1 定理简介 蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。这个命题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《男士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。登出的当年,英国一个自学成才的中学数学教师W.G.霍纳（他发明了多项式方程近似根的霍纳法）给出了第一个证明，完全是初等的；另一个个证明由理查德·泰勒（Richard Taylor）给出。另外一种早期的证明由M.布兰德（Miles Bland）在《几何问题》（1827年）一书中给出。最为简洁的证法是射影几何的证法，由英国的J·开世在"A Sequel to the First Six Books of the Elements of Euclid"（中译：近世几何学初编，李俨译，上海商务印书馆 1956 ）给出，只有一句话，用的是线束的交比。1981年，Crux杂志刊登了K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）用解析几何的一种比较简单的方法（利用直线束，二次曲线束）。该定理实际上是射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广：M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。圆可以改为任意圆锥曲线。将圆变为一个完全四角形，M为对角线交点。去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“坎迪定理”， 不为中点时满足: ,这对2，3均成立。 2 定理内容蝴蝶定理是古典欧式平面几何的最精彩的结果之一。蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。 定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，其中最早的， 这里介绍一种较为简便的初等数学证法。 证明：过圆心O作AD与BC垂线，垂足为S、T，连接OX，OY，OM。SM。MT。 ∵△AMD∽△CMB，且SD=1/2AD，BT=1/2BC ∴DS/BT=DM/BM 又∵∠D=∠B ∴△MSD∽△MTB，∠MSD=∠MTB ∴∠MSX=∠MTY； 又∵O，S，X，M与O，T，Y，M均是四点共圆， ∴∠XOM=∠YOM ∵OM⊥PQ ∴XM=YM |
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