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作者：Sky_天空的梦 作为一个曾经数学竞赛的专业追求者，数学竞赛已经告一段落了，我也因为数学竞赛顺利上了北大。在此，我想总结总结，为以后可能参加数学竞赛的人做一些贡献。 觉得好大家就回帖或者顶一下吧。 一、什么是数学竞赛？为什么要进行数学竞赛？ 这个问题我说了可不算，大家可自行百度百科： 下面只是一些数学竞赛书籍的前言部分，列出来供大家参考。 “关于数学竞赛在数学教育中的地位和作用，国际上是有争论的。1992年8月，在加拿大魁北克市举行的第七届国际数学教育会议上，就有一场特意设计的辩论会，题目就是数学竞赛。会上，攻之者说‘数学竞赛只为少数天才服务，题目怪偏，不反映数学的应用功能，在社会公众中带来不好影响。’辩之者称‘数学竞赛是培养学生数学兴趣的重要途径，竞赛题思考性强，有助于创造性能力的培养，天才学生的选拔，对整个国家的人才开发有利，等等。’辩论没有统一的结论，但是多数人都赞成数学竞赛，问题是要组织的好，尽量使多数人收益，数学题目有很多档次，应该在不同水平上组织竞赛，吸收更多的人参加。”（《高中竞赛数学教程》） “数学奥林匹克是起步最早、规模最大、类型多种、层次较多的一项学科竞赛活动。多年来的实践表明：这项活动可以激发青少年学习数学的兴趣，焕发青少年的学习热情，吸引他们去读一些数学小册子，促使他们寻找机会去听一些名师的讲座；这项活动可以使参与者眼界大开，跳出一个班、一个学校或一个地区的小圈子，去与其他高手互相琢磨，激励并培养他们喜爱有挑战性数学问题的素养和精神；这项活动可以使参与者求知欲望大增，使得他们的阅读能力、理解能力、交流能力、表达能力等诸多能力与日俱进。这是一种有深刻内涵的文化现象，因此，越来越多的国家或地区除组织本国或本地区的各级数学奥林匹克外，还积极参与到国际数学奥林匹克中。”（《奥赛经典》） 等等，不一枚举。 二、高中数学竞赛有哪些知识点？ 这个你可以参见官方给的大纲，也可以看看如下我们总结的东西。这东西为我们班几个同学一起总结的，肯定不全，也在一些方面有点偏，欢迎大家提出宝贵意见。 仅供参考，有兴趣参加竞赛的各位可以对照看看还有哪些需要巩固加强的知识点。 【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点（共17大点，101小点，244小小点）】 -------------By @Sky_天空的梦 1. **（set） 1.1**的阶，**之间的关系。 1.2**的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 2. 函数（function） 2.1函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1单调性 2.2.2奇偶性 2.2.3周期性 2.2.4凹凸性 2.2.5连续性 2.2.6可导性 2.2.7有界性 2.2.8收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometric function） 3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector） 4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法，迭代法 5.1.4数学归纳法，递归法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法 6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法 6.3.8其他 7.解析几何（analytic geometry） 7.1直线与二次曲线方程 7.2直线与二次曲线性质 7.3参数方程 7.4极坐标系 8．立体几何（solid geometry） 8.1空间中元素位置关系 8.2空间中距离和角的计算 8.3棱柱，棱锥，四面体性质 8.4体积，表面积 8.5球，球面 8.6三面角 8.7空间向量 9.排列，组合，概率（permutations, combinatorics, probability） 9.1排列组合的基本公式 9.1.1加法、乘法原理 9.1.2无重复的排列组合 9.1.3可重复的排列组合 9.1.4圆排列、项链排列 9.1.5一类不定方程非负整数解的个数 9.1.6错位排列数 9.1.7 Fibonacci数 9.1.8 Catalan数 9.2计数方法 9.2.1映射法 9.2.2容斥原理 9.2.3递推法 9.2.4折线法 9.2.5算两次法 9.2.6母函数法 9.3证明组合恒等式的方法 9.3.1 Abel法 9.3.2算子方法 9.3.3组合模型法 9.3.4归纳与递推方法 9.3.5母函数法 9.3.6组合互逆公式 9.4二项式定理 9.5概率 9.5.1独立事件概率 9.5.2互逆事件概率 9.5.3条件概率 9.5.4全概率公式，贝叶斯公式 9.5.5现代概率，几何概率 9.6数学期望 10.极限，导数（limits, derivatives） 10.1极限定义，求法 10.2导数定义，求法 10.3导数的应用 10.3.1判断单调性 10.3.2求最值 10.3.3判断凹凸性 10.4洛比达法则 10.5偏导数 11.复数（complex numbers） 11.1复数概念及基本运算 11.2复数的几个形式 11.2.1复数的代数形式 11.2.2复数的三角形式 11.2.3复数的指数形式 11.2.4复数的几何形式 11.3复数的几何意义，复平面 11.4复数与三角，复数与方程 11.5单位根及应用 12.平面几何（plane geometry） 12.1几个重要的平面几何定理 12.1.1梅勒劳斯定理 12.1.2塞瓦定理 12.1.3托勒密定理 12.1.4西姆松定理 12.1.5斯特瓦尔特定理 12.1.6张角定理 12.1.7欧拉定理 12.1.8九点圆定理 12.2圆幂，根轴 12.3三角形的巧合点 12.3.1内心 12.3.2外心 12.3.3重心 12.3.4垂心 12.3.5旁心 12.3.6费马点 12.4调和点列 12.5圆内接调和四边形 12.6几何变换 12.6.1平移变换 12.6.2旋转变换 12.6.3位似变换 12.6.4对称变换（反射变换） 12.6.5反演变换 12.6.6配极变换 12.7几何不等式 12.8平面几何常用方法 12.8.1纯几何方法 12.8.2三角法 12.8.3解析法 12.8.4复数法 12.8.5向量法 12.8.6面积法 13.多项式（polynomials） 13.1多项式恒等定理 13.2多项式的根及应用 13.2.1韦达定理 13.2.2虚根成对原理 13.3多项式的整除，互质 13.4拉格朗日插值多项式 13.5差分多项式 13.6牛顿公式 13.7单位根 13.8不可约多项式，最简多项式 14.数学归纳法（mathematical induction） 14.1第一数学归纳法 14.2第二数学归纳法 14.3螺旋归纳法 14.4跳跃归纳法 14.5反向归纳法 14.6最小数原理 7. 初等数论（elementary number theory） 15.1整数，整除 15.2同余 15.3素数，合数 15.4算术基本定理 15.5费马小定理，欧拉定理 15.6拉格朗日定理，威尔逊定理 15.7裴蜀定理 15.8平方数 15.9中国剩余定理 15.10高斯函数 15.11指数，阶，原根 15.12二次剩余理论 15.12.1二次剩余定理及性质 15.12.2 Legendre符号 15.12.3 Gauss二次互反律 15.13不定方程 15.13.1不定方程解法 15.13.1.1同余法 15.13.1.2构造法 15.13.1.3无穷递降法 15.13.1.4反证法 15.13.1.5不等式估计法 15.13.1.6配方法，因式分解法 15.13.2重要不定方程 15.13.2.1一次不定方程（组） 15.13.2.2勾股方程 15.13.2.3 Pell方程 15.14 p进制进位制，p进制表示 16.组合问题（combinatorics） 16.1组合计数问题（参见9.1,9.2） 16.2组合恒等式，不等式（参见9.3） 16.3存在性问题 16.4组合极值问题 16.5操作变换，对策问题 16.6组合几何 16.6.1凸包 16.6.2覆盖 16.6.3分割 16.6.4整点 16.7图论 16.7.1图的定义，性质 16.7.2简单图，连通图 16.7.3完全图，树 16.7.4二部图，k部图 16.7.5托兰定理 16.7.6染色与拉姆塞问题 16.7.7欧拉与哈密顿问题 16.7.8有向图，竞赛图 16.8组合方法 16.8.1映射法，对应法，枚举法 16.8.2算两次法 16.8.3递推法 16.8.4抽屉原理 16.8.5极端原理 16.8.6容斥原理 16.8.7平均值原理 16.8.8介值原理 16.8.9母函数法 16.8.10染色方法 16.8.11赋值法 16.8.12不变量法 16.8.13反证法 16.8.14构造法 16.8.15数学归纳法 16.8.16调整法 16.8.17最小数原理 16.8.18组合计数法 17.其他（others） （了解即可，不作要求） 17.1微积分，泰勒展开 17.2矩阵，行列式 17.3空间解析几何 17.4连分数 17.5级数，p级数，调和级数，幂级数 17.6其他 七、怎样学习数学竞赛？ 这个我不好说，因为方法因人而异。 我只说一些关键的个人经验，一定不全，关键是要靠大家自觉把握。 1. 要每天做题。 2. 要沉下心来静心钻研每道题。 3. 拒绝计算器。 4. 遇到不会题留着，如果很长时间都没有弄明白，可以放弃。 5. 要有信心。 6. 好题本，错题本等等极有必要。 7. 及时反思总结。 等等 八、有什么竞赛书籍么？ 我用的数学竞赛书籍，也是老师推荐的，主要是这么几个，大家有兴趣可以买一卖，看一看。 《奥赛经典》（几何，代数，组合，数论问题） 沈文选等 编 湖南师范大学出版社 《高中竞赛数学教程》 刘诗雄，熊斌 编 武汉大学出版社 《数学奥林匹克小丛书》（共计16本） 华东师范大学出版社 《初等数论》 潘承洞，潘承彪 编 北京大学出版社 《数学奥林匹克命题人讲座》 单壿 主编 上海科技教育出版社 等等等等 我希望各位可以把数学竞赛作为乐趣，潜心钻研，将来为我国的发展做出贡献！！ 【完】 转载请记得注明@Sky_天空的梦 ，请珍惜他人的劳动成果。 注：本文来自数学竞赛吧 |
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