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史记‘历术甲子篇’的研究
历术甲子篇①
①《索隐》说：“以十一月朔旦冬至得甲子，甲子是阳气支干之首，故以甲子命历术为篇首，非谓此年岁在甲子也。
古有六历之说，《汉书律历书》“黄帝造历，元起辛卯，而颛顼用乙卯，……殷用甲寅，……汉兴承秦，初用乙卯，至武帝元封，元用丁丑”。而祖冲之说：“古之六术，并用四分。四分之法，久则后天，以食验之，经三百年辄差一日”。经考证，真正见于史书的只有“殷历”甲寅元和“颛顼”乙卯元，而乙卯元亦完全是“殷历”甲寅元的摹仿之作。此“历术甲子篇”就是“殷历甲寅元”的范例。
古人制历，讲究历元首日，要求以“夜半朔旦冬至”为起始点。结合近代天文学知识，逆推战国时期合朔与冬至同在夜半的年代，并与历书朔旦冬至干支纪时相符，得出的结果是公元前427年合朔冬至同在己酉日夜半0时。从而认定公元前427甲寅年是殷历的近历元，也是殷历甲寅元创制之年（周考王14年）。按四分历章蔀纪元编制，一纪20蔀共1520年，公元前427年是16己酉蔀的首年，其上元应在（76×15
+ 427）1567年。
（1）太初元年，岁名“焉逢摄提格”，月名“毕聚”，日得甲子，夜半朔旦冬至。
正北①
十二②
无大余③，无小余④；
无大余⑤，无小余⑥；
焉逢摄提格太初元年⑦（甲寅）。
①正北：这是冬至所在辰次的方位。元年冬至在夜半子时，子的方位是正北。
②十二：这是一年的月数，无闰月为十二个月，有闰月则为十三个月。
③无大余：这“前大余”是计算月朔甲子日名的参数，《索隐》称为月朔大小余。已知本年初的月朔干支号，将本年的总天数减去所含的甲子周数（甲子一周为60日，含几甲子就减去几个60日），剩余的不足一甲子的部分，整日数称为大余。从本年初的月朔干支，数到大余数目之外的第一个干支名，就是下年初的月朔干支日名（例见下年月朔大余注）。
④无小余：这“前小余”是月朔甲子余数中不足一整日的部分，四分历测得每月29.499/940日，每年十二个月整日数之外还有小数，小数中的分子部分就是小余。同样由于历法是从十一月冬至起算，又是“甲子朔旦冬至”，所以，元年（冬至前）是“无小余”。
⑤无大余：这是“后大余”，是计算冬至干支日名的参数，《索隐》称为冬至大小余。已知本年冬至日名，从本年总天数中除去所包含的甲子周数，剩余部分中的整日数称为大余。从本年初的冬至干支日名，数到大余数之外的第一个干支就是下年冬至日的干支名，本年无大余（例见下年冬至大余注）。
⑥无小余：“后小余”是指冬至日的余分即不足一整日的部分。四分历以每年为365.1/4日，每日分为32分，日合8分，每隔一年，小余增加8分，四年积为一日，入大余。同前，本年冬至前无小余。
⑦此句“焉逢”是“甲”，“摄提格”是“寅”，都是指甲寅年而言。文中又标以“太初元年”，而武帝太初元年是公元前104年，是丁丑年。连同以下所加年号，皆与干支纪年不符，系后人谬加可知。
（2）十二①
大余五十四②，小余三百四十八③；
大余五④，小余八⑤；
端蒙单阏二年⑥（乙卯）。
①十二：本年为平年，十二个月(354日)，无闰月
②前大余五十四：每月29.499/940日，全年12个月共354.348/940日。分数部分归入下年。整数354日分配于十二月之中，每月29天半。实际月份不能含半日，大月为30日，小月为29日，大小月相间安排，六大六小，恰354日。欲知下年月朔日甲子，354日除5个甲子300日，余54日为大余。查54为戊午，为年前十一月朔的日干支。
354 ÷ 60 =
5………余54（日）
③前小余三百四十八：同上注，全年354日零348/940分日，其中分子348分便是小余。
29×12 + 499/940×12 =
348 + 6.348/940 = 354.348/940
此处只记分子348，不记分母940。以后每月加29日499分，小余积够940分进为一日，入于大余，本月便为大月30日，不足为小月29日。
④后大余五：一个回归年（从冬至到下年冬至）的日数是365.1/4日，已知上年冬至日名为甲子，欲求下年冬至日干支，将一个回归年数除去6个甲子（360日），余5.1/4日，其中整数部分5便是大余。查5为己巳，便是年前冬至的日干支。余仿此。
⑤后小余八：后大余己记整数5，尚余1/4日，化为8/32分，此处只记8，不记分母，便是小余。小余满32分入大余。
⑥《尔雅》文“端蒙”作旃蒙，为乙；单阏为卯，知端蒙单阏即为乙卯年。若太初二年是戊寅也。
（3）闰十三①
大余四十八②，小余六百九十六③；
大余十④，小余十六⑤；游兆执徐三年⑥（丙辰）。
①闰十三：本年有闰月，共十三个月（384日）。如前述，一回归年为365.1/4日，而历法年才354日，差11.1/4日，三年差33.3/4日一个月多，九年差一季，月与季节便失去了固定关系。为此，在历法中设置了闰月，以求得历法年和回归年的平衡。方法是将每年差数归入下一年，积够一月则置为闰月，当年便是十三个月。大约是每三年一闰，五年再闰。十九年置七个闰月。
②前大余四十八：上年大余54，加上本年54，合为108日，除去一甲子60，余48日。所以说是大余48。
54（上年大余）+ 54（上年日干支余数）= 108
108 ÷ 60 = 1………余48 （壬子）
③前小余六百九十六：348（上年小余）+ 348（今年余分）= 696（分）。
④后大余十：上年后大余5，今年又余5（每年递加5），合为大余10。后仿此，不另注。
⑤后小余十六：上年后小余8分，今年又余8分（每年递加8），合为16分，余仿此。
⑥前引《尔雅》游兆作柔兆，同。游兆执徐为丙辰年
（4）十二
大余十二①，小余六百三②；
大余十五③，小余二十四④；
强梧大荒落四年（丁巳）。
①前大余十二：[48（上年前大余）+ 384（上年日数）] ÷ 60 = 7…余12
另一算法，上年大余48日，加上当年所余54日，由于上年有闰，再加29日，合为131日，除去2甲子120日，余11日，加上小余积成的1日（见注②），为12日，所以大余为12日。此后每逢上年有闰，本年大余除了加上当年余54日外，另加闰月的29日。不另注。
②前小余六百三：696（上年前小余）+ 348（前小余递加数）+ 499 – 940 =
603（今年前小余）
上年小余696分，加上当年小余348分，再加上闰月余分499分，合为1543分。除去940分一整日，归入大余，余603分（小余）。此后每逢上年有闰，小余除了加上当年所余348分之外，还要加上闰月余分499。不另注。
③后大余：逐年递加五，上一年十，今年十五。
④后小余：逐年递加八，上一年十六，今年二十四。
⑤前引《尔雅》，强梧作强圉。强梧大荒落为丁巳年。
（5）十二
大余七①，小余十一②；
大余二十一③，无小余④；
徒维敦牂天汉元年（戊午）。
前大余：{12（上年前大余）+ 355（上年日数）}]÷60 = 6……7（大余）
②前小余：603（上年前小余）+ 348–940 = 11（前小余）
③ 后大余：15 （上年后大余）+ 5（当年大余加数）= 20 + 1（小余进位）=
21日。所以大余为21日。
④后小余：上年小余24分，加当年小余8分合为32分，进为一日入于大余，所以无小余。
（6）闰十三
大余一，小余三百五十九；
大余二十六，小余八；
祝犁协洽二年（己未）。
（7）十二
大余二十五，小余二百六十六；
大余三十一；小余十六；
商横涒滩三年（庚申）。
（8）十二
大余十九，小余六百一十四；
大余三十六，小余二十四；
昭阳作鄂四年（辛酉）。
（9）闰十三
大余十四，小余二十二；
大余四十二，无小余；
横艾淹茂太始元（壬戌）。
（10）十二
大余三十七，小余八百六十九；
大余四十七，小余八；
尚章大渊献二年（癸亥）。
（11）闰十三
大余三十二，小余二百七十七；
大余五十二，小余一十六；
焉逢困敦三年（甲子）。
（12）十二
大余五十六，小余一百八十四；
大余五十七，小余二十四；
端蒙赤奋若四年（乙丑）。
（13）十二
大余五十，小余五百三十二；
大余三，无小余；
游兆摄提格征和元年（丙寅）。
（14）闰十三
大余四十四，小余八百八十；
大余八，小余八；
强梧单阏二年（丁卯）。
（15）十二
大余八，小余七百八十七；
大余十三，小余十六；
徒维执徐三年（戊辰）。
（16）十二
大余三，小余一百九十五；
大余十八，小余二十四；
祝犁大芒落四年（己巳）。
（17）闰十三
大余五十七，小余五百四十三；
大余二十四，无小余；
商横敦牂后元元年（庚午）。
（18）十二
大余二十一，小余四百五十；
大余二十九，小余八；
昭阳汁洽二年（辛未）。
（19）闰十三
大余十五，小余七百九十八；
大余三十四，小余十六；
横艾涒滩始元元年（壬申）。
（20）正西十二
大余三十九，小余七百五；
大余三十九，小余二十四；
尚章作噩二年（癸酉）。（21）十二
大余三十四，小余一百一十三；
大余四十五，无小余；
焉逢淹茂三年（甲戌）。
（22）闰十三
大余二十八，小余四百六十一；
大余五十，小余八；
端蒙大渊献四年（乙亥）。
（23）十二
大余五十二，小余三百六十八；
大余五十五，小余十六；
游兆困敦五年（丙子）。
（24）十二
大余四十六，小余七百一十六；
无大余，小余二十四；
强梧赤奋若六年（丁丑）。
（25）闰十三
大余四十一，小余一百二十四；
大余六，无小余；
徒维摄提格元凤元年（戊寅）。
（26）十二
大余五，小余三十一；
大余十一，小余八；
祝犁单阏二年（己卯）。
（27）十二
大余五十九，小余三百七十九；
大余十六，小余十六；
商横执徐三年（庚辰）。
（28）闰十三
大余五十三，小余七百二十七；
大余二十一，小余二十四；
昭阳大荒落四年（辛巳）。
（29）十二
大余十七，小余六百三十四；
大余二十七，无小余；
横艾敦牂五年（壬午）。
（30）闰十三
大余十二，小余四十二；
大余三十二，小余八；
尚章汁洽六年（癸未）。
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