3.2.2 函数模型的应用实例

家有学子 2011-10-28

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§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）

一、教学目标：

1. 知识与技能能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

2．过程与方法感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数模型在数学和其他学科中的重要性.

3．情感、态度、价值观体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.

二、教学重点与难点：

1．教学重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.

2. 教学难点：将实际问题转变为数学模型.

三、学法与教学用具

1. 学法：学生自主阅读教材，采用尝试、讨论方式进行探究.

2. 教学用具：多媒体

四、教学设想

（一）创设情景，揭示课题

引例：大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”这四句的意思就是：有若干只有几只鸡和兔？你知道孙子是如何解答这个“鸡兔同笼”问题的吗？你有什么更好的方法？老师介绍孙子的大胆解法：他假设砍去每只鸡和兔一半的脚，则每只鸡和兔就变成了“独脚鸡”和“双脚兔”. 这样，“独脚鸡”和“双脚兔”脚的数量与它们头的数量之差，就是兔子数，即：47－35＝12；鸡数就是：35－12＝23.

比例激发学生学习兴趣，增强其求知欲望.

可引导学生运用方程的思想解答“鸡兔同笼”问题.

（二）结合实例，探求新知

例1. 某列火车众北京西站开往石家庄，全程277km，火车出发10min开出13km后，以120km/h匀速行驶. 试写出火车行驶的总路程S与匀速行驶的时间t之间的关系式，并求火车离开北京2h内行驶的路程.

探索：

1）本例所涉及的变量有哪些？它们的取值范围怎样；

2）所涉及的变量的关系如何？

3）写出本例的解答过程.

老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.

学生独立思考，完成解答，并相互讨论、交流、评析.

例2．某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店制定了两种优惠办法：

1）本例所涉及的变量之间的关系可用何种函数模型来描述？

2）本例涉及到几个函数模型？

3）如何理解“更省钱？”；

4）写出具体的解答过程.

在学生自主思考，相互讨论完成本例题解答之后，老师小结：通过以上两例，数学模型是用数学语言模拟现实的一种模型，它把实际问题中某些事物的主要特征和关系抽象出来，并用数学语言来表达，这一过程称为建模，是解应用题的关键。数学模型可采用各种形式，如方程（组），函数解析式，图形与网络等 .

课堂练习1 某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“总收入最高”的数学含义如何理解？

根据老师的引导启发，学生自主，建立恰当的函数模型，进行解答，然后交流、进行评析.

[略解：]

设客房日租金每间提高2元，则每天客房出租数为300－10，由＞0，且300－10＞0得：0＜＜30

设客房租金总上收入元，则有：

=（20+2）(300－10)

=－20(－10)2 ＋ 8000（0＜＜30）

由二次函数性质可知当=10时，=8000.

所以当每间客房日租金提高到20＋10×2=40元时，客户租金总收入最高，为每天8000元.

课堂练习2 要建一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，试求应当怎样设计，才能使水池总造价最低？并求此最低造价.

（三）归纳整理，发展思维.

引导学生共同小结，归纳一般的应用题的求解方法步骤：

1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为

函数模型问题：

2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；

4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观

性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.

（四）布置作业

作业：教材P120习题3.2（A组）第3 、4题：

§3.2.2 函数模型的应用实例（Ⅰ）

一、学习目标：

1. 初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.

2．体会运用函数思想处理现实生活中和社会中的一些简单问题的实用价值.

二、学习重点与难点：

1．重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.

2. 难点：将实际问题转变为数学模型.

三、教学设想

（一）问题衔接

1.一次函数的解析式为__________________ , 其图像是一条____线，当________时，一次函数在上为增函数，当_______时，一次函数在上为减函数

2.二次函数的解析式为_______________, 其图像是一条________线，当______时，函数有最小值为___________，当______时，函数有最大值为____________。

（二）结合实例，探求新知

例1 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：()

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；

（2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s km与时间t h的函数解析式，并作出相应的图象

探索：

本例所涉及的数学模型是确定的，需要利用问题中的数据及其蕴含的关系建立数学模型，此例分段函数模型刻画实际问题.

教师要引导学生从条块图象的独立性思考问题，把握函数模型的特征.

注意培养学生的读图能力，让学生懂得图象是函数对应关系的一种重要表现形式老师提示：路程S和自变量t的取值范围（即函数的定义域），注意t的实际意义.

例2一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？

引导学生探索过程如下：

1）本例涉及到哪些数量关系？

2）应如何选取变量，其取值范围又如何？

3）应当选取何种函数模型来描述变量的关系？

4）“所获得的利润最大”的数学含义如何理解？

例3 某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的

进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示：

销售单价（元）	6	7	8	9	10	11	12
日均销售量（桶）	480	440	400	360	320	280	240

请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？

（三）归纳整理，发展思维.网

归纳一般的应用题的求解方法步骤：

1）合理迭取变量，建立实际问题中的变量之间的函数关系，从而将实际问题转化为

函数模型问题：

2）运用所学知识研究函数问题得到函数问题的解答；

3）将函数问题的解翻译或解释成实际问题的解；

4）在将实际问题向数学问题的转化过程中，能画图的要画图，可借助于图形的直观

性，研究两变量间的联系. 抽象出数学模型时，注意实际问题对变量范围的限制.

（四）布置作业

作业：教材P107习题3.2（A组）第3 、4题：

1．某商店某种商品进货价为每件40元，当售价为50元时，一个月能卖出500件．通过市场调查发现，若每件商品的单价每提高1元，则该商品一个月的销售量会减少10件．商店为使销售商品的月利润最高，应将该商品每件定价为(　　)

A．70元 B．65元

C．60元 D．55元

【解析】　设该商品每件单价提高x元，销售该商品的月利润为y元，则

y＝(10＋x)(500－10x)

＝－10x2＋400x＋5 000

＝－10(x－20)2＋9 000

∴当x＝20时，ymax＝9 000，

此时每件定价为50＋20＝70元，故选A.

【答案】　A

2．今有一组实验数据如表所示：

t	1.99	3.0	4.0	5.1	6.12
u	1.5	4.04	7.5	12	18.01

则最佳体现这些数据关系的函数模型是(　　)

A．u＝log2t B．u＝2t－2

C．u＝2(t2－1) D．u＝2t－2

【解析】　图象不符合直线的特征，排除D；图象不符合对数函数的特征，排除A；当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，2(t2－1)＝2(32－1)＝4，由表格知当t＝3时，u＝4.04.模型u＝2(t2－1)能较好体现这些数据．故选C.

【答案】　C

3．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：

若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．

【解析】　高峰时段电费a＝50×0.568＋(200－50)×0.598＝118.1(元)．

低谷时段电费b＝50×0.288＋(100－50)×0.318＝30.3(元)．

故该家庭本月应付的电费为a＋b＝148.4(元)．

【答案】　148.4元

4．商场销售某一品牌的豆浆机，购买人数是豆浆机标价的一次函数，标价越高，购买人数越少，把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每台300元．现在这种豆浆机的成本价是100元/台，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售．问：

(1)商场要获取最大利润，豆浆机的标价应定为每台多少元？

(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么豆浆机的标价应为每台多少元？

【解析】　设购买人数为z，标价为x，则z是x的一次函数，有z＝ax＋b(a<0)．又当x＝300时，z＝0，∴0＝300a＋b，∴b＝－300a，∴有z＝ax－300a.

(1)设商场要获得最大利润，豆浆机的标价为每台x元，此时，所获利润为y.

则y＝(x－100)(ax－300a)

＝a(x2－400x＋30 000)(100<x<300)．

又∵a<0，∴当x＝200时，y最大．

所以，标价为每台200元时，所获利润最大．

(2)当x＝200时，ymax＝－10 000a，

令y＝－10 000a×75%，

即a(x2－400x＋30 000)＝－10 000a×75%，

解得x＝150，或x＝250.

所以定价为每台150元或250元时，所获利润为最大利润的75%.

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(　　)

A．200副 B．400副

C．600副 D．800副

【解析】　由5x＋4 000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D.

【答案】　D

2．向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是(　　)

【解析】　图反映随着水深h的增加，注水量V增长速度越来越慢，这反映水瓶中水上升的液面越来越小，故选B.

【答案】　B

3．已知A、B两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，在B地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A地，把汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数，表达式是(　　)

A．x＝60t

B．x＝60t＋50t

C．x＝2.5<t≤3.5()

D．x＝t>3.5(0≤t≤2.5)

【解析】　应分三段建立函数关系，当0≤t≤2.5时，x＝60t；当2.5<t≤3.5时，离开A地的距离不变是150；当3.5<t≤6.5时，x＝150－50(t－3.5)．故选C.

【答案】　C

4．某林区的森林蓄积量每一年比上一年平均增长10.4%，那么经过x年可增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

【解析】　设原来的蓄积量为a，则a(1+10.4%)x=a·y，

∴y=1.104x，故选D.

【答案】　D

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．将进价为8元的商品，按10元一个销售，每天可卖出100个，若这种商品的销售价每个上涨1元，日销售量就减少10个，为了获得最大利润，此商品的销售价应为每个________元．

【解析】　设每个上涨了x元，利润为y元，则y＝(10＋x－8)(100－10x)＝－10x2＋80x＋200＝－10(x－4)2＋360，当x＝4时，y有最大值360，

即每个售价为10＋4＝14(元)．

【答案】　14

6．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比．药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝16(1)t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为　　　　；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过　　　　　小时后，学生才能回到教室．

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．为了保护环境，实现城市绿化，某房地产公司要在拆迁地如图所示长方形ABCD上规划出一块长方形地面建住宅小区公园(公园的一边落在CD上)，但不超过文物保护区△AEF的红线EF.问如何设计才能使公园占地面积最大？并求出最大面积(已知AB＝CD＝200 m，BC＝AD＝160 m，AE＝60 m，AF＝40 m)．