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一个数学竞赛者的总结,以及高中数学竞赛所需的知识点。

2014-07-04  紫曦唯幂1

                                                       作者:Sky_天空的梦

作为一个曾经数学竞赛的专业追求者,数学竞赛已经告一段落了,我也因为数学竞赛顺利上了北大。在此,我想总结总结,为以后可能参加数学竞赛的人做一些贡献。 
   
 觉得好大家就回帖或者顶一下吧。 

一、什么是数学竞赛?为什么要进行数学竞赛? 
这个问题我说了可不算,大家可自行百度百科: 
下面只是一些数学竞赛书籍的前言部分,列出来供大家参考。 

“关于数学竞赛在数学教育中的地位和作用,国际上是有争论的。19928月,在加拿大魁北克市举行的第七届国际数学教育会议上,就有一场特意设计的辩论会,题目就是数学竞赛。会上,攻之者说‘数学竞赛只为少数天才服务,题目怪偏,不反映数学的应用功能,在社会公众中带来不好影响。’辩之者称‘数学竞赛是培养学生数学兴趣的重要途径,竞赛题思考性强,有助于创造性能力的培养,天才学生的选拔,对整个国家的人才开发有利,等等。’辩论没有统一的结论,但是多数人都赞成数学竞赛,问题是要组织的好,尽量使多数人收益,数学题目有很多档次,应该在不同水平上组织竞赛,吸收更多的人参加。”(《高中竞赛数学教程》) 
   
 “数学奥林匹克是起步最早、规模最大、类型多种、层次较多的一项学科竞赛活动。多年来的实践表明:这项活动可以激发青少年学习数学的兴趣,焕发青少年的学习热情,吸引他们去读一些数学小册子,促使他们寻找机会去听一些名师的讲座;这项活动可以使参与者眼界大开,跳出一个班、一个学校或一个地区的小圈子,去与其他高手互相琢磨,激励并培养他们喜爱有挑战性数学问题的素养和精神;这项活动可以使参与者求知欲望大增,使得他们的阅读能力、理解能力、交流能力、表达能力等诸多能力与日俱进。这是一种有深刻内涵的文化现象,因此,越来越多的国家或地区除组织本国或本地区的各级数学奥林匹克外,还积极参与到国际数学奥林匹克中。”(《奥赛经典》) 等等,不一枚举。

二、高中数学竞赛有哪些知识点? 
这个你可以参见官方给的大纲,也可以看看如下我们总结的东西。这东西为我们班几个同学一起总结的,肯定不全,也在一些方面有点偏,欢迎大家提出宝贵意见。 

仅供参考,有兴趣参加竞赛的各位可以对照看看还有哪些需要巩固加强的知识点。

【高中数学竞赛应该掌握的内容和知识点(共17大点,101小点,244小小点)】 
-------------By @Sky_天空的梦 

1. **
set 
1.1**
的阶,**之间的关系。 
1.2**
的分划 
1.3
子集,子集族 
1.4
容斥原理 

2.
 函数(function 
2.1
函数的定义域、值域 
2.2
函数的性质 
2.2.1
单调性 
2.2.2
奇偶性 
2.2.3
周期性 
2.2.4
凹凸性 
2.2.5
连续性 
2.2.6
可导性 
2.2.7
有界性 
2.2.8
收敛性 
2.3
初等函数 
2.3.1
一次、二次、三次函数 
2.3.2
幂函数 
2.3.3
双勾函数 
2.3.4
指数、对数函数 
2.4
函数的迭代 
2.5
函数方程 

3.
 三角函数(trigonometric function 
3.1
三角函数图像与性质 
3.2
三角函数运算 
3.3
三角恒等式、不等式、最值 
3.4
正弦、余弦定理 
3.5
反三角函数 
3.6
三角方程 

4.
 向量(vector 
4.1
向量的运算 
4.2
向量的坐标表示,数量积 

5.
 数列(sequence 
5.1
数列通项公式求解 
5.1.1
换元法 
5.1.2
特征根法 
5.1.3
不动点法,迭代法 
5.1.4
数学归纳法,递归法 

6.不等式(inequality 
6.1
解不等式 
6.2
重要不等式 
6.2.1
均值不等式 
6.2.2
柯西不等式 
6.2.3
排序不等式 
6.2.4
契比雪夫不等式 
6.2.5
赫尔德不等式 
6.2.6
权方和不等式 
6.2.7
幂平均不等式 
6.2.8
琴生不等式 
6.2.9 Schur
不等式 
6.2.10
嵌入不等式 
6.2.11
卡尔松不等式 
6.3
证明不等式的常用方法 
6.3.1
利用重要不等式 
6.3.2
调整法 
6.3.3
归纳法 
6.3.4
切线法 
6.3.5
展开法 
6.3.6
局部法 
6.3.7
反证法 
6.3.8
其他 

7.
解析几何(analytic geometry 
7.1
直线与二次曲线方程 
7.2
直线与二次曲线性质 
7.3
参数方程 
7.4
极坐标系 

8
.立体几何(solid geometry 
8.1
空间中元素位置关系 
8.2
空间中距离和角的计算 
8.3
棱柱,棱锥,四面体性质 
8.4
体积,表面积 
8.5
球,球面 
8.6
三面角 
8.7
空间向量 

9.
排列,组合,概率(permutations, combinatorics, probability 
9.1
排列组合的基本公式 
9.1.1
加法、乘法原理 
9.1.2
无重复的排列组合 
9.1.3
可重复的排列组合 
9.1.4
圆排列、项链排列 
9.1.5
一类不定方程非负整数解的个数 
9.1.6
错位排列数 
9.1.7 Fibonacci
 
9.1.8 Catalan
 
9.2
计数方法 
9.2.1
映射法 
9.2.2
容斥原理 
9.2.3
递推法 
9.2.4
折线法 
9.2.5
算两次法 
9.2.6
母函数法 
9.3
证明组合恒等式的方法 
9.3.1 Abel
 
9.3.2
算子方法 
9.3.3
组合模型法 
9.3.4
归纳与递推方法 
9.3.5
母函数法 
9.3.6
组合互逆公式 
9.4
二项式定理 
9.5
概率 
9.5.1
独立事件概率 
9.5.2
互逆事件概率 
9.5.3
条件概率 
9.5.4
全概率公式,贝叶斯公式 
9.5.5
现代概率,几何概率 
9.6
数学期望

10.极限,导数(limits, derivatives 
10.1
极限定义,求法 
10.2
导数定义,求法 
10.3
导数的应用 
10.3.1
判断单调性 
10.3.2
求最值 
10.3.3
判断凹凸性 
10.4
洛比达法则 
10.5
偏导数 

11.
复数(complex numbers 
11.1
复数概念及基本运算 
11.2
复数的几个形式 
11.2.1
复数的代数形式 
11.2.2
复数的三角形式 
11.2.3
复数的指数形式 
11.2.4
复数的几何形式 
11.3
复数的几何意义,复平面 
11.4
复数与三角,复数与方程 
11.5
单位根及应用 

12.
平面几何(plane geometry 
12.1
几个重要的平面几何定理 
12.1.1
梅勒劳斯定理 
12.1.2
塞瓦定理 
12.1.3
托勒密定理 
12.1.4
西姆松定理 
12.1.5
斯特瓦尔特定理 
12.1.6
张角定理 
12.1.7
欧拉定理 
12.1.8
九点圆定理 
12.2
圆幂,根轴 
12.3
三角形的巧合点 
12.3.1
内心 
12.3.2
外心 
12.3.3
重心 
12.3.4
垂心 
12.3.5
旁心 
12.3.6
费马点 
12.4
调和点列 
12.5
圆内接调和四边形 
12.6
几何变换 
12.6.1
平移变换 
12.6.2
旋转变换 
12.6.3
位似变换 
12.6.4
对称变换(反射变换) 
12.6.5
反演变换 
12.6.6
配极变换 
12.7
几何不等式 
12.8
平面几何常用方法 
12.8.1
纯几何方法 
12.8.2
三角法 
12.8.3
解析法 
12.8.4
复数法 
12.8.5
向量法 
12.8.6
面积法 

13.
多项式(polynomials 
13.1
多项式恒等定理 
13.2
多项式的根及应用 
13.2.1
韦达定理 
13.2.2
虚根成对原理 
13.3
多项式的整除,互质 
13.4
拉格朗日插值多项式 
13.5
差分多项式 
13.6
牛顿公式 
13.7
单位根 
13.8
不可约多项式,最简多项式

14.数学归纳法(mathematical induction 
14.1
第一数学归纳法 
14.2
第二数学归纳法 
14.3
螺旋归纳法 
14.4
跳跃归纳法 
14.5
反向归纳法 
14.6
最小数原理 

7.
 初等数论(elementary number theory 
15.1
整数,整除 
15.2
同余 
15.3
素数,合数 
15.4
算术基本定理 
15.5
费马小定理,欧拉定理 
15.6
拉格朗日定理,威尔逊定理 
15.7
裴蜀定理 
15.8
平方数 
15.9
中国剩余定理 
15.10
高斯函数 
15.11
指数,阶,原根 
15.12
二次剩余理论 
15.12.1
二次剩余定理及性质 
15.12.2 Legendre
符号 
15.12.3 Gauss
二次互反律 
15.13
不定方程 
15.13.1
不定方程解法 
15.13.1.1
同余法 
15.13.1.2
构造法 
15.13.1.3
无穷递降法 
15.13.1.4
反证法 
15.13.1.5
不等式估计法 
15.13.1.6
配方法,因式分解法 
15.13.2
重要不定方程 
15.13.2.1
一次不定方程(组) 
15.13.2.2
勾股方程 
15.13.2.3 Pell
方程 
15.14 p
进制进位制,p进制表示

16.组合问题(combinatorics 
16.1
组合计数问题(参见9.1,9.2 
16.2
组合恒等式,不等式(参见9.3 
16.3
存在性问题 
16.4
组合极值问题 
16.5
操作变换,对策问题 
16.6
组合几何 
16.6.1
凸包 
16.6.2
覆盖 
16.6.3
分割 
16.6.4
整点 
16.7
图论 
16.7.1
图的定义,性质 
16.7.2
简单图,连通图 
16.7.3
完全图,树 
16.7.4
二部图,k部图 
16.7.5
托兰定理 
16.7.6
染色与拉姆塞问题 
16.7.7
欧拉与哈密顿问题 
16.7.8
有向图,竞赛图 
16.8
组合方法 
16.8.1
映射法,对应法,枚举法 
16.8.2
算两次法 
16.8.3
递推法 
16.8.4
抽屉原理 
16.8.5
极端原理 
16.8.6
容斥原理 
16.8.7
平均值原理 
16.8.8
介值原理 
16.8.9
母函数法 
16.8.10
染色方法 
16.8.11
赋值法 
16.8.12
不变量法 
16.8.13
反证法 
16.8.14
构造法 
16.8.15
数学归纳法 
16.8.16
调整法 
16.8.17
最小数原理 
16.8.18
组合计数法 

17.
其他(others (了解即可,不作要求) 
17.1
微积分,泰勒展开 
17.2
矩阵,行列式 
17.3
空间解析几何 
17.4
连分数 
17.5
级数,p级数,调和级数,幂级数 
17.6
其他

    七、怎样学习数学竞赛? 

    这个我不好说,因为方法因人而异。 

    我只说一些关键的个人经验,一定不全,关键是要靠大家自觉把握。 

1.
 要每天做题。 
2.
 要沉下心来静心钻研每道题。 
3.
 拒绝计算器。 
4.
 遇到不会题留着,如果很长时间都没有弄明白,可以放弃。 
5.
 要有信心。 
6.
 好题本,错题本等等极有必要。 
7.
 及时反思总结。 
等等 


    八、有什么竞赛书籍么? 

    我用的数学竞赛书籍,也是老师推荐的,主要是这么几个,大家有兴趣可以买一卖,看一看。 

《奥赛经典》(几何,代数,组合,数论问题) 沈文选等  湖南师范大学出版社 
《高中竞赛数学教程》 刘诗雄,熊斌  武汉大学出版社 
《数学奥林匹克小丛书》(共计16本) 华东师范大学出版社 
《初等数论》 潘承洞,潘承彪  北京大学出版社 
《数学奥林匹克命题人讲座》 单壿 主编 上海科技教育出版社 
等等等等 


   
 我希望各位可以把数学竞赛作为乐趣,潜心钻研,将来为我国的发展做出贡献!! 

   
 【完】 

   
 转载请记得注明@Sky_天空的梦 ,请珍惜他人的劳动成果。

 

    注:本文来自数学竞赛吧

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