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看完这些图，秒懂那些年搞不明白的数学概念 用心制作，只为让每一个关注我们的人 拥有更优的阅读体验和更高的阅读效率 1、椭圆的画法2、杨辉三角问题(Pascal triangles)解法3、使用“FOIL”轻松的解决二项式乘法4、对数解法技巧5、矩阵转置的技巧6、勾股定理7、多边形的外角之和总是等于 360 度8、圆周率π9、一弧度就是长度刚好等于半径的一段圆弧所对的圆心角10、在Y轴上使用正弦(红色)，在X轴上使用余弦(蓝色)，则在 XY 轴平面上画出的环形如下图(黑色)11、同前一原理，但更简单12、这是将 sin 和 cos 运用到三角形上13、余弦是正弦的衍生物14、正切线15、同上，但翻个面看，更容易理解16、将一个公式从笛卡尔坐标转换成轴坐标17、画抛物线18、黎曼和(Riemann sum)约等于其曲线下的面积19、双曲线PS. 本文系转载自网络，如果您对文章有知识产权争议、建议等，联系我们 数学原来可以这么美
科赫曲线 Koch curve： H分形 H-fractal： 谢尔宾斯基三角形Sierpinski triangle： 维切克分形 Vicsek fractal： 莱维C形曲线 Lévy C curve： Hexaflake： 王蒙：数学为什么可爱
 数字魔方 福建有一个文学评论家叫林兴宅，以前他提出过一个观点，说“最好的诗是数学”。此话一出，全国哗然。我当时并没有很多道理可说，但是非常喜欢这句话。古今中外不止一个有名的文学方面的人才自嘲说：我之所以写小说、写诗，是因为我从小数学不及格。例如，汪曾祺先生就有过这样的名言。但是我跟这种类型的作家有相当大的区别，我从小就着迷于数学和语文。我为什么着迷于这两样呢？因为我始终感到只有在数学和诗学里面，人的精神才能够进入一个比较纯粹的境界，才能把对世界的认知符号化、纯粹化，从而提升之、激扬之。比如，你就是用数学的一些概念，如数字、数量关系，或者形体、形状、相似、相等、不等、互证……这些东西来认识世界的。而且只有在这个很特殊的精神世界里，你才能感觉到这种智慧的光芒，感觉到人类的智慧中有多少奇妙的激情与创造发现。不管你有多少不顺心的事，多少琐碎的事，多少鸡毛蒜皮的事，多少小鼻子小眼、抠抠搜搜的事，一旦进入这个境界以后——那些委琐的东西没有“入门证”，根本进不来——你就只剩下了妙悟、飞升、热泪盈眶；同时你只剩下了智慧，只剩下了推理，只剩下了激情，还有想象，最纯粹的想象。 我想做诗的感觉和解一道数学题的感觉是非常相似的，这种感觉就是黑暗中的寻索与光明照耀的狂喜。我上初中的时候就迷恋这种感觉，后来长大一点，觉得各种数字和形状都是充满感情的。譬如说，当我们说“一”的时候——中国人最喜欢这个“一”：一以贯之，“吾道一以贯之”，见出这个人的坚决，多么鲜明，又多么忠诚；又如“天下定于一”，所以叫“定一”的人特别多，如陆定一、符定一等。有了“一”，就有了一切，“道生一，一生二，二生三，三生万物”。后来我觉得许许多多的数学现象，其实都是人生现象，它们反映的是人生最根本的道理。 我最喜欢举的例子是我在北戴河看到的一个捉弄人的、带有赌博性质的游戏：主事者将4种不同颜色的球，红、黄、蓝、白每样5个，总共20个，全部放进箱子里，参与者从里面任意摸出10个球，如果4种颜色的组合是五五〇〇，就能得到一台莱卡照相机，如果是五四一〇，就送你一条中华烟，但有两个组合是你反过来要给他钱的：一个是三三二二，一个是四三二一。结果玩游戏的人到那儿一抓，经常是三三二二或四三二一。这是一个非常容易计算的问题。西安电子科技大学梁昌洪校长是数学家，他把整个的算草都给了我。他还在学校里组织了几百个学生测试，又在电脑上算，结果都一样，就是三三二二和四三二一所占的比率最高，都能占到接近百分之三十；而五五〇〇呢，只占十几万分之一。为这事我还出了硬伤，我说这五五〇〇的概率和民航飞机出事故的概率一样多，结果民航局的朋友向我提出了严正抗议，说民航局从来没出过这么多事故，他们出事故的概率不是十万分之一，可能是千万或者更多万分之一。这也让我长了知识。 三三二二和四三二一，这两个数字组合迷住了我。什么是命运？我觉得“三三二二”或者“四三二一”就是命运。为什么五五〇〇的机会非常少？就是说命运中绝对拉开的事并不常见——一面是绝对的富有，因为五是全部，某一种颜色的球全部拿出来才是五，另一面则是〇，这个机会非常少，十几万个人中就一个。 所以说命运的特点在于：第一，它不是绝对的不公平；第二，它又绝对不是平均的。或者让你三三二二，非常接近，但又不完全一样；或者让你四三二一，每个数都不一样，却又相互紧靠。它们出现的概率非常之大，我觉得这就是概率和命运与上帝的关系，这个命运太伟大了，这就是上帝，至少是上帝运算的一部分。一次，我和美国的一个研究生谈起我的作品，我忽然用我的小学5年级英语讲起这初中二年级的数学，我说这就是God。他说：“Eh，I don’t like this．” 把伟大的上帝说成是数学，他很不赞成，很不喜欢我这样的分析。但我不是说伟大的上帝是数学，而是说数学的规律是“上帝”掌握的，和宇宙奥秘是一样的。 数字哲学 中国人喜欢“一”，因为这整个的世界是“一”，世界是统一的。郭沫若有句诗非常有意思，“一切的一，一的一切”。到现在我也没完全弄明白是什么意思，但是中文的此种构词方式太棒了。一就是一切，一切就是一，万法归一，一生万物。天下定于“一”。中国文化最讨厌的是“二”，比如“二心”，如果皇上说你有二心，你的脑袋就保不住了。毛泽东最喜欢的是“二”：老蒋说天无二日，我偏要出两个太阳给他看看。这是毛泽东和柳亚子说的话。毛泽东也喜欢“一”，当革命没有胜利的时候，他喜欢的是“二”，革命胜利了，他喜欢“一”。但是他讨厌“三”，没有第三条路线，没有中间路线，第三条路线都是假的。改革开放以后，“三”的地位有点提高。哲学家庞朴提出一分为三。什么意思呢？他举例说，人们常说“一抓就死，一放就乱”，一抓就死这是“一”，一放就乱这是“二”，但是我们追求的应该是“三”，就是抓而不死、放而不乱。就是说在“一”和“二”的斗争中要产生出一种新的模式，新的思维、新的生产力、新的生产关系。“一分为三”有一定的影响，但没有得到普遍的响应。我个人很喜欢这个提法。只要承认了“三”，就承认了不断出现新生事物。老子说，道生一，抽象的道变成了一个统一的宇宙；一生二，这个宇宙就变成了矛盾的两个方面；矛盾的两个方面斗争的结果会出现新的东西，既不完全是“一”，也不完全是“二”，那么不断地出现新的东西，就生了万物。所以我个人也有点喜欢“三”。 数学与命运 摸球的例子大家可以去试试，用4种扑克牌，或者用4种麻将牌，都可以试。你会发现摸出来的组合，不是三三二二，就是四三二一。这是一个形而上的东西，中国人也有这种头脑。比如说中国有一个说法，说一个人“赶上点儿了”。有人倒霉，大家说他赶上点儿了；有人突然发达起来了，噌噌直上，芝麻开花节节高，摁都摁不住了，嫉妒也没用，告状也没用，也说他赶上点儿了。还有个词叫“气数”。气数的“气”很抽象，摸不清楚，可以说是一个人的运气，也可以说是一个人、一个执政集团或者一个朝代、一个皇帝主观的自信，又或者是我们所说的那种气场，等等。但还有一条就是“数”，就是这个“数”字经过若干发展运动以后变成了“气数已尽”。我这辈子感受最深的是国民党那时候就是气数已尽，完全没办法，谁也救不了它。淮海战役的时候，国民党是坐着装甲车、汽车运输，人民解放军则靠的是腿，解放军每到一个地方都是提前15分钟、20分钟，或者半天，国民党拼了半天命，就是差那么10多分钟、20分钟，气数已尽。说明这里面是有一个数字法则的，这个数字又和时间的运行联系到一块儿了。 所谓算命，基本上是类似数学的活动，所以叫“算命”，是指对于生辰八字这一系列东西的演算。抽签也是一个数学活动，是概率问题，抽到上上签的可能性有多大，抽到下下签的可能性有多大。还有一个是“相面”，相面是不是也有着几何性的观察？哪儿跟哪儿的距离怎么样，哪儿跟哪儿的对比怎么样，要分长短，要分大小，人中长的人寿命就长。其实这都是数学概念，所以对于人类来说，数学是认识世界的一个最基本方式。 爱情里面也充满了数学的表达，说“执子之手，与子偕老”，其中包含一个很长久的数字，“偕老”，起码是一个几十年的数字。“不求天长地久，只要曾经拥有”，这是另一种爱情观，这种爱情观要求的是瞬间，是一刹那，甚至就是偶然，是不稳定。 所以，我觉得数学是一个认识世界的基本方式。顺便我也呼应一下，比如说咱们也研究勾股定理，但是没有发展成为完备的数学。我觉得有两点值得探讨：一是咱们喜欢整体性的思维，既是为了实用——丈量土地，又是为了趣味。勾股定理让我觉得很有趣味，三、四、五这几个数字太迷人了，该定理研究的是数量关系，但没有抽象化，分割得很清楚。二是咱们不重视计算，从古代就不够重视。关于世界上的知识，毛泽东最初在延安提出，一个是阶级斗争知识，一个是生产斗争知识。但是在上世纪50年代末，尤其是在“大跃进”失败以后，毛泽东提出来的是生产斗争、阶级斗争、科学实验。到现在为止未见有人研究为什么毛泽东加上了“科学实验”。我认为从背景上来说，是由于“大跃进”的失败；从学理上来说，毛泽东体会到感性认识不可能由于数量的积累自然变成理性认识，还需要通过科学实验。我斗胆来讨论这个问题，我认为科学实验是重要的，还有一样同样重要的就是逻辑推理与数学运算，科学实验已经非常靠近逻辑推理与数学计算了。这个加上以后，毛泽东的实践论、认识论就比较完整了。如果我们有这样一个比较完整的认识，如果我们更加重视逻辑推理与数学运算，我们中国人在科学上和数学上，就会有非常好的前途。 零和无穷大的迷思 数学教授方奇志老师说《醉汉的脚步》这个题目简直太好了、太迷人了。这是一个数学命题，也是一个文学命题，这可以是一个长诗的题目，也可以是一个小说的题目。 “〇”也是我最感兴趣的数字，我觉得“〇”从哲学上说，就是中国人所说的“无”，因为〇是zero，也就是nothing，所以，“〇”就是无，无就是万物生于有、有生于无，所以无是本源。无当然是本源，因为我们每一个人都生于无。在我们被母亲怀胎之前，我们就是无。中国人在这个“无”字上是很下功夫的。老子主张无为、无欲，认为一个人能做到“无”的境界，“为学日益，为道日损，损之又损，以至于无为。无为而无不为”。为什么要“无为无不为”呢？因为有生于无，无又不是都有。所以中国古人又说，无非有，无是没有；无非无，无也不是永远无；无因为能够变成有，所以无非非无，无不是把无给否定了，无本身是不否定无的。无为什么能够变成有呢？因为有了无穷大的帮忙，无和无穷大结合起来，就有可能产生出“有”来，就从“〇”变成“一”了，有了“一”就有了一切。电脑的数字只有〇和一，没有其他数字，就是说〇和一已经代表了全部数字，发展到最后它们可以变成无穷大。当然，关于无穷大是一个延伸的、正在进行的概念，还是一个已经完成的概念，在数学界有很大争论。 无穷大是什么呢？〇和无穷大放到一块就是道。冯士筰院士说，这是把上帝人格化的观念。把上帝人格化非常麻烦，因为米兰·昆德拉的小说里就描写了欧洲的神学家曾经长期争论的一个问题——耶稣进不进卫生间？人格化了就有这个问题。伊斯兰教则并不把真主人格化，因为它认为这是一个观念。我在新疆的时候和一个五六岁的农村小女孩聊天，我说，真主在天上，她告诉我说：老王，真主并不在天上，真主在我们每个人的心里。道也有这样的特点，它是一个概念，同时它高于一切。道是没有形象的，它是规律、本体，取之不竭，用之不尽。 “天地之间，其犹橐龠乎”，就像皮口袋的风箱一样，就这么拉来拉去，永远没个完，这特别具有无穷大的特色。所以，数学里面，一个是“〇”，一个是“一”，一个是“无穷大”，这都是哲学，都是人生的符号，甚至是神学的符号。 对于神学，并不是说我们一定要相信教会，对于神学的经典定义，就是终极关怀、终极眷顾，就是不可能用现世、经验说明一切。我们人的经验是有限的，没有无穷大，但是，根据人们构造反义词的原理，我们感悟到有限以外还有无限。〇和无穷大之间，有和无之间，形成了各种悖论。数学悖论说到底也是一个〇和无穷大之间的悖论，因为，既然是〇，你永远是〇，可是无穷大了以后又不完全是〇。数学悖论里最基本的问题是说，如果你承认有，那〇也是一种有的方式。如果〇变成了有的方式，就太受鼓舞了。我一想到这个，对于岁数越活越大，到最后要驾鹤西去，我都不害怕了，因为〇也是一种存在的方式，〇也是一个数字，〇也是有。当一个人去世以后，我们说某某人千古，什么意思呢？他变成〇了，进入了永恒，即无穷（大）了。〇是无，同时又是有，而且通向无穷、通向永恒、通向终极。把无与有连通起来，这是什么呢？这是数学、神学、文学、哲学、诗学，也是艺术，是人类生命的最大痛苦，也是最大满足。生命是什么？与〇相比，它是无穷；与无穷相比，它是〇。 本来的“无”，没有无穷大就没有“有”；本来的“有”，没有与无的比照就没有永恒与无穷，而没有无穷大就没有无。无穷大与〇，这是多么激动人心的终极观。这就是激情，这就是膜拜，这就是终极，这就是折磨、纠结、一切悖论的母亲与爆炸。传染病的〇报告同样是疫情报告，〇疫情也是疫情啊！如果我说无，那么无会不会无呢？无无了，那不就变成有了吗？这不就是人生最大的悖论吗？如果我说相信有，那么无不也是应该相信的有吗——无是可能无的，有也是可能无的。有当然是可能有的，但是无就变成可能有了。这一下子整个世界都活了。这就是上帝，我说的这个上帝是完全不进卫生间的终极。当有了终极以后，无、有、生、死、存在、规律、本体、抽象，就都被激活了，这真让人感到无限的幸福。 （本文节录自 谁做的动态图？太牛了！数学原来这么简单易懂啊！
你甚至可以做成这样的效果：
谁是世界上最孤独的数？ 看到哪个数，你会觉得最孤独？
有人会说是1，因为它孤身一人。有人会说是0，因为它没有任何存在感。有人会说是214，有人会说是419（咦）。这些都是字面上的直接联想，因人而异，很难说哪个比哪个更加孤独。 然而对一个学过数学的人来说，确实存在一个最“孤独”的数。这个数就是所谓的黄金分割率φ。许多人说它是最美的数，美不美这种事情是一个主观概念——但我们能从数学上证明，它是最“无理”的数，最难以接近的数，因而在这个意义上，是最孤独的数。 越走越近，却永远不能在一起 一个无理（irrational）数有很多种表现方式。我们最熟悉的是无限不循环小数的形式，每多写下一位数，就是用一个更加精确的有理（rational）数去逼近它。当然，这个过程永远到不了尽头。 但是无理数也可以用分数的形式表现，只不过这个分数也是无穷无尽的——这就需要“连分数”。不要怕，这里的全部数学只是加减乘除和通分，不超过小学五年级。 先用一个有理数作为例子：1024/137，约等于7.47445255。 第一级近似：7，于是它变成了 7 + 65/137。 第二级近似：把第一级留下的分数倒过来，137/65 近似是2，于是它变成了 2 + 7/65，于是开始的那个数字就变成了 7 + 1 / ( 2 + 7/65 )。 第三级近似：对7/65进行类似处理，以此类推。 最后得到的结果是 或者，省去那些多余的1，可以表达为 [7; 2, 9, 3, 2]。 能够证明，每一个有限的连分数都代表一个有理数，而每一个有理数能且只能表示成两种形式的连分数（要求第一个系数是整数，剩下的全是正整数）。比如上面那个数也可以表示为 [7; 2, 9, 3, 1, 1]。除这两种之外再没有别的写法了。 同样的步骤完全适用于无理数，但这时得到的连分式就会一直延续下去。比如，π的连分式可以表示为 或者用简化的表达式：[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, 2, 2, 2, ...]。这个数列在“整数数列线上大全”（OEIS）中的编号是A001203。 使用连分数来逼近，就会遇到一个“逼近速度”的问题：每前进一步，近似值向精确值靠近了多少呢？ 回到π的例子。我们先看第一位近似——7。忽略后面剩下的： π ≈ 3 + 1/7 = 22/7 ≈ 3.142... 熟悉吗？这就是当年祖冲之发现的“约率”。 如果接下来看到第三位近似: π ≈ 3 + 1 / ( 7 + 1 / （15 + 1） ) = 3 + 1 / ( 113 / 16 ) = 355/113 ≈ 3.1415929... 也即祖冲之的“密率”。二者都是对π的极好的近似。 这就是连分数的一个神奇属性：当你得到一个连分数后，你就自动获得了“最快”的逼近精确值的方式。这有点违反直觉——当你用7作为分母的时候，最小的单位就是1/7，那么误差范围应该是1/14以内吧？实际上，使用连分数获得的误差范围不是1/14以内，而是1/49以内！ 22/7 - π ≈ 0.0126 < (1/7)^2。 更一般地，假如一个无理数α，它的某一步连分式展开后变成了 p / q 的形式，那么一定有 | α - p/q | < 1 / q^2 而且， 这一定是当前最好的精确值，任何比它更精确的分式都一定需要更大的分母。π的前三级展开，分别是 22/7、333/106、355/113；你在1-6的范围内一定找不到比7更好的，1-112的范围内一定找不到比113更好的。但是，7却比8、9、10……都要好。因此可以说，连分数在某种意义上揭示了一个无理数的深层结构。 那么回到我们开始的问题。最快的逼近速度有多快？从上面的公式可以看出来，这完全取决于连分式里具体的每个数——数字越大逼近越快，数字越小逼近越慢。祖冲之能发现约率和密率，部分原因是因为他运气好，π开头的这俩数正好都不小，所以能给出很漂亮的逼近。 而最小的正整数，当然就是1了。 如果有这样一个数：[1; 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...] 或者， 你肯定猜到了，这就是传说中的黄金分割数φ，1.61803398... 如果去掉前面的1就会得到另一个常见形式：0.618... 而这两个数正好互为倒数。从连分式这个形式就能看出来为什么。 我们试着逼近一下，得到的是 2/1 = 2 3/2 = 1.5 5/3 = 1.66666... 8/5 = 1.6 13/8 = 1.625 21/13 = 1.61538... 进行了6次近似，结果才到小数点后2位！刚才我们用π仅仅进行了2次近似，就精确到了小数点后6位。 （你可能注意到了，这个连分数的每一级逼近，就是传说中的斐波那契数列。为什么？你猜。） 1是最小的正整数。因此，φ，这个全部由1组成的连分数，是所有数中最难以接近的数。没有之一。 孤独的数
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