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学过线性代数的你，一定知道矩阵的秩，rank(A), 但是你是否知道矩阵A的另外一个类似的概念：spark(A)? 1)你一定知道，rank(A)=A的列向量组的极大线性无关组所含向量的个数（=A的列秩）； 2）而 spark(A)=A的列向量组的极小线性相关组所含向量个数； 看看它们的定义，就知道它们的关系是多么的亲密。遗憾的是，我们对spark(A)知之甚少； 3）对于矩阵的rank,我们有很多结论，这些结论主要来自于矩阵rank的本质：rank(A)反映了矩阵A的整体不变量，它在初等变换下不变； 而spark(A)等价于求解下列的最优化问题： \[ min ||x||_0 s.t. Ax=0， A\in R^{nxm}, 0\neq x\in R^m (1) \] 4) 问题是：矩阵的任何一种变换都不能用来求解矩阵的spark!!! 5) Furthermore, 上述优化问题为一个NP-hard问题！ 6）如何求解(1)? Do you have any idea? |
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