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八年级下册第十九章《一次函数》简介 课程教材研究所 田载今 一、教科书内容和课程学习目标
(一) 教科书内容
经全国中小学教材审定委员会2013年审查通过的人教版初中数学教科书的第十九章是“一次函数”，其主要内容包括：常量与变量的意义，函数的概念，函数的三种表示法，一次函数的概念、图象、性质和应用举例，一次函数与二元一次方程等内容的关系，以及以建立一次函数模型来选择最优方案为素材的课题学习.
全章包括三节：
19．1 变量与函数；
19．2 一次函数；
19．3 课题学习：选择方案.
关于这三节的地位与作用有如下的整体设计.
19.1 节是全章的基础部分，内含2个小节. 19.1.1小节“变量与函数”结合简单的实际问题，对事物的运动变化进行数量化讨论，先引出常量和变量的意义，再从描述变量之间对应关系的角度刻画了一般函数的基本特征，从而初步建立函数的概念，并给出函数的解析式的意义. 19.1.2小节“函数的图象”在本章之前已有直角坐标系内容的基础上，以具体函数为例，介绍能形象化地表示函数的重要工具——函数的图象，并归纳表示函数的三种方法（解析式法、列表法和图象法），为今后继续研究各类具体的函数进行必要的准备.
19.2节是全章的重点内容，内含3个小节. 19.2.1小节“正比例函数”以火车运行中“路程=平均速度×时间”为问题情境，引出正比例函数的概念、图象和增减变化规律. 19.2.2小节“一次函数”以登山中气温随海拔而变化为问题情境，引出一次函数的概念，并对比正比例函数，研究一次函数的图象和增减变化规律. 一次函数是一种最基本的初等函数，对它的讨论中函数解析式与函数图象的相互联系与转化能发挥重要作用. 这是“数形结合”的思想方法的体现，它对今后进一步研究其他类型的函数具有启示作用. 19.2.3小节“一次函数与方程、不等式”从一次函数的角度，对一次方程和不等式进行再认识，揭示函数与以前学习的方程等内容之间的联系.
19.3节是全章的拓展提高部分，作为探究性学习的内容，它以课题学习的形式呈现，通过对“怎样选取上网收费方式”和“怎样租车”两个典型问题的讨论，探求解决实际问题的最优方案，展示函数的应用价值，突出建立数学模型的思想方法和实际意义.
必须指出，函数是数学中极为重要的基本概念，它对数学的发展有重大影响，是数学学习中的重要知识点. 但是由于函数概念涉及运动变化，抽象性较强，所以初学者接受并理解它有一定难度，这也是本章的难点.
“变化与对应”的思想体现在函数概念之中，用运动变化的眼光，以函数为工具，把抽象的数量关系和直观的函数图象结合起来，从“数”与“形”两方面动态地分析问题，从而全面地认识函数，是本章学习的突出特点.
（二） 本章知识结构框图
（三） 课程学习目标
本章内容的设计与编写以下列目标为出发点：
1．以探索简单实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型.
2．结合实例，了解常量、变量的意义和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能结合图象数形结合地分析简单的函数关系.
3. 能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求函数值.
4. 结合具体情境体会和理解正比例函数和一次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的增减变化，能利用这些函数分析和解决简单实际问题.
5．通过讨论一次函数与二元一次方程等的关系，从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系.
6．进行探究性课题学习，以选择方案为问题情境，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力.
（四）课时安排
本章教学时间约需17课时，具体分配如下（仅供参考）：
19.1 变量与函数 约6课时
19.2 一次函数 约6课时
19.3 课题学习 选择方案 约3课时
数学活动
小结 约2课时
二、本章的编写特点
（一）反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想
在建立和运用函数这种数学模型的过程之中，“变化与对应”的思想是重要的基础，所谓变化与对应的思想包括两个基本意思：
2．在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变量之间存在对应关系.
函数是数量化地表达变化与对应现象的数学工具，某些变化规律表现为变量之间满足单值对应的关系，函数就是通过数或形定量地描述这种对应关系的数学工具. “变化与对应”的观点蕴涵于本章内容中.
人的认识过程是波浪式前进、螺旋式上升的. 学习数学中的一个重要的基本概念，往往需要分阶段地完成，逐步深化认识程度. 本套教科书将对代数函数的学习分三章安排，即八年级下学期学习第十九章“一次函数”，九年级上学期学习第二十二章“二次函数”，九年级下学期学习第二十六章“反比例函数”. 在学习这些内容之前，教科书已分别安排了一次方程（组）、一元二次方程及分式方程等内容. 从教科书的整体框架上看，在“数与代数”分支中，运算类型的变化是重要的发展线索. 根据“一次”“二次”等代数式运算类型，将各种函数作为与其相关的方程的后续发展.一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等都是以一次（线性）运算为基础的数学模型，本章在学生对它们已有一定认识的基础上，继续讨论一次函数，从变化和对应的角度对一次运算进行更深入的讨论.
教科书在进入专门对一次函数的讨论之前，安排学生先了解函数的一般概念. 19.1节中，首先，从几个实际问题情境入手，引导学生通过填表和列式表示问题中相关的量，从中认识常量和变量的主要特征，学会区别它们. 接着，教科书通过“归纳”栏目总结出这些问题中变量之间关系的共同特点，即“问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一变量就有唯一确定的值与其对应.”教科书又继续用心电图、人口统计表等问题对这种变化与对应关系进行了补充和强化，这也为后面归纳多种函数表示法写下伏笔. 在此基础上，教科书第一次给出了函数的一般概念以及自变量、函数值等概念. 教科书中给出的函数定义是突出变化与对应的，其中主要有两层意思：
1．两个变量互相联系，一个变量变化时另一个变量也发生变化；
2．函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的.
以上两点是关于函数的最基本、最朴素的刻画，也是教科书关于函数概念的论述中力求能使学生认识的重点内容.
（二）从特殊到一般地认识一次函数
人们认识事物往往经历“从特殊到一般”的过程，教科书对本章重点内容的安排正是按照这样的过程展现的.
在对一般的函数概念初步讨论后，教科书转入对一种具体的初等函数的讨论，19.2节的标题“一次函数”点出了这一节的核心对象.这一节首先从讨论正比例函数开始，正比例函数是特殊的一次函数，即
在分析具体问题时，教科书注意了引导学生利用事物之间的联系从特殊到一般地认识问题，例如讨论一次函数的图象时，教科书先对比函数
（三）用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建
在学习过程中，人们需要不断地提高认识问题的水平，这包括对过去已认识过的事物的再认识，也包括对新认识的事物与已认识的事物之间的联系的认识. 这种认识水平的提高，是构建知识体系的过程中不可缺少的.
本章19.2.3小节“一次函数与方程、不等式”，从函数的角度对前面学习过的二元一次方程组以及一元一次方程、一元一次不等式等重新进行了分析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的起点上的动态分析. 用一次函数可以把上述几个数学对象统一认识，由此可见函数的重要性.“水涨船高”，随着知识积累的增加，认识事物的水平也会相应提高.“站得高看得远”，通过学习本节内容，不仅可以加深对方程（组）与不等式等数学对象的理解，而且可以加大对已经学过的相关内容之间的联系的认识，加强知识间横纵向的融会贯通，提高灵活地分析解决问题的能力. 这也从一个侧面反映了函数概念对相关内容的统率作用.
（四）注重联系实际问题，体现数学建模的作用
世界是运动变化的，函数是研究运动变化的重要数学模型，它来源于客观实际又服务于客观实际.本章教科书中实际问题贯穿于始终，它们中有些是作为认识函数概念的实际背景，为降低学习抽象概念的难度服务的. 例如，在引入一般函数的概念时，教科书通过对一系列实际问题中变量间关系的分析与描述，归纳出其中共有的一般规律，得出函数的定义. 这样的过程是由具体到抽象，由特殊到一般的过程，是以将实际问题抽象为数学模型为线索的展现过程. 有些实际问题是作为应用举例体现函数的广泛的应用性，为培养应用数学解决实际问题的意识和能力服务的. 例如，19.3节中的问题1问题2都是具有实际背景的选择最优方案的问题. 要解决这些问题，需要先确定问题中起关键作用的变量，再列出函数解析式，然后分析这些函数解析式或相应的图象，找出问题中要考虑的最小（大）值. 在分析和解决问题的过程中，把这些实际问题中的数量关系用一次函数来表示，是解决问题的关键，一次函数作为数学模型发挥了重要作用. 通过对这些问题的探究，必然能对数学建模的作用产生新的认识.
本章的数学活动中，活动1为利用函数研究人口增长的内容，要求根据表格中的数据信息，建立函数模型，并由它对未来人口增长趋势进行预测估计. 活动2为利用函数研究漏水现象，要求通过实验收集数据，建立函数模型，并计算漏水量. 安排这些问题的目的在于：一方面通过实际生活中的问题，进一步突出函数这种数学模型应用的广泛性和有效性；另一方面使学生能在解决实际问题的情境中灵活运用所学数学知识，进一步提高分析问题和解决问题的综合能力. 本章在学生已有的建立方程或不等式这样的数学模型的基础上，继续重视数学与实际的关系，在建立函数这种应用更广泛的数学模型的过程中继续体现建模思想.
此外，教科书对于数学与其他科学技术的联系也予以关注. 例如，“阅读与思考：科学家如何测算岩石的年龄”中，介绍了放射性物质蜕变过程中函数变化曲线对确定半衰期的作用等. 编者希望学生通过学习本章不仅进一步学习数学，而且也能扩大对相关科技知识的了解.
三、几个值得关注的问题
认识本章的特点有助于更好地使用教科书，以下是与本章特点相关的几个在教学中应关注的问题.
（一）重视数学概念中蕴涵的思想，注意引导学生从“运动变化和联系对应”的角度认识函数
使用本套教材时，本章教学是学习函数的第一阶段，其教学目标如前所述，重点在于初步认识函数概念，并具体讨论一次函数这类最简单的初等函数. 本章教学应力求渗透体现变化与对应的思想，使学生能潜移默化地感触体会函数内容中最基本的东西，在对数学思想方法的学习方面有所收获.
数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数量关系和空间形式是从现实世界中抽象出来的，世界永远是处于运动变化之中的，因此无论是数量关系中还是空间形式中都充满了有关运动变化的问题. 函数正是研究运动变化的重要数学模型，它在当今数学的各个领域都是极为重要的角色.
函数概念来源于客观实际需要，也来自数学内部发展的需要.它是以变化与对应的思想为基础的数学概念. 怎样认识函数概念呢？学习函数概念不能只注重背记定义而不关注它的实质，要使学生理解定义的真正含义，即函数的实质就是它是反映运动变化与联系对应的数学概念. 应使学生了解对于许多客观事物必须从运动变化的角度进行数量化研究，许多问题中的各种变量是相互联系的，变量之间存在对应规律，这会表现为变量的值之间存在对应关系，其中就有单值对应关系，而刻画这种关系的数学模型就是函数. 本章所讨论的是最简单、最基本的函数，但是不论简单函数还是复杂函数，在本质上都是上面所说的那样的数学模型. 作为关于函数内容的初始教学，应有意识地体现函数的本质，这正是本章内容中蕴涵的基本思想. 当然，对于运动变化与联系对应的思想的认识也是需要逐步理解的，所以教学中应注意在不同阶段对这一思想的渗透介绍要有不同的做法和要求，要逐步深化，要从具体到抽象，从特殊到一般地引导学生认识它.
通过本章教学，学生应对函数形成初步的正确认识，即认识到虽然函数的表示方法有多种，而且不同问题中函数的具体形式可以形形色色，但是各种函数都是反映变化规律的数学工具，现在学习的函数都是刻画同一个变化过程中两个变量之间的单值对应关系的模型.
（二）借助实际问题情景，引导学生由具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想
现实中存在大量问题涉及具有简单函数关系的变量，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习一次函数提供了大量的现实素材. 在本章教学中，实际问题情境多次会出现，其作用主要体现在以下方面：
1.引入或解释函数等概念. 这样做的目的是借助直观的、具体的事物为理解抽象的内容服务. 例如,通过19.1节中一系列具体例子解释变量间的对应关系等，通过火车运行问题引入正比例函数，通过登山问题引入一次函数等.，
2.作为函数的应用举例的一些内容. 例如, 19.1节例4中的水位预测问题， 19.3节中的选择方案问题等，它们都可以体现数学建模思想，反映函数的广泛应用性.
本章开始的引言明确提出“为了研究这些运动变化现象中变量间的依赖关系，在数学中逐渐形成了函数概念. 人们通过研究函数及其性质，更深入地认识现实世界中许多运动变化的规律.”在本章的教学中，要充分注意有关现实背景，通过它们反映出函数来自实际又服务于实际，不断加强对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识.
找出问题中相关变量之间的关系，并以数学形式表现这种关系，是本章中用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境是基础. 在本章的教学和学习中，对一个问题可以从多种角度思考，图象、表格、式子等都是可以借助的工具，使用它们的目的在于发现和理清问题中变量之间的关系. 在建立函数模型后，还需注意结合问题的实际意义检验模型的合理性. 为增强学生的数学建模能力，教师还可以结合实际情况选择更贴近学生生活的各种问题，引导学生用函数分析解决它们.
（三）引导学生重视数形结合的研究方法
本章所讨论的对象是函数，函数的表示法之一是图象法，即通过坐标系中的曲线上点的坐标反映变量之间的对应关系. 这种表示方法的产生，将数量关系直观化、形象化，提供了数形结合地研究问题的重要方法，这在数学发展中具有重要地位. 恩格斯说：“笛卡儿变数的出现，是数学中的一个转折点，从此运动和辩证法进入了数学.”
本章教学中，应引导学生不能仅仅着眼于具体题目的解题过程，而应不断加深对相关数学思想方法的领会，从整体上认识问题的本质. 数学思想方法是具体的数学知识的灵魂，数学思想方法对一个人的影响往往要大于具体的数学知识. 数学思想方法是以数学知识为载体来体现的，而对于隐含于数学知识中的数学思想方法的认识需要一个较长的过程，既需要教材的渗透，也需要教师的点拨，最后还需要学生自身的感受和理解. 数形结合的思想方法蕴含于本章中多处. 结合具体内容使学生对自然地理解它，并逐步加以灵活运用，发挥从数和形两个方面共同分析解决问题的优势，是必要且可能的. 教学准备中，在函数解析式与函数图象的结合方面应有细致的安排设计，注意两者的互补作用，体现两者的联系，突出两者间的转化对分析解决问题的特殊作用. 学习了本章之后学生不仅要知道相关函数的图象，更要体验函数图象的作用和数形结合的方法.
（四）加强对知识之间内在联系的认识，引导学生体会函数观点的统率作用
本章教学中，应注意函数与以前所学习的方程、不等式等其他代数知识的关系，力求使学习函数能够在发展和构建一个较好的知识体系方面起一定作用. 为此，在19.2.3小节“一次函数与方程、不等式”的教学中，应认识到此时对方程等的再认识已不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高处进行动态的分析. 教师需要明确安排这一节的目的，把握这些内容的要求尺度，抓住一次函数与二元一次方程（组）的联系这个重点. 希望能通过这些内容的教学，加强知识间横向和纵向的联系，发挥函数对相关内容的统率作用，使学生能用一次函数可以把以前学习的方程、不等式等数学对象统一起来认识，逐步达到新旧知识的融会贯通，进一步体会函数的重要性，提高多角度地、灵活地分析解决问题的能力.
一次函数的教学中，应体现出“从特殊到一般”地认识问题是学习的一种有效途径.在讨论函数解析式、图象、性质等问题时，应引导学生注意比较函数
（五）引导学生注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力
本章中函数的基本概念，函数的一般表示法和一次函数的概念、解析式、图象、性质等是基础知识；会画一次函数（包括正比例函数）的图象，能结合图象讨论这些函数的增减性质等是基本技能；能利用一次函数分析和解决简单实际问题是基本能力. 掌握基础知识和基本技能，培养训练基本能力，都应在教学中得到落实. 例如，第19.1节中对于描点法画函数图象的一般步骤进行了归纳，这对后续学习其他函数内容很重要，应使学生熟悉它.又如，一次函数
（六）结合课题学习，引导学生提高实践意识与综合应用数学知识的能力
本章第19.3节“课题学习 选择方案”的教学具有特殊的地位和作用. 这一以一次函数为主要知识点的专题内容，其中的“寻求最佳方案”是现实中经常面临的问题. 对于这类问题，数学知识大有用武之地. 这一节讨论的两个问题，与客观实际的接近程度很高，并且 适合综合运用函数的解析式、图象等知识进行分析. 因此，这些问题具有一定的实践性、综合性、探究性、趣味性，是检验和提高学习能力的较好素材.本节的教学应特别关注引导学生独立思考，分析实际问题中所包含的变量及其关系，并以函数形式表示它们，即建立函数模型.在独立思考的基础上，可以进行合作交流式的学习活动，深化对问题的认识.本节的教学形式应与一般例题教学有所区别，要更强调学生的主动性，使他们通过研究问题进一步感受建立数学模型的思想方法，切实提高实践意识与综合应用数学知识的能力. |
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