l2上任意一点，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则m的值为( ) A．2 B．－2 C．3 D．－3 答案 A 解析 根据题意画出图形，如图所示．
直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：mx＋y＋3＝0的交点为A，M为PQ的中点，若|AM|＝|PQ|，则PA⊥QA，即l1⊥l2，则1×m＋(－2)×1＝0，解得m＝2. 7．(多选)已知直线l过点P(1,2)，且点A(2,3)，B(4，－5)到直线l的距离相等，则l的方程可能是( ) A．4x＋y－6＝0 B．x＋4y－6＝0 C．3x＋2y－7＝0 D．2x＋3y－7＝0 答案 AC 解析 由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点， 当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4， 所以直线l的方程是y－2＝－4(x－1)，即4x＋y－6＝0； 当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时， l的斜率为＝－， 此时l的方程是y－2＝－(x－1)， 即3x＋2y－7＝0. 8．(多选)设直线l1：y＝px＋q，l2：y＝kx＋b，则下列说法正确的是( ) A．直线l1或l2可以表示平面直角坐标系内任意一条直线 B. l1与l2至多有无穷多个交点 C．l1∥l2的充要条件是p＝k且q≠b D．记l1与l2的交点为M，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0可表示过点M的所有直线 答案 BC 解析 对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴交点的横坐标)，此时直线l1或l2的方程无法表示，故A错误； 对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确； 对于C，当p＝k且q≠b时，l1∥l2，故C正确； 对于D，记l1与l2的交点为M，则M的坐标满足l1：y＝px＋q且满足l2：y＝kx＋b，则y－px－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l2，故D错误． 9．过直线3x－y＋5＝0与2x－y＋6＝0的交点，且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程是________． 答案 2x＋y－10＝0 解析 由解得直线x－2y＋1＝0的斜率为， 故过点(1,8)且垂直于直线x－2y＋1＝0的直线方程为y－8＝－2(x－1)， 即2x＋y－10＝0. 10．已知直线l1：2x＋y＋1＝0和直线l2：x＋ay＋3＝0，若l1⊥l2，则实数a的值为________；若l1∥l2，则l1与l2之间的距离为________． 答案 －2 解析 已知直线l1：2x＋y＋1＝0和l2：x＋ay＋3＝0， 若l1⊥l2，则2＋a＝0，解得a＝－2； 若l1∥l2，则2a＝1，解得a＝，此时直线l2：2x＋y＋6＝0，显然两直线不重合， 故此时l1与l2间的距离d＝＝. 11．(2022·岳阳模拟)点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为________． 答案 (－8，－3) 解析 设点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A(a，b), 由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以kPA＝＝1， 所以a－b＝－5，又线段PA的中点在直线x＋y＋1＝0上， 即＋＋1＝0,所以a＋b＝－11， 由得 所以点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)． 12．已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________. 答案 －1或或－2 解析 由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形， 此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1； ②当l3∥l2时，不能构成三角形， 此时a×3＝4×2，解得a＝； ③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时 联立l1与l2，得解得 所以l1与l2的交点为(－2,1)， 将(－2,1)代入l3， 得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2， 综上，当a＝－1或或－2时，不能构成三角形．
13．(多选)(2022·保定模拟)已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，下列结论正确的是( ) A．若l1∥l2，则a＝6 B．若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为 C．若l1⊥l2，则a＝ D．若a≠6，则直线l1，l2一定相交 答案 AD 解析 若l1∥l2，则4a＝3×8，∴a＝6，故A正确； 由A知，l2：6x＋8y－11＝0，直线l1的方程可化为6x＋8y＋24＝0， 故两条平行直线之间的距离为＝，故B不正确； 若l1⊥l2，则3a＋4×8＝0，∴a＝－，故C不正确； 由A知，当a＝6时，l1∥l2， ∴若a≠6，则直线l1，l2一定相交，故D正确． 14．设△ABC的一个顶点是A(－3,1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为__________. 答案 2x－y－5＝0 解析 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．A(－3,1)关于x＝0的对称点A′(3,1)在直线BC上，A(－3,1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.
15．(2023·临沂模拟)已知光线从点A(6,1)射出，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的点C，再被y轴反射，这时反射光线恰好经过点D(4,4)，则CD所在直线的方程为________． 答案 x－2y＋4＝0 解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，则y＝2，所以C点坐标为(0,2)， 所以CD所在直线的方程为y＝x＋2，即x－2y＋4＝0. 16. 如图，已知直线l1∥l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到直线l1，l2的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作AC⊥AB，且AC与l1交于点C，则△ABC的面积的最小值为__________.
答案 6 解析 以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设B(a，－2)，C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴·＝0， 即ab－6＝0，∴ab＝6，b＝. Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥×＝6(当且仅当a2＝4时取等号)． ∴△ABC的面积的最小值为6. |
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