由一个等差数列问题的变题引发的探讨

由一个等差数列问题的变题引发的探讨

　               倪红林(江苏省启东市汇龙中学高中部  226200)

某次复习课讲到这样一个问题：

问题   已知数列{a_n}的首项a₁=２，前n项和为S_n，且满足２a_n= S_nS_n—1（n≥2）n N^*。求证：数列 成等差数列

证明：因为当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1，又２a_n= S_nS_n—1（n≥2）n N^*

所以２(S_n－S_n－1)=S_nS_n－1,故 ，即 （n≥2， n N^*）

故 成等差数列，首项为 ，公差为－ 。

到此为止，问题已经基本解决，考察其变题：

变题1：求上述问题中数列{a_n}的通项。

解：由上述证明知 ，所以S_n ＝ （此时大家没有在意），从而a_n＝  ＝

这里强调a_n与S_n的关系，注意当n＝１时不适合，必须写成分段的形式。但此时部分学生发现问题了，学生提出“a_n的分母怎么为零呢”？当n＝２时a_n的分母为零了，再一看，此时S_n的分母也为零了。

题目是有问题了，此时我并没有继续讲解下一例，而是和学生一起探讨原因。

（提问）是解答错误吗？原因是在等式的两边同除以S_nS_n－1使得分母为零了吗？

不是，补充理由：若存在S_n=0，则由２(S_n－S_n－1)=S_nS_n－1得S_n－１=0，类似可得a₁=S₁=0与a₁=２矛盾，因而S_n≠0，所以解答没有问题。

（提问）还会是什么原因呢？

我们从求a_n开始查找，当n＝１时，a₁=２；当n＝２时，得２a_２= S_２S₁　所以２a_２=(a₁＋a_２)a₁=4＋２a_２，故０=４，矛盾。

这时清楚了，原来题目条件２a_n= S_n S_n—1在a₁=２的条件下对n N^*不恒成立，所以出现矛盾。

（提问）那么，怎样修改条件２a_n= S_nS_n—1才能消除矛盾呢？

变题2：将问题中条件２a_n= S_nS_n—1改为a_n=２S_nS_n—1，

证明（略）

继续提问：若变题1中条件２a_n= S_nS_n—1不变，只改变a₁=２呢？如a₁=１，题目正确吗？

解：当n＝１时，a₁=１；当n＝２时，２a_２= S_２S₁　得a_２=１；

当n=３时，２a_３=S_３S_２　得２a_３=（1+1+a_３）（1+1），故０=４，矛盾。这说明将a₁=２改为a₁=１仍不成立。

（提问）将a₁=２改为a₁=3呢？

变题3：将变题1中条件a₁=２改为a₁=3

仿上求a_n都成立

解：（1）当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1，又２a_n= S_nS_n—1（n≥2，n N^*） ，故２(S_n－S_n－1)=S_nS_n－1。

若存在S_n=0，则S_n－１=0，类似可得a₁=S₁=0与a₁=3矛盾，所以S_n≠0，从而 （n≥2，n N^*），故 成等差数列，首项为 ，公差为－ 。

（2）由（1）知 ，所以

当n≥2时，a_n= S_nS_n－1= ，又当n=1时，a₁=3

所以  

（提问）那么a₁到底取什么值才正确呢？

变题4   已知数列{a_n}的首项为a₁，前n项和为S_n，且满足２a_n= S_nS_n—1（n≥2，n N^*），求使数列 成等差数列的a₁的取值范围。

解：当n≥2时，a_n=S_n－S_n－1，又２a_n= S_nS_n—1（n≥2，n N^*）

所以２(S_n－S_n－1)=S_nS_n－1

因为 成等差数列，所以S_n≠0，故 （n≥2，n N^*）

从而 ，即 ，所以S_n = 。

由S_n≠0，得 所以a₁≠0，且a₁≠ （n≥2且n N^*）

因此，a₁的取值范围为{ a₁|a₁≠0且a₁≠ ，n≥2且n N^*}

由此可见，当a₁=2时，题目不成立；当a₁=3时；题目成立。

为了巩固课堂教学，课后作业补充思考题：已知f(x)=x|x-4|+2x-3，数列{a_n}满足a _n+1= （n N^*），试探求a₁的值，使{a_n}成等差数列。

遇到错题是数学教学中的一个常见现象，如果只知道错了而不知道错在哪儿和为什么错，势必对学生顺利完成整个学业过程带来干扰，影响学习能力提高，在教学过程中，教师要敢于承担错误，把错误当作宝贵的教学资源，引导学生对错题进行反思变换，减少解题失误，提高学生学习的信心和兴致。教学上的着力点应放在导上，通过启发引导，培养学生发现问题，归纳问题的能力，让学生体现成功的喜悦，提高教学效率。

 

 

倪红林，《中学数学月刊》2010年01期P38-39