二次函数在闭区间上的最值及其应用

二次函数在闭区间上的最值及其应用

江苏省启东市汇龙中学  倪红林226200

 二次函数是中学数学中的重要函数，它的性质及其应用是高考的重点考查内容，虽然初中阶段学生对整个抛物线掌握得都很好，但在闭区间上二次函数的最值是学习的难点，学生由于习惯思维，在高一阶段很难理解。本文拟就二次函数的最值几个常见类型作一个小结，以供学生参考。

类型一：定区间，定解析式

例1、（苏教版必修一 例4）求函数 的最值

解：因为

仅当 时， ，所以函数最小值为

即 ，无最大值。

 

例2、求函数 在 上的最大值和最小值

解：因为

    又

所以 ，

变式：求函数 的在下列情况下的值域

（1）   （2）   （3）   （4）   （5）

点评：先配方，结合函数图象和单调性，二次函数最值容易求出.

 

类型二：定区间，动抛物线

例3、求函数 在区间 上的最小值

解：因为    

（1）当 时， 在 上单调递增

     所以 ，

（2）当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增

     所以

①当 时，

②当 时，

（3）当 时， 在 上单调递减

     所以 ，

   综上所述： ，

            

点评：（1）当二次函数开口方向、给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间位置关系。结合图象需分两种或三种情况讨论。

（2）一般地 ,对称轴 ；

①当 时，

，

②当 时，

，

例4：求 的最值

解： 二次函数开口方向不确定，对称轴和给定的区间确定，对称轴方程为x= ,

当 时,

当 时,

点评：当二次函数对称轴位置、给定区间固定，开口方向不确定时，只要讨论开口方向向上和向下两种情况。

 

例5：求二次函数  在区间 的最大值。

解：（1）当a>0时，    ，对称轴x=

①当 ，即 时，

②当 ，即 时，  

    2当a<0时，   ，  对称轴x=

①当 矛盾，不成立。

②当 时，

③当 时

点评：当二次函数给定区间固定，开口方向和对称轴位置不确定时，需分两种情况讨论，当a>0时，根据对称轴和区间的位置关系，结合图象需分两种情况讨论，当a<0时，需分三种情况讨论。

 

类型三：定抛物线，动区间

例6. 当 时，求函数 的最小值(其中 为常数)．

解：函数 的对称轴为 ．画出其草图．

(1) 当对称轴在所给范围左侧．即 时： 当 时， ；

(2) 当对称轴在所给范围之间．即 时：

    当 时， ；

(3) 当对称轴在所给范围右侧．即 时：

    当 时， ．

 

 

 

 

 

综上所述：

 

类型四：综合应用

例7．函数 在区间 上的最大值为2，求实数 的值.

解： ，

（1）当 时

    在 上递减，所以

    令 得 ，所以

（2）当 时，

令 得 （舍去）

（3）当 时，

在 上递增，所以

令 得 ，所以

综上所述： 或

 

例8．函数 在区间 上的最大值是4，求实数 的值.

解： ，对称轴

（1）当 时， 与 矛盾

     所以 不成立

（2）当 时，

令 得 ，所以

（3）当 时，

令 得 ，所以

综上所述： 或

 

例9.已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，

求实数 的值

解： ，对称轴

在区间 上递增.

 

，

又 ,

                 （<高中数学教与学>2011年5月朱玮）